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Molti circuiti sono troppo complessi per essere risolti utilizzando le regole per i circuiti in serie o in parallelo o le tecniche per la conversione in circuiti più semplici descritti nei capitoli precedenti. Per questi circuiti abbiamo bisogno di metodi di soluzione più generali. Il metodo più generale è dato dalle leggi di Kirchhoff, che consentono il calcolo di tutte le tensioni e correnti dei circuiti mediante una soluzione di un sistema di equazioni lineari.
Ci sono due Leggi di Kirchhoff, la legge sulla tensione e la corrente legge. Queste due leggi possono essere utilizzate per determinare tutte le tensioni e le correnti dei circuiti.
La legge sulla tensione di Kirchhoff (KVL) afferma che la somma algebrica della tensione aumenta e la caduta di tensione attorno a un circuito deve essere zero.
Un loop nella definizione sopra indica un percorso chiuso nel circuito; vale a dire un percorso che lascia un nodo in una direzione e ritorna allo stesso nodo da un'altra direzione.
Nei nostri esempi, useremo la direzione in senso orario per i loop; tuttavia, si otterranno gli stessi risultati se si utilizza la direzione antioraria.
Per applicare KVL senza errori, dobbiamo definire la cosiddetta direzione di riferimento. La direzione di riferimento delle tensioni sconosciute punta dal segno + al - delle tensioni assunte. Immagina di usare un voltmetro. Posizionereste la sonda positiva voltmetro (di solito rossa) sul riferimento + terminale del componente. Se la tensione reale è positiva, è nella stessa direzione che abbiamo assunto, e sia la nostra soluzione che il voltmetro mostreranno un valore positivo.
Quando si ricava la somma algebrica delle tensioni, dobbiamo assegnare un segno più a quelle tensioni in cui la direzione di riferimento concorda con la direzione del loop e segni negativi nel caso opposto.
Un altro modo per affermare la legge sulla tensione di Kirchhoff è: la tensione applicata di un circuito in serie è uguale alla somma delle cadute di tensione attraverso gli elementi della serie.
Il seguente breve esempio mostra l'uso della legge sulla tensione di Kirchhoff.
Trova la tensione attraverso la resistenza R2, dato che la tensione sorgente, VS = 100 V e che la tensione attraverso la resistenza R1 è V1 = 40 V.
La figura seguente può essere creata con TINA Pro versione 6 e successive, in cui gli strumenti di disegno sono disponibili nell'editor schematico.
La soluzione che utilizza la legge sulla tensione di Kirchhoff: -VS + V1 + V2 = 0 o VS = V1 + V2
quindi: V2 = VS - V1 = 100-40 = 60V
Nota che normalmente non conosciamo le tensioni dei resistori (a meno che non li misuriamo) e dobbiamo usare entrambe le leggi di Kirchhoff per la soluzione.
L'attuale legge di Kirchhoff (KCL) afferma che la somma algebrica di tutte le correnti che entrano e escono da qualsiasi nodo in un circuito è zero.
Di seguito, diamo un segno + alle correnti che lasciano un nodo e un segno - alle correnti che entrano in un nodo.
Ecco un esempio di base che dimostra l'attuale legge di Kirchhoff.
Trova l'attuale I2 se la fonte di corrente IS = 12 A, e io1 = 8 A.
Utilizzando la legge corrente di Kirchhoff sul nodo cerchiato: -IS I +1 I +2 = 0, quindi: I2= IS - I1 = 12 - 8 = 4 A, come puoi controllare usando TINA (figura successiva).
Nel prossimo esempio, useremo sia le leggi di Kirchhoff sia la legge di Ohm per calcolare la corrente e la tensione attraverso i resistori.
Nella figura seguente, noterai il Freccia di tensione sopra resistenze. Questo è un nuovo componente disponibile in Versione 6 di TINA e funziona come un voltmetro. Se lo colleghi attraverso un componente, la freccia determina la direzione di riferimento (per confrontare un voltmetro, immagina di posizionare la sonda rossa sulla coda della freccia e la sonda nera sulla punta). Quando si esegue l'analisi CC, la tensione effettiva sul componente verrà visualizzata sulla freccia.
Per iniziare a usare la legge attuale di Kirchhoff, vediamo che le correnti attraverso tutti i componenti sono le stesse, quindi denotiamo quella corrente con I.
Secondo la legge sulla tensione di Kirchhoff: VS = V1+V2+V3
Ora usando la legge di Ohm: VS= I * R1+ I * R2+ I * R3
E da qui la corrente del circuito:
I = VS / (R1+R2+R3) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A
Finalmente le tensioni dei resistori:
V1= I * R1 = 2 * 10 = 20 V; V2 = I * R2 = 2 * 20 = 40 V; V3 = I * R3 = 2 * 30 = 60 V
Gli stessi risultati si vedranno sulle frecce di tensione semplicemente eseguendo l'analisi DC interattiva di TINA.
In questo prossimo circuito, più complesso, utilizziamo sia le leggi di Kirchhoff che la legge di Ohm, ma scopriamo che risolviamo maggiormente un sistema lineare di equazioni.
Il numero totale di applicazioni indipendenti delle leggi di Kirchhoff in un circuito è il numero di rami del circuito, mentre il numero totale di incognite (la corrente e la tensione di ciascun ramo) è il doppio di quello. Tuttavia, usando anche la legge di Ohm su ciascun resistore e le semplici equazioni che definiscono le tensioni e le correnti applicate, otteniamo un sistema di equazioni in cui il numero di incognite è uguale al numero di equazioni.
Trova le correnti di ramo I1, I2, I3 nel circuito qui sotto.
L'insieme di equazioni segue:
L'equazione nodale per il nodo cerchiato:
- I1 - I2 - I3 = 0
o moltiplicando per -1
I1 + I2 I +3 = 0
Le equazioni del loop (usando la direzione in senso orario) per il loop L1, contenente V1, R1 e R3
-V1+I1*R1-I3*R3 = 0
e per il ciclo L2, contenente V2, R2 e R3
I3*R3 - I2*R2 +V2 = 0
Sostituendo i valori del componente:
I1I +2I +3 = 0 -8 + 40 * I1 - 40 * I3 = 0 40 * I3 -20 * I2 + 16 = 0
Esprimi I1 usando l'equazione nodale: I1 = -I2 - I3
quindi sostituirlo nella seconda equazione:
-V1 - (IO2 I +3) * R1 -IO3*R3 = 0 or -8- (I2 I +3) * 40 - I3* 40 = 0
Esprimi I2 e sostituirlo nella terza equazione, da cui è già possibile calcolare I.3:
I2 = - (V1 I +3* (R1+R3)) / R1 or I2 = - (8 + I3* 80) / 40
I3*R3 + R2* (V1 I +3* (R1+R3)) / R1 +V2 = 0 or I3* 40 + 20 * (8 + I3* 80) / 40 + 16 = 0
E: I3 = - (V2 + V1*R2/R1) / (R3+ (R1+R3) * R2/R1) or I3 = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)
Quindi I3 = - 0.25 A; I2 = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A ed I1 = - (0.3-0.25) = - 0.05 A
Oppure: I1 = -50 mA; I2 = 300 mA; I3 = -250 mA.
Ora risolviamo le stesse equazioni con l'interprete di TINA:
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
fine;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]
importa numpy come np, sympy come s
#Abbiamo un sistema lineare di
#equazioni che vogliamo risolvere:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0
I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
stampa(sol)
A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])
b= np.array([0,V1,-V2])
x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#1
print("I1= %.3f"%x[0])
#2
print("I2= %.3f"%x[1])
#3
print("I3= %.3f"%x[2])
Finalmente controlliamo il risultati usando TINA:
Quindi, analizziamo il seguente circuito ancora più complesso e determiniamo le sue correnti e tensioni di diramazione.
Indichiamo le tensioni e le correnti sconosciute aggiungendo frecce di tensione e corrente ai componenti e mostriamo anche i loop (L1, L2, L3) e i nodi (N1, N2) in cui utilizzeremo le equazioni di Kirchhoff.
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Ecco l'insieme di Equazioni di Kirchhoff per i loop (usando la direzione in senso orario) e i nodi.
-IL I +R1 - Is = 0 (per N1)
- IR1 I +R2 I +s3 = 0 (per N2)
-Vs1 - VR3 + VIs + VL = 0 (per L1)
-VIs + Vs2 +VR2 +VR1 = 0 (per L2)
-VR2 - Vs2 + Vs3 = 0 (per L3)
Applicazione della legge di Ohm:
VL = IL*RL
VR1 =IR1*R1
VR2 = IR2*R2
VR3 = - IL*R3
Sono 9 incognite e 9 equazioni. Il modo più semplice per risolverlo è usare TINA
interprete. Tuttavia, se si preme per utilizzare i calcoli manuali, si nota che questo insieme di equazioni può essere facilmente ridotto a un sistema di 5 incognite sostituendo le ultime 4 equazioni nelle equazioni del ciclo L1, L2, L3. Inoltre, aggiungendo equazioni (L1) e (L2), possiamo eliminare VIs , riducendo il problema a un sistema di equazioni 4 per incognite 4 (IL, IR1 IR2, Is3). Quando abbiamo trovato queste correnti, possiamo facilmente determinare VL, VR1, VR2, e VR3 usando le ultime quattro equazioni (legge di Ohm).
Sostituendo VL ,VR1,VR2 ,VR3 :
-IL I +R1 - Is = 0 (per N1)
- IR1 I +R2 I +s3 = 0 (per N2)
-Vs1 I +L*R3 + VIs I +L*RL = 0 (per L1)
-VIs + Vs2 I +R2*R2 I +R1*R1 = 0 (Per L2)
- IR2*R2 - Vs2 + Vs3 = 0 (per L3)
Aggiungendo (L1) e (L2) otteniamo
-IL I +R1 - Is = 0 (per N1)
- IR1 I +R2 I +s3 = 0 (per N2)
-Vs1 I +L*R3 I +L*RL + Vs2 I +R2*R2 I +R1*R1 = 0 (L1) + (L2)
- IR2*R2 - Vs2 + Vs3 = 0 (per L3)
Dopo aver sostituito i valori dei componenti, la soluzione a queste equazioni viene prontamente.
-IL+IR1 - 2 = 0 (per N1)
-IR1 I +R2 I +S3 = 0 (per N2)
-120 - + IL* 90 + IL* 20 + 60 + IR2* 40 + IR1* 30 = 0 (L1) + (l2)
-IR2* 40 - 60 + 270 = 0 (per L3)
da L3 IR2 = 210 / 40 = 5.25 A (IO)
dal N2 IS3 - IR1 = - 5.25 (II)
da L1+L2 I 110L + 30 IR1 = -150 (III)
e per N1 IR1 - IL = 2 (IV)
Moltiplicare (IV) per -30 e aggiungere a (III) I 140L = -210 quindi IL = - 1.5 A
Sostituito IL in (IV) IR1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A
e ioR1 ai miglioramenti (II) IS3 = -5.25 + IR1 = -4,75 A
E le tensioni: VR1 = IR1*R1 = 15 V; VR2 = IR2*R2 = 210 V;
VR3 = - IL*R3= 135 V; VL = IL*RL = - 30 V; VIs = VS1+VR3-VL = 285 V
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-IS + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
fine;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VI = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]
#Ascia=b
importa numpy come np, sympy come s
#Soluzione simbolica utilizzando numpy.solve
#Equazioni:
#IL=-È+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Risolvere per:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1,VR3,VR2
IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-È+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
stampa(sol)
#Un altro metodo per risolvere utilizzando numpy.linalg
A=np.array(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])
b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])
x=np.linalg.solve(A,b)
#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print("IL= %.3f"%x[0])
print("IR1= %.3f"%x[1])
print("IR2= %.3f"%x[2])
print("È3= %.3f"%x[3])
print("Vis= %.3f"%x[4])
print("VL= %.3f"%x[5])
print("VR1= %.3f"%x[6])
print("VR2= %.3f"%x[8])
print("VR3= %.3f"%x[7])
Soluzione dell'insieme ridotto di equazioni utilizzando l'interprete:
| {Soluzione dell'insieme ridotto di equazioni dell'interprete di TINA} Sys Il, Ir1, Ir2, Is3 -Il + Ir1-2 = 0 -Ir1 + Ir2 + Is3 = 0 -120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0 -40 * Ir2 + 210 = 0 fine; Il = [- 1.5] Ir1 = [500m] Ir2 = [5.25] Is3 = [- 4.75] |
Possiamo anche inserire espressioni per le tensioni e farle calcolare dall'interprete di TINA:
| Il: = - 1.5; Ir1: = 0.5; Ir2: = 5.25; Is3: = - 4.75; Vl: = Il * RL; Vr1: = Ir1 * R1 Vr2: = Ir2 * R2; Vr3: = - Il * R3; VI: = Vs1-Vl + Vr3; Vl = [- 30] Vr1 = [15] Vr2 = [210] Vr3 = [135] VI = [285] |
 |
Possiamo verificare il risultato con TINA semplicemente attivando la modalità interattiva CC di TINA o utilizzando Analisi / Analisi CC / Tensioni nodali
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