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ONDE PERIODICHE

BRIDGE NETWORKS

^{La maggior parte delle funzioni interessanti dei circuiti CA - impedenza complessa, funzione di trasferimento della tensione e rapporto di trasferimento della corrente - dipendono dalla frequenza. La dipendenza di una quantità complessa dalla frequenza può essere rappresentata su un piano complesso (diagramma di Nyquist) o su piani reali come grafici separati del valore assoluto (diagramma di ampiezza) e della fase (diagramma di fase).}

^{I diagrammi di Bode utilizzano una scala verticale lineare per il diagramma dell'ampiezza, ma poiché vengono utilizzate le unità dB, l'effetto è che la scala verticale viene tracciata secondo il logaritmo dell'ampiezza. L'ampiezza A è presentata come 20log10 (A). La scala orizzontale per la frequenza è logaritmica.}

^{Oggi, pochi ingegneri disegnano a mano i grafici di Bode, affidandosi invece ai computer. TINA dispone di strutture molto avanzate per i grafici di Bode. Tuttavia, la comprensione delle regole per disegnare i grafici di Bode migliorerà la tua padronanza dei circuiti. Nei paragrafi che seguono, presenteremo queste regole e confronteremo le curve di approssimazione in linea retta tracciate con le curve esatte di TINA.}

^{La funzione da disegnare è generalmente a frazione o un rapporto con un polinomio numeratore e un polinomio denominatore. Il primo passo è trovare le radici dei polinomi. Le radici del numeratore sono le zeros della funzione mentre le radici del denominatore sono il polos.}

^{I diagrammi di Bode idealizzati sono diagrammi semplificati costituiti da segmenti di linee rette. I punti finali di questi segmenti di retta proiettati sull'asse della frequenza cadono sul polo e le frequenze zero. I poli sono talvolta chiamati il frequenza di taglioes della rete. Per espressioni più semplici, sostituiamo s per frequenza: jw = s.}

^{Poiché le quantità da tracciare sono tracciate su scala logaritmica, è possibile aggiungere le curve appartenenti ai diversi termini del prodotto.}

^{Ecco un riassunto dei principi importanti dei grafici di Bode e delle regole per disegnarli.}

^{I 3 dB il punto su un diagramma di Bode è speciale, che rappresenta la frequenza con cui l'ampiezza è aumentata da un valore costante di 3 dB. Convertendo da A in dB ad A in volt / volt, risolviamo 3 dB = 20 log10 A e otteniamo log10 A = 3/20 e quindi . -3 dB il punto implica che A è 1 / 1.41 = 0.7.}

^{Una tipica funzione di trasferimento è simile alla seguente:}

Ora vedremo come le funzioni di trasferimento come quelle sopra possono essere rapidamente abbozzate (guadagno della funzione di trasferimento in dB rispetto alla frequenza in Hz). Poiché l'asse verticale è rappresentato in dB, è una scala logaritmica. Ricordando che il prodotto dei termini nella funzione di trasferimento sarà visto come la somma dei termini nel dominio logaritmico, vedremo come disegnare separatamente i singoli termini e quindi aggiungerli graficamente per ottenere il risultato finale.

La curva del valore assoluto di un termine del primo ordine s ha una pendenza 20 dB / decennio che attraversa l'asse orizzontale a w = 1. La fase di questo termine è 90° a qualsiasi frequenza. La curva di K *s ha anche una pendenza di 20 dB / decennio ma attraversa l'asse a w = 1 / K; cioè, dove il valore assoluto del prodotto ½K*s ½= 1.

Il prossimo termine del primo ordine (nel secondo esempio), s^-1 = 1 / s, è simile: ha il suo valore assoluto una pendenza di -20 dB / decade; la sua fase è all'90 ottobre° a qualsiasi frequenza; e attraversa il w-assicurare w = 1. Allo stesso modo, il valore assoluto del termine K /s ha una pendenza di -20 dB / decade; la fase è -90° a qualsiasi frequenza; ma attraversa il w asse a w = K, dove il valore assoluto della frazione

½K/s ½= 1.

Il prossimo ordine del primo ordine di schizzo è 1 + sT. La trama dell'ampiezza è una linea orizzontale fino a w₁ = 1 / T, dopo di che si inclina verso l'alto a 20 dB / decennio. La fase è uguale a zero a piccole frequenze, 90° alle alte frequenze e 45° at w₁ = 1 / T. Una buona approssimazione per la fase è che è zero fino a 0.1 *w₁ = 0.1 / T ed è quasi 90° sopra 10 *w₁ = 10 / T. Tra queste frequenze, il diagramma di fase può essere approssimato da un segmento di linea retta che collega i punti (0.1 *w₁; 0) e (10 *w₁; 90°).

L'ultimo termine del primo ordine, 1 / (1 + sT), ha una pendenza -20 dB / decennio a partire dalla frequenza angolare w₁= 1 / T. La fase è 0 a piccole frequenze, -90° alle alte frequenze e -45° at w₁ = 1 / T. Tra queste frequenze, il diagramma di fase può essere approssimato da una linea retta che collega i punti (0.1 *w₁; 0) e (10 *w₁; - 90°).

Un fattore moltiplicatore costante nella funzione viene tracciato come una linea orizzontale parallela a w-asse.

I polinomi del secondo ordine con radici coniugate complesse portano a un diagramma di Bode più complicato che non verrà considerato qui.

esempio 1

Trova l'impedenza equivalente e disegnala.

È possibile utilizzare l'analisi TINA per ottenere l'equazione dell'impedenza equivalente selezionando Analisi - Analisi simbolica - Trasferimento CA.

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L'impedenza totale: Z (s) = R + sL = R (1 + sL / R)

... e la frequenza di taglio: w₁ = R / L = 5 / 0.5 = 10 rad / s f₁ = 1.5916 Hz

La frequenza di taglio può essere vista come il punto +3 dB nel diagramma di Bode. Qui il punto 3 dB significa 1.4 * R = 7.07 ohm.

Puoi anche fare in modo che TINA mostri le caratteristiche di ampiezza e fase ciascuna sul proprio grafico:

Si noti che il grafico dell'impedenza utilizza una scala verticale lineare, non logaritmica, quindi non possiamo usare la tangente di 20 dB / decade. In entrambi i grafici di impedenza e fase, l'asse x è il w asse ridimensionato per frequenza in Hz. Per il diagramma dell'impedenza, l'asse y è lineare e visualizza l'impedenza in ohm. Per il diagramma di fase, l'asse y è lineare e visualizza la fase in gradi.

esempio 2

Trova la funzione di trasferimento per V_C/V_S.Disegna il grafico di Bode di questa funzione.

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Otteniamo la funzione di trasferimento utilizzando la divisione di tensione:

La frequenza di taglio: w₁ = 1 / RC = 1 / 5 * 10^-6 = 200 krad / s f₁ = 31.83 kHz

Una delle caratteristiche forti di TINA è la sua analisi simbolica: Analisi - "Analisi simbolica" - Trasferimento AC o trasferimento AC semi-simbolico. Queste analisi forniscono la funzione di trasferimento della rete sia in forma simbolica completa che in forma semi-simbolica. In forma semi-simbolica, vengono utilizzati i valori numerici per i valori dei componenti e l'unica variabile rimanente è s.

TINA disegna l'attuale diagramma di Bode, non un'approssimazione in linea retta. Per trovare la frequenza di taglio effettiva, utilizzare il cursore per individuare il punto – 3 dB.

In questa seconda trama, abbiamo usato gli strumenti di annotazione di TINA per disegnare anche i segmenti di linea retta.

Ancora una volta, l'asse y è lineare e visualizza il rapporto di tensione in dB o la fase in gradi. La x- o wl'asse rappresenta la frequenza in Hz.

Nel terzo esempio illustriamo come ottenere la soluzione aggiungendo i diversi termini.

esempio 3

Trova la caratteristica di trasferimento della tensione W = V₂/V_S e disegna i suoi diagrammi di Bode.
Trova la frequenza in cui la magnitudine di W è minima.
Ottieni la frequenza in cui l'angolo di fase è 0.

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La funzione di trasferimento può essere trovata usando 'Analisi simbolica' 'Trasferimento AC ”nel menu di analisi di TINA.

O con "Trasferimento AC semi-simbolico".

Manualmente, usando unità Mohm, nF, kHz:

Per prima cosa trova le radici:

gli zeri w₀₁ = 1 / (R₁C₁) = 10³ rad / s ed w₀₂ = 1 / (R₂C₂) = 2 * 10³ rad / s

f₀₁ = 159.16 Hz ed f₀₂ = 318.32 Hz

e pali w_P1 = 155.71 rad / s ed w_P2 = 12.84 krad / s

f_P1= 24.78 Hz ed f_P2 = 2.044 kHz

La funzione di trasferimento in una cosiddetta "forma normale":

La seconda forma normalizzata è più conveniente per disegnare il diagramma di Bode.

Innanzitutto, trova il valore della funzione di trasferimento in f = 0 (DC). Per ispezione, è 1 o 0 dB. Questo è il valore iniziale della nostra approssimazione in linea retta di W (s). Disegna un segmento di linea orizzontale da CC al primo polo o zero, a livello di 0 dB.

Quindi, ordina i poli e gli zeri in base alla frequenza crescente:

f_P1= 24.78 Hz

f₀₁ = 159.16 Hz

f₀₂ = 318.32 Hz

f_P2 = 2.044 kHz

Ora al primo polo o zero (sembra essere un polo, f_P1), traccia una linea, in questo caso scendendo a 20 dB / decennio.

Al polo successivo o zero, f₀₁disegnare un segmento di linea di livello che riflette l'effetto combinato del polo e zero (le loro pendenze si annullano).

A f₀₂, il secondo e l'ultimo zero, tracciano un segmento di linea crescente (20dB / decade) per riflettere l'effetto combinato del polo / zero / zero.

A f_P2, il secondo e l'ultimo polo, cambiano la pendenza del segmento ascendente su una linea di livello, riflettendo l'effetto netto di due zeri e due poli.

I risultati sono mostrati sul diagramma di ampiezza di Bode che segue, in cui i segmenti di retta sono mostrati come sottili linee tratteggiate punto-punto.

Successivamente, disegniamo la spessa linea di calce per riassumere questi segmenti.

Infine, abbiamo la funzione Bode calcolata di TINA tracciata in marrone.

Puoi vedere che quando un polo è molto vicino allo zero, l'approssimazione in linea retta si discosta un po 'dalla funzione reale. Nota anche il guadagno minimo nel diagramma di Bode sopra. Con una rete un po 'complicata come questa, è difficile trovare il guadagno minimo dall'approssimazione in linea retta, sebbene si possa vedere la frequenza alla quale si verifica il guadagno minimo.