A KÖVETKEZŐ VÁLTOZÁS ALAPELVEI

A TINACloud meghívásához kattintson az alábbiakra vagy érintse meg az alábbi példa áramköröket, és válassza ki az Interaktív DC módot az online elemzéshez.
Találjon alacsony költségű hozzáférést a TINACloudhoz a példák szerkesztéséhez vagy saját áramkörök létrehozásához

KOMPLEX SZÁMOK

PASSZÍV KOMPONENDEK AC CIRCUITS-ban

A szinuszos feszültséget az egyenlet írja le:

v (t) = V_M sin (ωt + Φ) vagy v (t) = V_M cos (ωt + Φ)

ahol	v (t)	A feszültség pillanatnyi értéke V-ban (V).
	V_M	A feszültség maximális vagy csúcsértéke, V-ban (V)
	T	Periódus: Egy ciklusra eltelt idő másodpercben
	f	Frekvencia - az 1 másodpercek száma, Hz (Hertz) vagy 1 / s. f = 1 / T
	ω	Szögfrekvencia, radiánban kifejezve ω = 2 * π * f vagy ω = 2 * π / T.
	Φ	Kezdeti fázis radiánban vagy fokokban. Ez a mennyiség határozza meg a szinusz vagy kosin hullám att = 0 értékét.
		Megjegyzés: A szinuszos feszültség amplitúdója néha V-ben van kifejezve_Eff, az effektív vagy RMS érték. Ez a V-hez kapcsolódik_M V viszony szerint_M= √2V_Eff,vagy kb_Eff= 0.707 V_M

Íme néhány példa a fenti kifejezések illusztrálására.

Az 220 V váltakozó feszültségének tulajdonságai a háztartási elektromos aljzatokban Európában:

Hatékony érték: V_Eff= 220 V
Csúcsérték: V_M= √2 * 220 V = 311 V

Frekvencia: f = 50 1 / s = 50 Hz
Szögfrekvencia: ω = 2 * π * f = 314 1 / s = 314 rad / s
Periódus: T = 1 / f = 20 ms
Időfüggvény: v (t) = 311 sin (314 t)

Lássuk az időfunkciót a TINA Analízis / AC elemzés / időfunkció parancs használatával.

Kattintson az / áramkörre a fenti áramkörre az on-line elemzéshez, vagy kattintson erre a hivatkozásra a Windows alatt mentéshez

Ellenőrizheti, hogy az időszak T = 20m és hogy V_M= 311 V.

Az 120 V hálózati feszültség tulajdonságai az USA háztartási elektromos aljzatában:

Hatékony érték: V_Eff= 120 V
Csúcsérték: V_M= √2 120 V = 169.68 V ≈ 170 V
Frekvencia: f = 60 1 / s = 60 Hz
Szögfrekvencia: ω = 2 * π * f = 376.8 rad / s ≈ 377 rad / s
Periódus: T = 1 / f = 16.7 ms
Időfüggvény: v (t) = 170 sin (377 t)

Megjegyezzük, hogy ebben az esetben az időfüggvény v (t) = 311 sin (314 t + Φ) vagy v (t) = 311 cos (314 t + Φ) formájában adható meg, mivel a kimeneti feszültség esetén nem tudom a kezdeti fázist.

A kezdeti fázis fontos szerepet játszik, ha egyszerre több feszültség van jelen. Jó gyakorlati példa a háromfázisú rendszer, ahol három ugyanolyan csúcsérték, alak és frekvencia feszültsége van, amelyek mindegyike 120 ° fáziseltolódást mutat a többihez képest. 60 Hz hálózaton az időfunkciók:

v_A(t) = 170 sin (377 t)

v_B(t) = 170 bűn (377 t - 120 °)

v_C(t) = 170 sin (377 t + 120 °)

A következő ábra a TINA-ról mutatja, hogy az áramkör ezen idővel TINA feszültséggenerátoraként működik.

Kattintson az / áramkörre a fenti áramkörre az on-line elemzéshez, vagy kattintson erre a hivatkozásra a Windows alatt mentéshez

A feszültségkülönbség v_AB= v_A(tévé_B(t) a TINA Analízis / AC elemzés / időfüggvény parancsával megoldva jelenik meg.

Ne feledje, hogy a csúcs a v_AB (t) megközelítőleg 294 V, nagyobb, mint a v. 170 V csúcsai_A(t) vagy v_B(t) feszültségek, de nemcsak a csúcsfeszültségük összege. Ez a fáziskülönbségnek köszönhető. Megvitatjuk, hogyan kell kiszámítani a kapott feszültséget (ami az Ö3 170 * @ 294 ebben az esetben) később ebben a fejezetben és a különállóban is Háromfázisú rendszerek fejezetben.

A szinuszos jelek jellemző értékei

Bár egy AC jel folyamatosan változik az időszak alatt, könnyen meghatározható néhány jellemző érték egy hullám összehasonlításához a másikval: Ezek a csúcs-, az átlagos és a közép-négyzet (rms) értékek.

Már elértük a csúcsértéket V_M ami egyszerűen az időfüggvény maximális értéke, a szinuszos hullám amplitúdója.

Néha a csúcs-csúcs (pp) értéket használjuk. Szinuszos feszültségek és áramok esetén a csúcs-csúcs érték kétszerese a csúcsértéknek.

A átlagos érték a szinusz hullám értéke a pozitív félciklus értékeinek számtani átlaga. Azt is hívják abszolút átlag ugyanaz, mint a hullámforma abszolút értékének átlaga. A gyakorlatban ezzel a hullámformával találkozunk egyengető a szinusz a teljes hullámú egyenirányítónak nevezett áramkörrel.

Kimutatható, hogy a szinuszos hullám abszolút átlaga:

V_AV= 2 / π V_M ≅ 0.637 V_M

Ne feledje, hogy a teljes ciklus átlaga nulla.
A szinuszos feszültség vagy áram effektív értéke megfelel az egyenértékű egyenérték értékének, amely ugyanazt a fűtőteljesítményt eredményezi. Például, az 120 V effektív értékű feszültség ugyanolyan fűtési és megvilágítási teljesítményt biztosít egy villanykörben, mint az 120 V egy egyenáramú feszültségforrásból. Kimutatható, hogy a szinuszos hullám rms vagy effektív értéke:

V_rms = V_M/ √2 ≅ 0.707 V_M

Ezeket az értékeket ugyanúgy lehet kiszámítani mind a feszültségek, mind az áramok esetében.

A rms érték a gyakorlatban nagyon fontos. Hacsak másképp nem jelezzük, a hálózati vezeték feszültségei (pl. 110V vagy 220V) rms értékben vannak megadva. A legtöbb váltakozó árammérő kalibrálva van rms-ben, és jelzi a rms szintet.

Példa 1 Keresse meg a szinuszos feszültség csúcsértékét egy elektromos hálózatban 220 V rms értékkel.

V_M = 220 / 0.707 = 311.17 V

Példa 2 Keresse meg a szinuszos feszültség csúcsértékét egy elektromos hálózatban 110 V rms értékkel.

V_M = 110 / 0.707 = 155.58 V

Példa 3 Keresse meg a szinuszos feszültség (abszolút) átlagát, ha az rms értéke 220 V.

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 311.17 = 198.26 V

Példa 4 Keresse meg a szinuszos feszültség abszolút átlagát, ha az rms értéke 110 V.

Az 2 példa feszültségének csúcsa a 155.58 V és így:

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 155.58 = 99.13 V

Példa 5 Keresse meg az abszolút átlag (V_a) és a szinuszos hullámforma rms (V) értékei.

V / V_a = 0.707 / 0.637 = 1.11

Ne feledje, hogy nem adhat meg átlagértékeket az AC áramkörben, mert nem megfelelő eredményekhez vezet.

PHASORS

Amint azt az előző részben már láttuk, a váltakozó áramú áramkörökben gyakran szükséges azonos frekvenciájú szinuszos feszültségek és áramok hozzáadása. Bár lehetséges, hogy a TINA-val numerikusan hozzáadjuk a jeleket, vagy trigonometrikus kapcsolatok alkalmazásával kényelmesebb az ún. phasor módszer. A fasor egy komplex szám, amely a szinuszos jel amplitúdóját és fázisát mutatja. Fontos megjegyezni, hogy a fázisjelző nem képviseli a frekvenciát, amelynek minden fázissal azonosnak kell lennie.

A fázist komplex számként lehet kezelni, vagy grafikusan ábrázolni, mint egy sík nyíl a komplex síkban. A grafikus ábrázolást fazor diagramnak nevezzük. Fasor-diagramok segítségével a háromszög vagy a párhuzamos vonal szabálya segítségével komplex síkban adhat hozzá vagy vonhatja le a fázisokat.

A komplex számok két formája létezik: négyszögletes és a poláris.

A téglalap alakú ábrázolás formában van jb, hol j = Ö-1 a képzeletbeli egység.

A poláris ábrázolás Ae formában van^j ^j , ahol A az abszolút érték (amplitúdó) és f a fasor szöge a pozitív valós tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányban.

Használni fogjuk betűk összetett mennyiségekre.

Most nézzük meg, hogyan hozhatjuk ki a megfelelő fázist egy időfüggvényből.

Először is feltételezzük, hogy az áramkör minden feszültsége kozin függvények formájában van kifejezve. (Minden feszültség átalakítható erre a formára.) Ezután a phasor a v (t) = V feszültségnek felel meg_M kötözősaláta( w t+f): V_M= V_Me ^jf, amelyet komplex csúcsértéknek is nevezünk.

Vegyük például a feszültséget: v (t) = 10 cos ( w t + 30°)

A megfelelő fázisor: V

Az időfüggvényt ugyanúgy tudjuk kiszámítani a fasorból. Először poláris formában írjuk be a fázist V_M= V_Me ^j^rmajd a megfelelő időfüggvény

v (t) = V_M (kötözősaláta(wt+r).

Vegyük például a fázist V_M= 10 - j20 V

A polár formába hozása:

És így az időfüggvény: v (t) = 22.36 cos (wt - 63.5^°) V

A fázisokat gyakran használják a váltakozó áramú áramkörök feszültségeinek és áramainak összetett, hatékony vagy rms értékének meghatározására. Adott v (t) = V_Mkötözősaláta(wt+r) = 10cos (wt + 30°)

Számszerűen:

v (t) = 10 * cos (wt-30°)

A komplex hatékony (rms) érték: V = 0.707 * 10 * e^{- j30}^°= 7.07 e^{- j30}^° = 6.13 - j 3.535

Ezzel szemben: ha a feszültség komplex effektív értéke:

V = - 10 + j 20 = 22.36 e^{j 116.5}^°

akkor a komplex csúcsérték:

és az idő függvény: v (t) = 31.63 cos ( wt + 116.5° ) V

A fenti technikák rövid magyarázata a következő. Az idő függvényében
V_M (kötözősaláta( w t+r), határozzuk meg a komplex időfunkció például:

v (t) = V_M e^j^r e ^j^wt = V_Me ^j^wt = V_M (kötözősaláta(r+) j bűn(r)) E ^j^wt

ahol V_M =V_M e^j ^r ^t = V_M (kötözősaláta(r+) j bűn(r)) csak a fent bemutatott fázis.

Például a v (t) = 10 cos komplex időfüggvénye (wt + 30°)

v (t) = V_Me ^j^wt = 10 e^j30 e ^j^wt = 10e ^j^wt (cos (30) +) j sin (30)) = e ^j^wt (8.66 +j5)

A komplex időfunkció bevezetésével van egy reprezentációnk mind a valós, mind a képzeletbeli részből. Mindig helyreállíthatjuk az idő eredeti valós funkcióját, az eredményünk valódi részét figyelembe véve: v (t) = Re {v(T)}

A komplex időfunkciónak azonban az a nagy előnye, hogy mivel a vizsgált AC áramkörökben az összes komplex időfunkció azonos e^j^w^tmultiplikátor, ezt meg tudjuk vizsgálni, és csak együtt dolgozhatunk a fázissal. Továbbá a gyakorlatban nem használjuk az e^j^w^tegyáltalán - csak az időfunkcióktól a fázisokig és vissza az átalakulások.

A fasorok használatának előnyeinek bemutatásához nézzük meg a következő példát.

Példa 6 Keresse meg a feszültségek összegét és különbségét:

v₁ = 100 cos (314 * t) és a v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Először írja be a két feszültség fázisát:

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Ennélfogva:

V_hozzá = V_1M + V_2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e^{- j 14.63}^°

V_alatt = V_1M - V_2M = 64.65 + j35.35 = 73.68 e ^{j 28.67}^°

majd az idő függvényei:

v_hozzá(t) = 139.89 * cos (wt - 14.63°)

v_alatt(t) = 73.68 * cos (wt + 28.67°)

Ahogy ez az egyszerű példa mutatja, a phasors.is módszer rendkívül hatékony eszköz az AC problémák megoldására.

Megoldjuk a problémát a TINA tolmácsjának eszközeivel.

{TINA tolmácsának megoldása}
{v1 + v2} kiszámítása
v1: = 100
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553-35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [135.3553-35.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (ív (v1add)) = [- 14.6388]

{v1-v2} kiszámítása
v1sub: = v1-v2
v1sub = [64.6447 + 35.3553 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (ív (v1sub)) = [28.6751]

#Python megoldás!
#v1+v2 számítása
import matek mint m
import cmath mint c
v1=100
v2=50*c.exp(komplex(0,-c.pi/4))
nyomtatás (“v2=”,v2)
vadd=v1+v2
print(“vadd=”,vadd)
print(“abs(vadd)=”,abs(vadd))
print(“degrees(arc(vadd))=”,m.degrees(c.phase(vadd)))
#a v1-v2 számítása
vsub=v1-v2
print(“vsub=”,vsub)
print(“abs(vsub)=”,abs(vsub))
print(“degrees(arc(vsub))=”,m.degrees(c.phase(vsub)))

Az amplitúdó és a fázis eredményei megerősítik a kézi számításokat.

Most ellenőrizheti az eredményt TINA AC elemzésével.

Mielőtt elvégeznénk az elemzést, győződjön meg róla, hogy a Az AC alapfunkciója be van állítva koszinusz a Szerkesztői beállítások párbeszédpanel a Nézet / Opció menüben. Ennek a paraméternek a szerepét a Példa 8.

Az áramkörök és az eredmények:

Kattintson az / áramkörre a fenti áramkörre az on-line elemzéshez, vagy kattintson erre a hivatkozásra a Windows alatt mentéshez

Ismét az eredmény ugyanaz. Íme az időfüggvény grafikonjai:

Példa 7 Keresse meg a feszültségek összegét és különbségét:

v₁ = 100 sin (314 * t) és v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Ez a példa új kérdést vet fel. Eddig megköveteltük, hogy minden időfunkciót kozin funkcióként adjunk meg. Mit kell tennünk egy szinuszként megadott időfunkcióval? A megoldás az, hogy a szinusz funkciót kozinikus funkcióvá alakítsa. A sin (x) = cos (x-p/ 2) = cos (x-90°), példánk a következőképpen átfogalmazható:

v₁ = 100 cos (314t - 90°) és a v₂ = 50 cos (314 * t - 45°)

Most a feszültség fázisai:

V_1M = 100 e ^{- j 90}^°= -100 j V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Ennélfogva:

V _hozzá = V_1M + V_2M = 35.53.) - j 135.35

V _alatt = V_1M - V_2M = - 35.53.) - j 64.47

majd az idő függvényei:

v_hozzá(t) = 139.8966 cos (wt-75.36°)

v_alatt(t) = 73.68 cos (wt-118.68°)

Megoldjuk a problémát a TINA tolmácsjának eszközeivel.

{TINA tolmácsának megoldása}
{v1 + v2} kiszámítása
v1: = - 100 * j
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553 - 35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [35.3553-135.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (ív (v1add)) = [- 75.3612]

{v1-v2} kiszámítása
v1sub: = v1-v2
v1sub = [- 35.3553 - 64.6447 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (ív (v1sub)) = [- 118.6751]

Nézzük meg az eredményt TINA AC elemzésével

Kattintson az / áramkörre a fenti áramkörre az on-line elemzéshez, vagy kattintson erre a hivatkozásra a Windows alatt mentéshez

Példa 8

Keresse meg a feszültségek összegét és különbségét:

v₁ = 100 sin (314 * t) és a v₂ = 50 sin (314 * t-45°)

Ez a példa még egy problémát vet fel. Mi van, ha az összes feszültséget szinuszhullámként adjuk meg, és azt is szeretnénk látni, hogy az eredmény szinuszként van ?. Természetesen mindkét feszültséget átalakíthatjuk koszinusz-függvényekké, kiszámíthatjuk a választ, és az eredményt visszaállíthatjuk szinuszfüggvényre - de erre nincs szükség. A szinusz hullámokból ugyanúgy hozhatunk létre fázisokat, mint a koszinusz hullámokból, majd egyszerűen felhasználjuk amplitúdójukat és fázisukat szinusz hullám amplitúdóként és fázisaként.

Ez nyilvánvalóan ugyanazt az eredményt adja, mint a szinusz hullámok kozinikus hullámokká alakítása. Ahogy az előző példában is láttuk, ez megegyezik a -j majd a cos (x) = sin (x-90) használatával°) a szinuszhullámra való visszaállítással kapcsolatos kapcsolat. Ez megegyezik a. \ T j. Más szóval, mivel -j × j = 1, a szinuszhullámok amplitúdóiból és fázisaiból közvetlenül származtatott fázisokat használhatnánk a függvény reprezentálására, majd közvetlenül visszatérésükre. Ugyanígy, a komplex időfunkciókkal azonos érveléssel, a szinuszhullámokat a komplex időfunkciók képzeletbeli részeként tekinthetjük meg, és kiegészíthetjük őket a kozin funkcióval a teljes komplex időfunkció létrehozásához.

Nézzük meg ennek a példának a megoldását, amely a szinuszfüggvényeket használja a fázisok alapjaként (a sin ( w t) a valós egység-fázisra (1)).

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

Ennélfogva:

V _hozzá = V_1M + V_2M = 135.53.) - j 35.35

V _alatt = V_1M - V_2M = 64.47+ j 35.35

Ne feledje, hogy a fázisok pontosan ugyanazok, mint az 6 példában, de nem az időfunkciók:

v₃(t) = 139.9sin (wt - 14.64°)

v₄(t) = 73.68sin (wt + 28.68°)

Amint láthatja, a szinuszfüggvények használatával nagyon egyszerű eredményt elérni, különösen akkor, ha kezdeti adataink szinuszhullámok. Sok tankönyv inkább a szinusz hullámot használja a fázisok alapfunkciójaként. A gyakorlatban bármelyik módszert használhatja, de ne keverje össze őket.

Amikor létrehozza a fázisokat, nagyon fontos, hogy minden időfunkciót először szinuszra vagy koszinuszra konvertáljon. Ha szinuszfunkciókból indult, megoldásait szinuszfunkciókkal kell képviselni, amikor visszatér a fázisokból az időfunkciókba. Ugyanez igaz, ha kozin funkciókkal indul.

Megoldjuk ugyanezt a problémát a TINA interaktív módjával. Mivel a szin funkciókat a fázisok létrehozásának alapjaként kívánjuk használni, győződjön meg róla, hogy a Az AC alapfunkciója be van állítva szinusz a Szerkesztői beállítások párbeszédpanel a View / Option menüből.