NUMERI COMPLESSI

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METODI CORRENTI DELLA CORSA E DELLA MAGLIA

PRINCIPI DI CORRENTE ALTERNATA

In questo e nei seguenti capitoli, presenteremo un argomento molto importante: AC o corrente alternata. Il nome corrente alternata non è molto preciso e normalmente copre circuiti con tensioni e correnti sinusoidali; tuttavia, la corrente alternata può anche significare qualsiasi forma d'onda di corrente arbitraria. L'importanza della tensione CA è che questo tipo di voltaggio viene utilizzato per la principale fonte di energia elettrica nelle case e nell'industria in tutto il mondo. È anche la base per molte applicazioni elettroniche, di telecomunicazione e industriali.

Per gestire le forme d'onda sinusoidali e i circuiti ad esse associati, useremo un metodo semplice ed elegante chiamato il metodo dei fasori. I fasori si basano sulle proprietà dei numeri complessi, che sono ideali per rappresentare le quantità sinusoidali. In questo capitolo, riassumeremo i fatti principali relativi ai numeri complessi e alle loro operazioni. Mostreremo anche come l'Interprete di TINA facilita i calcoli con numeri complessi.

I numeri complessi sono composti da due parti, a parte reale (x), che è un numero reale e un cosiddetto parte immaginaria (y), che è un numero reale moltiplicato per , l'unità immaginaria. Il numero complesso z, quindi, può essere descritto come:

z = x + jy

where .

Esempi di numeri complessi:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Numeri complessi furono originariamente introdotti nel diciassettesimo secolo per rappresentare le radici dei polinomi che non potevano essere rappresentati solo con numeri reali. Ad esempio, le radici dell'equazione x²+ 2x + 2 = 0 può essere descritto solo come ed o usando la notazione , z₁= 1 + j ed z₂= 1- j. Usando la nuova notazione per studiare le proprietà delle espressioni, i matematici erano in grado di provare teoremi e risolvere problemi che fino a quel momento erano stati difficili se non impossibili da risolvere. Ciò portò all'elaborazione di algebra complessa e funzioni complesse, che ora sono ampiamente utilizzate in matematica e ingegneria.

Rappresentazione geometrica di numeri complessi

Forma rettangolare

Poiché un numero complesso può sempre essere separato nelle sue parti reali e complesse, possiamo rappresentare un numero complesso come punto su un piano bidimensionale. La parte reale di un numero complesso è la proiezione del punto sull'asse reale e la parte immaginaria del numero è la proiezione sull'asse immaginario. Quando un numero complesso è rappresentato come la somma di parti reali e immaginarie, diciamo che è presente rettangolare or forma algebrica.

La seguente figura mostra il numero complesso z = 2 + 4j

Forma polare ed esponenziale

Come puoi vedere dalla figura sopra, il punto A potrebbe anche essere rappresentato dalla lunghezza della freccia, r (chiamato anche valore assoluto, magnitudine o ampiezza) e relativo angolo (o fase), φ relativo in senso antiorario rispetto all'asse orizzontale positivo. Questo è il polare forma di un numero complesso. È indicato come r ∠ φ.

Il prossimo passo è molto importante. È anche possibile scrivere un numero complesso in forma polare esponenziale modulo:

Questa semplice espressione è distintiva in quanto ha un numero immaginario nell'esponente invece del solito numero reale. Questo esponenziale complesso si comporta in modo molto diverso dalla funzione esponenziale con un argomento reale. Mentre e^x cresce rapidamente in grandezza per aumentare x> 0 e diminuisce per x <0, la funzione ha la stessa magnitudine (z = 1) per ogni φ. Inoltre, i suoi valori complessi si trovano sul cerchio unitario.

La formula di Eulero fornisce un collegamento unificante tra le forme rettangolari, polari ed esponenziali dei numeri complessi:

z = x + jy = re ^jφ = r (cos φ + j peccato φ )

where

ed φ = tan^-1(Y / x).

Per il nostro esempio sopra, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1(4 / 2) = 63.4 °

perciò .

O vice versa:

Dovrai essere esperto nell'uso di entrambi i moduli, a seconda dell'applicazione. Ad esempio, l'aggiunta o la sottrazione sono ovviamente più facili da fare quando i numeri sono in forma rettangolare, mentre la moltiplicazione e la divisione sono più facili da fare quando i numeri sono in forma esponenziale.

Operazioni con numeri complessi

Le operazioni che possono essere eseguite con numeri complessi sono simili a quelle per i numeri reali. Le regole e alcune nuove definizioni sono riassunte di seguito.

Operazioni con j

Le operazioni con j semplicemente seguire dalla definizione dell'unità immaginaria,

Per essere in grado di lavorare velocemente e con precisione, è necessario memorizzare queste regole:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Dimostrazione:

j² = -1 segue semplicemente dalla definizione di , da

Per 1 /j, moltiplichiamo 1 /jby j / j = 1 e ottieni j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Complesso coniugato

Il complesso coniugato di un numero complesso è facilmente derivabile ed è abbastanza importante. Per ottenere il complesso coniugato di un numero complesso in forma rettangolare, è sufficiente cambiare il segno della parte immaginaria. Per fare ciò per un numero in forma esponenziale, cambia il segno dell'angolo del numero complesso mantenendo il suo valore assoluto lo stesso.

Il complesso coniugato di un numero complesso z è spesso indicato da z^*.

Dato il numero complesso z= A + jb, il suo complesso coniugato è z^*= a- jb.

If z è dato in forma esponenziale, , il suo complesso coniugato è

Usando le definizioni sopra, è facile vedere che un numero complesso moltiplicato per il suo complesso coniugato dà il quadrato del valore assoluto del numero complesso:

zz^* = r²= a^{2 +}b²

Inoltre, aggiungendo o sottraendo qualsiasi numero complesso e il suo coniugato, otteniamo le seguenti relazioni:

z + z ^* = 2a

perciò

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Allo stesso modo:

z - z ^* =j2b

perciò

Sono(z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Dimostrazione:

o moltiplicando le parti reali e immaginarie e usando j²= -1

zz^* = (A + jb) (a - jb) = a²+a jb - a jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = A + jb + a - jb = 2a

z - z^*= A + jb - a + jb =j2b

Esempi numerici:

In forma rettangolare:

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

In forma polare

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠- 53.13 °

In forma esponenziale:

Addizione e sottrazione

L'aggiunta e la sottrazione di numeri complessi è semplice: dobbiamo solo aggiungere le parti reali e immaginarie separatamente. Ad esempio, se

z₁ = 3 - 4j ed z₂= 2 + 3j

poi

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Ovviamente, dovremmo usare la forma rettangolare per queste operazioni. Se i numeri sono dati in forma esponenziale o polare, dovremmo prima trasformarli in forma rettangolare usando la formula di Eulero, come indicato in precedenza.

Moltiplicazione

Esistono due metodi per la moltiplicazione di numeri complessi:

Moltiplicazione di numeri complessi dati in forma rettangolare

Per eseguire l'operazione, moltiplica semplicemente le parti reali e immaginarie di un numero a sua volta per le parti reali e immaginarie dell'altro numero e usa l'identità j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Quando i numeri complessi sono dati numericamente, non è necessario usare la formula sopra. Ad esempio, let

z₁ = 3 - 4j ed z₂= 2 + 3j

Con moltiplicazione diretta dei componenti:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

o usando la formula: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ B₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Riteniamo che sia più probabile che tu commetta un errore se utilizzi la formula se moltiplichi i componenti direttamente.

{Soluzione dell'interprete di TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Soluzione di Python:
importa la matematica come m
importa cmath come c

z1=complesso('3-4j')
z2=complesso('2+3j')
print("z1*z2=",z1*z2)

Moltiplicazione di numeri complessi dati in forma polare o esponenziale

Per eseguire questa operazione, moltiplica i valori assoluti e aggiungi gli angoli dei due numeri complessi. Permettere:

Quindi usando la regola della moltiplicazione delle funzioni esponenziali:

o in forma polare

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠φ₁+ φ₂

Nota: abbiamo già utilizzato questa regola quando abbiamo calcolato zz ^*sopra. Poiché l'angolo del coniugato ha il segno opposto dell'angolo originale, un numero complesso moltiplicato per il proprio coniugato è sempre un numero reale; vale a dire, il quadrato del suo valore assoluto: zz ^*= r²

Ad esempio, lascia:

z₁ = 5 ∠ 30 ° e z₂ = 4 ∠ -60 °

poi

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

o in forma esponenziale

La moltiplicazione è ovviamente più semplice quando i numeri sono in forma polare o esponenziale.

Tuttavia, se i numeri complessi sono indicati in forma rettangolare, è necessario considerare di eseguire la moltiplicazione direttamente come mostrato sopra, poiché ci sono ulteriori passaggi se si convertono i numeri in forma polare prima di moltiplicarli. Un altro fattore da considerare è se si desidera che le risposte siano in forma rettangolare o in forma polare / esponenziale. Ad esempio, se i due numeri sono in forma rettangolare ma si desidera che il loro prodotto sia in forma polare, ha senso convertirli immediatamente e quindi moltiplicarli.

Divisione

Esistono due metodi per la divisione di numeri complessi:

Divisione di numeri complessi dati in forma rettangolare

Per eseguire l'operazione, moltiplicare il numeratore e il denominatore per il coniugato del denominatore. Il denominatore diventa un numero reale e la divisione viene ridotta alla moltiplicazione di due numeri complessi e una divisione per un numero reale, il quadrato del valore assoluto del denominatore.

Ad esempio, lascia:

z₁ = 3 - 4j ed z₂= 2 + 3j

Controlliamo questo risultato con l'interprete di TINA:

{Soluzione dell'interprete di TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Soluzione di Python:
importa la matematica come m
importa cmath come c

z1=complesso('3-4j')
z2=complesso('2+3j')
stampa("z1/z2=",z1/z2)

Divisione di numeri complessi dati in forma polare o esponenziale

Per eseguire l'operazione, dividere i valori assoluti (grandezze) e sottrarre l'angolo del denominatore dall'angolo del numeratore. Permettere:

quindi usando la regola di divisione delle funzioni esponenziali

o in forma polare

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Ad esempio, lascia:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° e z ₂ = 2 ∠ -60 °

poi

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

o in forme esponenziali e rettangolari

Controlliamo questo risultato con l'interprete di TINA:

{Soluzione dell'interprete di TINA}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Soluzione di Python:
importa la matematica come m
importa cmath come c

z1=5*(c.exp(complesso(0,m.radianti(30))))
z2=2*(c.exp(complesso(0,m.radianti(-60))))
stampa("z1/z2=",z1/z2)

La divisione è ovviamente più semplice quando i numeri sono in forma polare o esponenziale.

Tuttavia, se i numeri complessi sono indicati in forma rettangolare, è necessario considerare di eseguire la divisione direttamente usando il metodo del coniugato complesso come mostrato sopra, poiché ci sono ulteriori passaggi se si convertono i numeri in forma polare prima di dividerli. Un altro fattore da considerare è se si desidera che le risposte siano in forma rettangolare o in forma polare / esponenziale. Ad esempio, se i due numeri sono in forma rettangolare, ma si desidera il loro quoziente in forma polare, ha senso convertirli immediatamente e quindi dividerli.

Ora illustriamo l'uso di numeri complessi con più problemi numerici. Come al solito, controlleremo le nostre soluzioni usando l'Interprete di TINA. L'interprete funziona con i radianti, ma ha funzioni standard per la conversione dei radianti in gradi o viceversa.

esempio 1 Trova la rappresentazione polare:

z = 12 - j 48

o 49.48 ∠ - 75.96 °

{Soluzione dell'interprete di TINA}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
arco (z) = [- 1.3258]
radtodeg (arco (z)) = [- 75.9638]

#Soluzione di Python:
importa la matematica come m
importa cmath come c

z=12-complesso(48j)
print("abs(z)=",abs(z))
print(“arco(z)=”,c.fase(z))
print("gradi(arc(z))=",m.gradi(c.phase(z)))

esempio 2 Trova la rappresentazione rettangolare:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{Soluzione dell'interprete di TINA}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Soluzione di Python:
importa la matematica come m
importa cmath come c

z=25*c.exp(complesso(0,m.radianti(125)))
print(“z=",z)
print("reale(z)=",z.reale)
print("imag(z)=",z.imag)

esempio 3 Trova la rappresentazione polare dei seguenti numeri complessi:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

I valori assoluti di tutti e quattro i numeri sono gli stessi perché il valore assoluto è indipendente dai segni. Solo gli angoli sono diversi.

{Soluzione dell'interprete di TINA}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
arco (z1) = [1.3258]
radtodeg (arco (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
arco (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (arco (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
arco (z3) = [1.8158]
radtodeg (arco (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
arco (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (arco (z4)) = [- 104.0362]

#Soluzione di Python:
importa la matematica come m
importa cmath come c

z1=complesso('12+48j')
print("abs(z1)=",abs(z1))
print("arco(z1)=",c.fase(z1))
print("gradi(arc(z1))=",m.gradi(c.phase(z1)))

z2=complesso('12-48j')
print("abs(z2)=",abs(z2))
print("arco(z2)=",c.fase(z2))
print("gradi(arc(z2))=",m.gradi(c.phase(z2)))

z3=complesso('-12+48j')
print("abs(z3)=",abs(z3))
print("arco(z3)=",c.fase(z3))
print("gradi(arc(z3))=",m.gradi(c.phase(z3)))

z4=complesso('-12-48j')
print("abs(z4)=",abs(z4))
print("arco(z4)=",c.fase(z4))
print("gradi(arc(z4))=",m.gradi(c.phase(z4)))

La funzione arc () di TINA determina l'angolo di qualsiasi numero complesso, posizionandolo automaticamente in uno dei quattro quadranti.

Stai attento, tuttavia, usando l'abbronzatura^-1 funzione per trovare l'angolo, poiché è limitato agli angoli di ritorno solo nel primo e quarto quadrante (–90 °φ<90 °).

Dal z₁si trova nel primo quadrante del sistema di coordinate, il calcolo è:

α₁ = tan^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

Dal z₄si trova nel terzo quadrante del sistema di coordinate, tan^-1non restituisce l'angolo correttamente. Il calcolo dell'angolo è:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° o -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, che è lo stesso calcolato da TINA.

z₂si trova nel quarto quadrante del sistema di coordinate Il calcolo dell'angolo è:

α₂ = tan^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3,tuttavia, si trova nel quadrante 2nd del sistema di coordinate, quindi tan^-1non restituisce l'angolo correttamente. Il calcolo dell'angolo è:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

esempio 4 Abbiamo due numeri complessi: z₁= 4 - j 6 e z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

Trovare z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Per prima cosa risolviamo il problema usando l'interprete di TINA

{Soluzione dell'interprete di TINA}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Osserva come TINA gestisce senza sforzo i due numeri complessi indicati in diverse forme.

La soluzione è più complicata senza l'interprete. In modo che possiamo confrontare i diversi metodi di moltiplicazione e divisione, per prima cosa determineremo la forma polare di z₁ e la forma rettangolare di z₂.

Successivamente, troviamo le quattro soluzioni che utilizzano prima le forme più semplici: rettangolare per addizione e sottrazione ed esponenziale per moltiplicazione e divisione: