ANGKA KOMPLEKS

Klik atau Ketuk sirkuit Contoh di bawah ini untuk mengaktifkan TINACloud dan pilih mode DC Interaktif untuk Menganalisisnya secara Online.
Dapatkan akses biaya rendah ke TINACloud untuk mengedit contoh atau membuat sirkuit Anda sendiri

METODE SAAT DAN LOOP SAAT INI

PRINSIP ALTERNATING SAAT INI

Dalam bab ini dan bab-bab berikut, kami akan menyajikan topik yang sangat penting: AC, atau Alternating Current. Nama arus bolak-balik tidak terlalu tepat dan biasanya mencakup sirkuit dengan tegangan dan arus sinusoidal; namun, arus bolak-balik juga dapat berarti bentuk gelombang arus sembarang. Pentingnya tegangan AC adalah tegangan jenis ini digunakan untuk sumber daya listrik utama di rumah dan industri di seluruh dunia. Ini juga merupakan dasar bagi banyak aplikasi elektronik, telekomunikasi, dan industri.

Untuk menangani bentuk gelombang sinusoidal dan sirkuit yang terkait dengannya, kita akan menggunakan metode sederhana dan anggun yang disebut metode fasor. Phasor didasarkan pada sifat-sifat bilangan kompleks, yang ideal untuk mewakili jumlah sinusoidal. Dalam bab ini, kami akan merangkum fakta-fakta utama tentang bilangan kompleks dan operasinya. Kami juga akan menunjukkan bagaimana Penerjemah TINA membuatnya mudah untuk melakukan perhitungan dengan bilangan kompleks.

Bilangan kompleks terdiri dari dua bagian, a bagian nyata (x), yang merupakan bilangan real, dan disebut bagian imajiner (y), yang merupakan bilangan real dikalikan dengan , unit imajiner. Bilangan kompleks z, oleh karena itu, dapat digambarkan sebagai:

z = x + jy

dimana .

Contoh bilangan kompleks:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Bilangan kompleks awalnya diperkenalkan pada abad ketujuh belas untuk mewakili akar polinomial yang tidak dapat diwakili dengan bilangan real saja. Misalnya, akar persamaan x²+ 2x + 2 = 0 hanya dapat digambarkan sebagai dan , atau menggunakan notasi , z₁= 1 + j dan z₂= 1- j. Menggunakan notasi baru untuk menyelidiki sifat-sifat ekspresi, matematikawan mampu membuktikan teorema dan memecahkan masalah yang sampai saat itu sulit jika bukan tidak mungkin untuk dipecahkan. Ini mengarah pada penjabaran aljabar kompleks dan fungsi kompleks, yang sekarang banyak digunakan dalam matematika dan teknik.

Representasi geometris dari bilangan kompleks

Bentuk persegi panjang

Karena bilangan kompleks selalu dapat dipisahkan menjadi bagian yang nyata dan kompleks, kita dapat mewakili bilangan kompleks sebagai titik pada bidang dua dimensi. Bagian nyata dari bilangan kompleks adalah proyeksi titik ke sumbu nyata, dan bagian imajiner dari bilangan adalah proyeksi ke sumbu imajiner. Ketika bilangan kompleks direpresentasikan sebagai jumlah bagian nyata dan imajiner, kita katakan itu dalam persegi panjang or bentuk aljabar.

Gambar berikut menunjukkan bilangan kompleks z = 2 + 4j

Bentuk kutub dan eksponensial

Seperti yang Anda lihat dari gambar di atas, titik A juga bisa diwakili oleh panjang panah, r (Juga disebut nilai absolut, besarnya, atau amplitudo), dan sudutnya (atau fase), φ relatif dalam arah berlawanan arah dengan sumbu horizontal positif. Ini adalah kutub bentuk bilangan kompleks. Ini dilambangkan sebagai r ∠ φ.

Langkah selanjutnya sangat penting. Bilangan kompleks dalam bentuk kutub juga dapat ditulis dalam eksponensial bentuk:

Ungkapan sederhana ini khas karena memiliki bilangan imajiner dalam eksponen, bukan bilangan real yang biasa. Eksponensial kompleks ini berperilaku sangat berbeda dari fungsi eksponensial dengan argumen nyata. Sementara e^x tumbuh pesat dalam besaran untuk meningkatkan x> 0 dan menurun untuk x <0, fungsinya memiliki besaran yang sama (z = 1) untuk φ. Lebih jauh lagi, nilai kompleksnya terletak pada lingkaran unit.

Rumus Euler menyediakan tautan pemersatu di antara bentuk-bentuk bilangan kompleks empat persegi panjang, kutub, dan eksponensial:

z = x + jy = kembali ^jφ = r (cos φ + j dosa φ )

dimana

dan φ = tan^-1(y / x).

Sebagai contoh kami di atas, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1(4 / 2) = 63.4 °

karena itu .

Atau sebaliknya:

Anda harus mahir menggunakan kedua formulir, tergantung pada aplikasi. Sebagai contoh, penambahan atau pengurangan jelas lebih mudah dilakukan ketika angka-angka itu dalam bentuk persegi panjang, sedangkan multiplikasi dan pembagian lebih mudah dilakukan ketika angka-angka itu dalam bentuk eksponensial.

Operasi dengan bilangan kompleks

Operasi yang dapat dilakukan dengan bilangan kompleks mirip dengan bilangan real. Aturan dan beberapa definisi baru dirangkum di bawah ini.

Operasi dengan j

Operasi dengan j cukup ikuti dari definisi unit imajiner,

Agar dapat bekerja cepat dan akurat, Anda harus mengingat aturan-aturan ini:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Bukti:

j² = -1 cukup mengikuti dari definisi , sejak

Untuk 1 /j, kami mengalikan 1 /jby j / j = 1 dan dapatkan j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Konjugasi kompleks

Konjugat kompleks dari bilangan kompleks mudah diturunkan dan cukup penting. Untuk mendapatkan konjugat kompleks dari bilangan kompleks dalam bentuk persegi panjang, cukup ubah tanda bagian imajiner. Untuk melakukannya untuk bilangan dalam bentuk eksponensial, ubah tanda sudut bilangan kompleks sambil mempertahankan nilai absolutnya sama.

Konjugat kompleks dari bilangan kompleks z sering dilambangkan dengan z^*.

Mengingat bilangan kompleks z= a + jb, konjugat kompleksnya adalah z^*= a– jb.

If z diberikan dalam bentuk eksponensial, , konjugat kompleksnya adalah

Dengan menggunakan definisi di atas, mudah untuk melihat bahwa bilangan kompleks dikalikan dengan konjugat kompleksnya memberikan kuadrat dari nilai absolut dari bilangan kompleks:

zz^* = r²= a^{2 +}b²

Juga, dengan menambahkan atau mengurangi bilangan kompleks dan konjugatnya, kita mendapatkan relasi berikut:

z + z ^* = 2a

karena itu

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Demikian pula:

z - z ^* =j2b

karena itu

Saya m(z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Bukti:

atau mengalikan bagian nyata dan imajiner dan menggunakan j²= -1

zz^* = (a + jb) (a - jb) = a²+a jb - a jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = a + jb + a - jb = 2a

z - z^*= a + jb - a + jb =j2b

Contoh numerik:

Dalam bentuk persegi panjang:

z = 3 + j4

z^* = 3– j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

Dalam bentuk kutub

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠- 53.13 °

Dalam bentuk eksponensial:

Penambahan dan pengurangan

Penambahan dan pengurangan bilangan kompleks sangat mudah — kita hanya perlu menambahkan bagian nyata dan imajiner secara terpisah. Misalnya, jika

z₁ = 3 - 4j dan z₂= 2 + 3j

kemudian

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Jelas, kita harus menggunakan bentuk persegi panjang untuk operasi ini. Jika angka diberikan dalam bentuk eksponensial atau kutub, kita harus mengubahnya terlebih dahulu menjadi bentuk persegi panjang menggunakan rumus Euler, seperti yang diberikan sebelumnya.

Perkalian

Ada dua metode untuk perkalian bilangan kompleks–

Perkalian bilangan kompleks diberikan dalam bentuk persegi panjang

Untuk melakukan operasi, cukup gandakan bagian nyata dan imajiner dari satu angka secara bergantian dengan bagian nyata dan imajiner dari nomor lainnya dan gunakan identitas j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (Sebuah₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Ketika bilangan kompleks diberikan secara numerik, tidak perlu menggunakan rumus di atas. Sebagai contoh, mari

z₁ = 3 - 4j dan z₂= 2 + 3j

Dengan penggandaan langsung komponen:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

atau menggunakan rumus: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ B₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Kami pikir Anda lebih cenderung membuat kesalahan jika Anda menggunakan rumus daripada jika Anda mengalikan komponen secara langsung.

{Solusi oleh Interpreter TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Solusi dengan Python:
impor matematika sebagai m
impor cmath sebagai c

z1=kompleks('3-4j')
z2=kompleks('2+3j')
mencetak(“z1*z2=”,z1*z2)

Perkalian bilangan kompleks diberikan dalam bentuk kutub atau eksponensial

Untuk melakukan operasi ini, gandakan nilai absolut dan tambahkan sudut dua bilangan kompleks. Membiarkan:

Kemudian menggunakan aturan perkalian fungsi eksponensial:

atau dalam bentuk kutub

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ φ.₁+ φ₂

Catatan: Kami telah menggunakan aturan ini saat kami menghitung zz ^*atas. Karena sudut konjugat memiliki tanda kebalikan dari sudut asli, bilangan kompleks dikalikan dengan konjugatnya sendiri selalu merupakan bilangan real; yaitu, kuadrat dari nilai absolutnya: zz ^*= r²

Misalnya, biarkan:

z₁ = 5 ∠ 30 ° dan z₂ = 4 ∠ -60 °

kemudian

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

atau dalam bentuk eksponensial

Penggandaan jelas lebih sederhana ketika angka-angka itu dalam bentuk kutub atau eksponensial.

Namun, jika bilangan kompleks diberikan dalam bentuk persegi panjang, Anda harus mempertimbangkan melakukan perkalian secara langsung seperti yang ditunjukkan di atas, karena ada langkah-langkah tambahan jika Anda mengonversi angka menjadi bentuk kutub sebelum mengalikannya. Faktor lain yang perlu dipertimbangkan adalah apakah Anda ingin jawaban dalam bentuk persegi panjang atau dalam bentuk kutub / eksponensial. Misalnya, jika kedua angka tersebut dalam bentuk persegi panjang tetapi Anda ingin produk mereka dalam bentuk kutub, masuk akal untuk mengubahnya segera dan kemudian mengalikannya.

Divisi

Ada dua metode untuk pembagian bilangan kompleks–

Pembagian bilangan kompleks diberikan dalam bentuk persegi panjang

Untuk melakukan operasi, gandakan pembilang dan penyebut dengan konjugator penyebut. Penyebut menjadi bilangan real dan pembagian dikurangi menjadi penggandaan dua bilangan kompleks dan pembagian dengan bilangan real, kuadrat dari nilai absolut penyebut.

Misalnya, biarkan:

z₁ = 3 - 4j dan z₂= 2 + 3j

Mari kita periksa hasil ini dengan Juru Bahasa TINA:

{Solusi oleh Interpreter TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Solusi dengan Python:
impor matematika sebagai m
impor cmath sebagai c

z1=kompleks('3-4j')
z2=kompleks('2+3j')
mencetak(“z1/z2=”,z1/z2)

Pembagian bilangan kompleks diberikan dalam bentuk kutub atau eksponensial

Untuk melakukan operasi, bagilah nilai absolut (besaran) dan kurangi sudut penyebut dari sudut pembilang. Membiarkan:

kemudian menggunakan aturan pembagian fungsi eksponensial

atau dalam bentuk kutub

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Misalnya, biarkan:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° dan z ₂ = 2 ∠ -60 °

kemudian

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

atau dalam bentuk eksponensial dan persegi panjang

Mari kita periksa hasil ini dengan Juru Bahasa TINA:

{Solusi oleh Interpreter TINA}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Solusi dengan Python:
impor matematika sebagai m
impor cmath sebagai c

z1=5*(c.exp(kompleks(0,m.radian(30))))
z2=2*(c.exp(kompleks(0,m.radian(-60))))
mencetak(“z1/z2=”,z1/z2)

Pembagian jelas lebih sederhana ketika jumlahnya dalam bentuk kutub atau eksponensial.

Namun, jika bilangan kompleks diberikan dalam bentuk persegi panjang, Anda harus mempertimbangkan melakukan pembagian secara langsung menggunakan metode konjugasi kompleks seperti yang ditunjukkan di atas, karena ada langkah-langkah tambahan jika Anda mengubah angka menjadi bentuk kutub sebelum membaginya. Faktor lain yang perlu dipertimbangkan adalah apakah Anda ingin jawaban dalam bentuk persegi panjang atau dalam bentuk kutub / eksponensial. Misalnya, jika kedua angka tersebut dalam bentuk persegi panjang, tetapi Anda ingin hasil bagi mereka dalam bentuk kutub, masuk akal untuk mengubahnya segera dan kemudian membaginya.

Sekarang mari kita ilustrasikan penggunaan bilangan kompleks dengan masalah yang lebih numerik. Seperti biasa, kami akan memeriksa solusi kami menggunakan TINA's Interpreter. Penerjemah bekerja dengan radian, tetapi memiliki fungsi standar untuk konversi radian ke derajat atau sebaliknya.

Contoh 1 Temukan representasi kutub:

z = 12 - j 48

atau 49.48 ∠ - 75.96 °

{Solusi oleh Interpreter TINA}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
arc (z) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z)) = [- 75.9638]

#Solusi dengan Python:
impor matematika sebagai m
impor cmath sebagai c

z=12-kompleks(48j)
mencetak(“abs(z)=”,abs(z))
print(“arc(z)=”,c.fase(z))
print(“derajat(arc(z))=”,m.derajat(c.fase(z)))

Contoh 2 Temukan representasi persegi panjang:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{Solusi oleh Interpreter TINA}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125))));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Solusi dengan Python:
impor matematika sebagai m
impor cmath sebagai c

z=25*c.exp(kompleks(0,m.radian(125)))
mencetak(“z=”,z)
print(“nyata(z)=”,z.nyata)
mencetak(“gambar(z)=”,z.gambar)

Contoh 3 Temukan representasi kutub dari bilangan kompleks berikut:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Nilai absolut dari keempat angka adalah sama karena nilai absolut tidak tergantung pada tanda. Hanya sudutnya yang berbeda.

{Solusi oleh Interpreter TINA}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
arc (z1) = [1.3258]
radtodeg (arc (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
arc (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
arc (z3) = [1.8158]
radtodeg (arc (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
arc (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (arc (z4)) = [- 104.0362]

#Solusi dengan Python:
impor matematika sebagai m
impor cmath sebagai c

z1=kompleks('12+48j')
mencetak(“abs(z1)=”,abs(z1))
print(“arc(z1)=”,c.fase(z1))
print(“derajat(arc(z1))=”,m.derajat(c.fase(z1)))

z2=kompleks('12-48j')
mencetak(“abs(z2)=”,abs(z2))
print(“arc(z2)=”,c.fase(z2))
print(“derajat(arc(z2))=”,m.derajat(c.fase(z2)))

z3=kompleks('-12+48j')
mencetak(“abs(z3)=”,abs(z3))
print(“arc(z3)=”,c.fase(z3))
print(“derajat(arc(z3))=”,m.derajat(c.fase(z3)))

z4=kompleks('-12-48j')
mencetak(“abs(z4)=”,abs(z4))
print(“arc(z4)=”,c.fase(z4))
print(“derajat(arc(z4))=”,m.derajat(c.fase(z4)))

Fungsi busur () TINA menentukan sudut dari bilangan kompleks mana pun, secara otomatis menempatkannya dengan benar di salah satu dari empat kuadran.

Hati-hati, bagaimanapun, menggunakan cokelat^-1 berfungsi untuk mencari sudut, karena dibatasi untuk sudut balik hanya di kuadran pertama dan keempat (–90 °φ<90 °).

Sejak z₁terletak di kuadran pertama sistem koordinat, perhitungannya adalah:

α₁ = tan^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

Sejak z₄terletak di kuadran ketiga dari sistem koordinat, tan^-1tidak mengembalikan sudut dengan benar. Perhitungan sudut adalah:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° atau -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, yang sama dengan yang dihitung oleh TINA.

z₂terletak di kuadran keempat dari sistem koordinat Perhitungan sudut adalah:

α₂ = tan^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3,Namun, berada di kuadran 2nd dari sistem koordinat, jadi tan^-1tidak mengembalikan sudut dengan benar. Perhitungan sudut adalah:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Contoh 4 Kami memiliki dua bilangan kompleks: z₁= 4 - j 6 dan z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

Menemukan z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Pertama-tama kita menyelesaikan masalah menggunakan Interpreter TINA

{Solusi oleh Interpreter TINA}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Perhatikan bagaimana TINA dengan mudah menangani dua bilangan kompleks yang diberikan dalam bentuk yang berbeda.

Solusinya lebih rumit tanpa juru bahasa. Agar kita dapat membandingkan berbagai metode perkalian dan pembagian, pertama-tama kita akan menentukan bentuk kutub z₁ dan bentuk persegi panjang z₂.

Selanjutnya, kami menemukan empat solusi menggunakan formulir termudah pertama: persegi panjang untuk penambahan dan pengurangan, dan eksponensial untuk perkalian dan pembagian: