METODI CORRENTI DELLA CORSA E DELLA MAGLIA

Fare clic o toccare i seguenti circuiti di esempio per richiamare TINACloud e selezionare la modalità DC interattiva per analizzarli online.
Ottieni un accesso a basso costo a TINACloud per modificare gli esempi o creare i tuoi circuiti

Un altro modo di semplificare il set completo delle equazioni di Kirchhoff è il metodo corrente mesh o loop. Usando questo metodo, l'attuale legge di Kirchhoff viene soddisfatta automaticamente e le equazioni del ciclo che scriviamo soddisfano anche la legge di tensione di Kirchhoff. La soddisfazione della legge attuale di Kirchhoff si ottiene assegnando loop di corrente chiusi chiamati correnti mesh o loop a ciascun loop indipendente del circuito e usando queste correnti per esprimere tutte le altre quantità del circuito. Poiché le correnti del circuito sono chiuse, anche la corrente che fluisce in un nodo deve fuoriuscire dal nodo; quindi scrivere equazioni di nodo con queste correnti porta all'identità.

Consideriamo innanzitutto il metodo delle correnti mesh.

Notiamo innanzitutto che il metodo della corrente mesh è applicabile solo per i circuiti "planari". I circuiti planari non hanno fili incrociati quando disegnati su un piano. Spesso, ridisegnando un circuito che sembra non planare, è possibile determinare che in realtà è planare. Per i circuiti non planari, utilizzare il metodo corrente loop descritto più avanti in questo capitolo.

Per spiegare l'idea delle correnti mesh, immagina i rami del circuito come "rete da pesca" e assegna una corrente mesh a ciascuna rete della rete. (A volte si dice anche che un loop di corrente chiuso è assegnato in ogni "finestra" del circuito.)

Il diagramma schematico La "rete da pesca" o il grafico del circuito

La tecnica di rappresentare il circuito con un semplice disegno, chiamato a grafico, è abbastanza potente. Da Le leggi di Kirchhoff non dipendono dalla natura dei componenti, puoi ignorare i componenti in calcestruzzo e sostituirli con semplici segmenti di linea, chiamati rami del grafico. La rappresentazione di circuiti tramite grafici ci consente di utilizzare le tecniche matematiche teoria dei grafi. Questo ci aiuta a esplorare la natura topologica di un circuito e determinare i circuiti indipendenti. Torna più tardi su questo sito per leggere di più su questo argomento.

I passaggi dell'analisi della corrente della mesh:

1. Assegna una corrente mesh a ciascuna mesh. Sebbene la direzione sia arbitraria, è consuetudine utilizzare la direzione in senso orario.
   

2. Applica la legge di tensione di Kirchhoff (KVL) attorno a ciascuna mesh, nella stessa direzione delle correnti della mesh. Se un resistore ha due o più correnti di mesh attraverso di esso, la corrente totale attraverso il resistore viene calcolata come somma algebrica delle correnti di mesh. In altre parole, se una corrente che fluisce attraverso la resistenza ha la stessa direzione della corrente di maglia del loop, ha un segno positivo, altrimenti un segno negativo nella somma. Le fonti di tensione vengono prese in considerazione come al solito, se la loro direzione è uguale alla corrente di rete, la loro tensione viene considerata positiva, altrimenti negativa, nelle equazioni di KVL. Di solito, per le fonti correnti, solo una corrente mesh scorre attraverso la sorgente e quella corrente ha la stessa direzione della corrente della sorgente. In caso contrario, utilizzare il metodo della corrente di loop più generale, descritto più avanti in questo paragrafo. Non è necessario scrivere equazioni KVL per loop contenenti correnti mesh assegnate alle sorgenti correnti.
   

3. Risolvi le equazioni del loop risultanti per le correnti mesh.
   

4. Determinare qualsiasi corrente o tensione richiesta nel circuito usando le correnti di maglia.

Cerchiamo di illustrare il metodo con il seguente esempio:

Trova la corrente I nel circuito qui sotto.

Vediamo che ci sono due mesh (o una finestra sinistra e destra) in questo circuito. Assegniamo le correnti di mesh in senso orario J₁ e J₂ alle maglie. Quindi scriviamo le equazioni di KVL, esprimendo le tensioni sui resistori secondo la legge di Ohm:

-V₁ + J₁* (R_i1+R₁) - J₂*R₁ = 0

V₂ - J₁*R₁ + J₂* (R + R₁) = 0

Numericamente:

-12 + J₁* 17 - J₂* 2 = 0

6 - J₁* 2 + J₂* 14 = 0

espresso J₁ dalla prima equazione: J₁ = e quindi sostituire nella seconda equazione: 6 - 2 * + 14 * J₂ = 0

moltiplicare per 17: 102 - 24 + 4 * J₂ + 238 * J₂ = 0 quindi J₂ =

e J₁ =

Infine, la corrente richiesta:

Controlliamo i risultati con TINA:

Quindi, risolviamo di nuovo l'esempio precedente, ma con il più generale metodo delle correnti di circuito. Usando questo metodo, i loop di corrente chiusi, chiamati correnti di loop, sono assegnati non necessariamente alle maglie del circuito, ma a arbitrari loop indipendenti. Puoi assicurarti che i loop siano indipendenti avendo almeno un componente in ciascun loop che non è contenuto in nessun altro loop. Per i circuiti planari, il numero di circuiti indipendenti è uguale al numero di maglie, che è facile da vedere.

Un modo più preciso per determinare il numero di loop indipendenti è il seguente.

Dato un circuito con b rami e N nodi. Il numero dei loop indipendenti l è:

l = b - N + 1

Ciò deriva dal fatto che il numero di equazioni di Kirchhoff indipendenti deve essere uguale ai rami nel circuito, e sappiamo già che ci sono solo N-1 equazioni di nodo indipendenti. Pertanto, il numero totale delle equazioni di Kirchhoff è

b = N-1 + l e quindi l = b - N + 1

Questa equazione segue anche il teorema fondamentale della teoria dei grafi che verrà descritto più avanti in questo sito.

Ora risolviamo di nuovo l'esempio precedente, ma più semplicemente, usando il metodo loop current. Con questo metodo siamo liberi di usare loop in mesh o altri loop, ma manteniamo il loop con J₁ nella maglia sinistra del circuito. Tuttavia, per il secondo loop scegliamo il loop con J_2, come mostrato nella figura seguente. Il vantaggio di questa scelta è che J₁ sarà uguale alla corrente richiesta I, poiché è l'unica corrente di circuito che passa attraverso R1. Ciò significa che non è necessario calcolare J2 affatto. Si noti che, a differenza delle correnti "reali", il significato fisico delle correnti di circuito dipende da come le assegniamo al circuito.

Le equazioni di KVL:

J1 * (R₁+R_i1) + J2 * R _i1 - V₁ = 0

-V₁+ J1 * R_i1+ J2 * (R + R_i) + V₂ = 0

e la corrente richiesta: I = J₁

Numerically: J1*(15+2)+J2*15-12 = 0

-12 + J1 * 15 + J2 * (15 + 12) + 6 = 0

Esprimi J2 dalla seconda equazione:

Sostituisci nella prima equazione:

Quindi: J1 = I = 1 A

Ulteriori esempi

esempio 1

Trova la corrente I nel circuito qui sotto.

Si noti che la direzione di questa corrente del circuito è non in senso orario poiché la sua direzione è determinata dalla sorgente corrente. Tuttavia, poiché questa corrente di loop è già nota, non è necessario scrivere l'equazione KVL per il loop in cui I_S1 è preso.

Pertanto l'unica equazione da risolvere è:

-V₁ + I * R₂ + R₁ * (I - I_S1) = 0

quindi

I = (V₁ + R₁ *I_S1) / (R₁ + R₂)

Numericamente

I=(10+20*4)/(20+10)=3 A

Puoi anche generare questo risultato chiamando l'analisi simbolica di TINA dal menu Analisi / Analisi simbolica / Risultato DC:

Oppure puoi risolvere l'equazione KVL dall'interprete:

L'esempio seguente ha 3 fonti correnti ed è molto facile da risolvere con il metodo delle correnti di circuito.

esempio 2

Trova la tensione V.

In questo esempio, possiamo scegliere tre correnti di loop in modo che ognuna passi attraverso una sola sorgente di corrente. Pertanto, tutte e tre le correnti del circuito sono note e dobbiamo solo esprimere la tensione sconosciuta, V, usandole.

Rendendo la somma algebrica delle correnti attraverso R₃:

V = (I_S3 - I_S2) * R₃= (10-5) * 30 = 150 V. Puoi verificarlo con TINA :.

Fare clic / toccare il circuito sopra per analizzare online o fare clic su questo collegamento per salvare in Windows

Quindi, affrontiamo di nuovo un problema che abbiamo già risolto in Le leggi di Kirchhoff ed Nodo metodo potenziale capitoli.

esempio 3

Trova la tensione V del resistore R₄.

Fare clic / toccare il circuito sopra per analizzare online o fare clic su questo collegamento per salvare in Windows

R₁ = R₃ = 100 ohm, R₂ = R₄ = 50 ohm, R₅ = 20 ohm, R₆ = 40 ohm, R₇ = 75 ohm.

Questo problema aveva bisogno di almeno 4 equazioni da risolvere nei capitoli precedenti.

Risolvendo questo problema con il metodo delle correnti di loop, abbiamo quattro loop indipendenti, ma con la scelta corretta delle correnti di loop, una delle correnti di loop sarà uguale alla corrente di origine Is.

Sulla base delle correnti di loop mostrate nella figura sopra, le equazioni di loop sono:

V_S1+I₄* (R₅+R₆+R₇) - IO_S*R₆ -IO₃* (R₅ + R₆) = 0

V_S2 - I₃* (R₁+R₂) - IO_S*R₂ I +₂* (R₁ + R₂) = 0

-V_S1 I +₃* (R₁ + R₂ + R₃ + R₄ + R₅ + R₆) + I_S* (R₂ +R₄ + R₆) - IO₄* (R₅ + R₆) - I₂* (R₁ + R₂) = 0

La tensione sconosciuta V può essere espresso dalle correnti del circuito:

V = R₄ * (IO₂ I +₃)

Numericamente:

100 + I₄* 135-2 * 40-I₃* 60 = 0

150 + I₂* 150-2 * 50-I₃* 150 = 0

-100 + I₃* 360 + 2 * 140-I₄* 60-I₂* 150 = 0

V = 50 * (2 + I₃)

Possiamo usare la regola di Cramer per risolvere questo sistema di equazioni:

I₄ = D₃/D

dove D è il determinante del sistema. D_4, il determinante per I_4, è formato sostituendo il lato destro del sistema è posto per la colonna di I.₄coefficienti di.

Il sistema di equazioni in forma ordinata:

- 60 * I₃ + 135 * I₄= -20

150 * I₂-150 * I₃ = - 50

-150 * I₂+ 360 * I₃ - 60 * I₄= - 180

Di conseguenza, determinante D:

La soluzione di questo sistema di equazioni è:

V = R₄* (2 + I₃) = 34.8485 V

È possibile confermare la risposta tramite il risultato calcolato da TINA.

Fare clic / toccare il circuito sopra per analizzare online o fare clic su questo collegamento per salvare in Windows

In questo esempio, ogni corrente di circuito sconosciuta è una corrente di ramo (I1, I3 e I4); quindi è facile controllare il risultato confrontandolo con i risultati dell'analisi DC di TINA.