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L'insieme completo delle equazioni di Kirchhoff può essere notevolmente semplificato dal metodo del potenziale nodo descritto in questo capitolo. Usando questo metodo, la legge di tensione di Kirchhoff viene soddisfatta automaticamente e dobbiamo solo scrivere equazioni di nodo per soddisfare anche la legge attuale di Kirchhoff. La soddisfazione della legge sulla tensione di Kirchhoff si ottiene usando i potenziali di nodo (chiamati anche nodi o tensioni nodali) rispetto a un nodo particolare chiamato riferimento nodo. In altre parole, tutte le tensioni nel circuito sono relative a nodo di riferimento, che normalmente è considerato avere 0 potenziale. È facile vedere che con queste definizioni di tensione la legge di tensione di Kirchhoff è soddisfatta automaticamente, poiché scrivere equazioni di loop con questi potenziali porta all'identità. Nota che per un circuito con N nodi dovresti scrivere solo N - 1 equazioni. Normalmente, l'equazione del nodo per il nodo di riferimento viene tralasciata.
La somma di tutte le correnti nel circuito è zero poiché ogni corrente scorre dentro e fuori da un nodo. Pertanto, l'equazione del nodo N non è indipendente dalle precedenti equazioni N-1. Se includessimo tutte le equazioni N, avremmo un sistema di equazioni irrisolvibile.
Il metodo del potenziale nodo (chiamato anche analisi nodale) è il metodo più adatto alle applicazioni informatiche. La maggior parte dei programmi di analisi dei circuiti, incluso TINA, si basa su questo metodo.
I passaggi dell'analisi nodale:
1. Scegliere un nodo di riferimento con potenziale nodo 0 ed etichettare ciascun nodo rimanente con V1, V2 or j1, j2e così via.
2. Applica la legge attuale di Kirchhoff su ciascun nodo tranne il nodo di riferimento. Usa la legge di Ohm per esprimere correnti sconosciute da potenziali di nodo e tensioni della sorgente di tensione quando necessario. Per tutte le correnti sconosciute, assumere la stessa direzione di riferimento (ad esempio, puntando fuori dal nodo) per ogni applicazione della legge attuale di Kirchhoff.
3. Risolvi le equazioni dei nodi risultanti per le tensioni dei nodi.
4. Determinare qualsiasi corrente o tensione richiesta nel circuito usando le tensioni del nodo.
Illustriamo il passaggio 2 scrivendo l'equazione del nodo per il nodo V1 del seguente frammento di circuito:
Innanzitutto, trova la corrente dal nodo V1 al nodo V2. Useremo la legge di Ohm a R1. La tensione attraverso R1 è V1 - V2 - VS1
E la corrente attraverso R1 (e dal nodo V1 al nodo V2) è
Si noti che questa corrente ha una direzione di riferimento che punta fuori dalla V1 nodo. Usando la convenzione per le correnti che puntano fuori da un nodo, dovrebbe essere preso in considerazione nell'equazione del nodo con un segno positivo.
L'espressione corrente del ramo tra V1 e V3 sarà simile, ma dal momento che VS2 è nella direzione opposta a quella di VS1 (che significa il potenziale del nodo tra VS2 e R2 è V3-VS2), la corrente è
Infine, a causa della direzione di riferimento indicata, IS2 dovrei avere un segno positivo e ioS1 un segno negativo nell'equazione dei nodi.
L'equazione del nodo:
Vediamo ora un esempio completo per dimostrare l'uso del metodo del potenziale nodo.
Trova la tensione V e le correnti attraverso i resistori nel circuito sottostante
Dato che abbiamo solo due nodi in questo circuito, possiamo ridurre la soluzione alla determinazione di una quantità sconosciuta il nodo inferiore come nodo di riferimento, la tensione del nodo sconosciuto è la tensione che stiamo risolvendo, V.
L'equazione nodale per il nodo superiore:
Numericamente:
Moltiplicare per 30: 7.5 + 3V - 30 + 1.5 V + 7.5. + V - 40 = 0 5.5 V -55 = 0
Quindi: V = 10 V
Sys V
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
fine;
V = [10]
importa numpy come n, sympy come s
#I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
#Scrivo la matrice dei coefficienti:
A=n.array([[1/R1+1/R2+1/R3]])
#Scrivi la matrice delle costanti:
b=n.array([-I+Vs1/R1-Vs2/R2+Vs3/R3])
V= n.linalg.solve(A,b)[0]
stampa(“%.3f”%V)
#Soluzione simbolica con risoluzione sympy
V= s.simboli('V')
sol = s.solve([I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3],[V])
stampa(sol)
Ora determiniamo le correnti attraverso i resistori. Questo è facile, poiché le stesse correnti sono utilizzate nell'equazione nodale sopra.
{Usa il metodo del potenziale del nodo!}
Sys V
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
fine;
V = [10]
{Le correnti dei resistori}
IR1: = (V-Vs1) / R1;
IR2: = (V + Vs2) / R2;
IR3: = (V-Vs3) / R3;
IR1 = [0]
IR2 = [750.0001m]
IR3 = [- 1000m]
Possiamo verificare il risultato con TINA semplicemente attivando la modalità interattiva CC di TINA o usando il comando Analisi / Analisi CC / Tensioni nodali.
Quindi, risolviamo il problema che era già stato usato come ultimo esempio di Le leggi di Kirchhoff capitolo
Trova le tensioni e le correnti di ogni elemento del circuito.
Scegliendo il nodo inferiore come nodo di riferimento del potenziale 0, la tensione nodale di N2 sarà uguale a VS3,: j2 = quindi abbiamo solo una tensione nodale sconosciuta. Ricorderete che in precedenza, usando l'intero set di equazioni di Kirchhoff, anche dopo alcune semplificazioni, avevamo un sistema lineare di equazioni di 4 incognite.
Scrivere le equazioni dei nodi per il nodo N1, denotiamo la tensione nodale di N1 by j1
La semplice equazione da risolvere è:
Numericamente:
Moltiplichiamo per 330, otteniamo:
3j1-360 - 660 + 11j1 - 2970 = 0 ® j1= 285 V
Dopo aver calcolato j1, è facile calcolare le altre quantità nel circuito.
Le correnti:
IS3 = IR1 - IR2 = 0.5 - 5.25 = - 4.75 A
E le tensioni:
VIs = j1 = 285 V
VR1= (j1 - VS3) = 285 - 270 = 15 V
VR2 = (VS3 - VS2) = 270 - 60 = 210 V
VL = - (j1-VS1-VR3) = -285 +120 +135 = - 30 V
Si può notare che con il metodo del potenziale nodo è ancora necessario qualche calcolo aggiuntivo per determinare le correnti e le tensioni del circuito. Tuttavia, questi calcoli sono molto semplici, molto più semplici rispetto alla risoluzione simultanea di sistemi di equazioni lineari per tutte le quantità di circuito.
Possiamo verificare il risultato con TINA semplicemente attivando la modalità interattiva CC di TINA o usando il comando Analisi / Analisi CC / Tensioni nodali.
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Vediamo ulteriori esempi.
esempio 1
Trova l'attuale I.
In questo circuito ci sono quattro nodi, ma poiché abbiamo una sorgente di tensione ideale che determina la tensione del nodo sul suo polo positivo, dovremmo scegliere il suo polo negativo come nodo di riferimento. Pertanto, abbiamo davvero solo due potenziali nodi sconosciuti: j1 ed j2 .
Le equazioni per i nodi dei potenziali j1 ed j2:
Numericamente:
Per risolvere questo, moltiplica la prima equazione per 3 e la seconda per 2, quindi aggiungi le due equazioni:
11j1 = 220
e quindi j1= 20V, j2 = (50 + 5j1) / 6 = 25 V
Finalmente la corrente sconosciuta:
La soluzione di un sistema di equazioni lineari può anche essere calcolata usando La regola di Cramer.
Illustriamo l'uso della regola di Cramer risolvendo di nuovo il sistema sopra.
1. Compila la matrice dei coefficienti di incognite:
2. Calcola il valore del determinante della matrice D.
| D| = 7 * 6 - (-5) * (- 4) = 22
3. Posizionare i valori del lato destro nella colonna dei coefficienti della variabile sconosciuta quindi calcolare il valore del determinante:
4.Divide i determinanti appena trovati dal determinante originale, per trovare i seguenti rapporti:
Quindi j1 = 20 V ed j2 = 25 V
Per verificare il risultato con TINA, è sufficiente attivare la modalità interattiva CC di TINA o utilizzare il comando Analisi / Analisi CC / Tensioni nodali. Si noti che utilizzando il Pin di tensione componente di TINA, è possibile mostrare direttamente i potenziali nodo ipotizzando che il Terra componente è connesso al nodo di riferimento.
Sys fi1, fi2
(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
fine;
fi1 = [20]
fi2 = [25]
I: = (fi2-VS1) / R1;
I = [500m]
importa numpy come n
#Abbiamo un sistema di
#equazioni lineari che
#vogliamo risolvere per fi1, fi2:
#(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
#(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
#Scrivo la matrice dei coefficienti:
A=n.array([[1/R2+1/R3+1/R4,-1/R2],[-1/R2,1/R2+1/R1]])
#Scrivi la matrice delle costanti:
b=n.array([[VS1/R3],[VS1/R1+Is]])
x=n.linalg.solve(A,b)
fi1,fi2=x[0],x[1]
print("fi1= %.3f"%fi1)
print("fi2= %.3f"%fi2)
I=(fi2-VS1)/R1
print("I= %.3f"%I)
Esempio 2.
Trova la tensione del resistore R4.
R1 = R3 = 100 ohm, R2 = R4 = 50 ohm, R5 = 20 ohm, R6 = 40 ohm, R7 = 75 ohm
In questo caso, è pratico scegliere il polo negativo della sorgente di tensione VS2 come nodo di riferimento perché quindi il polo positivo della VS2 la sorgente di tensione avrà VS2 = Potenziale di 150 nodi. A causa di questa scelta, tuttavia, la tensione V richiesta è opposta alla tensione del nodo N del nodo4; quindi V4 = - V.
Le equazioni:
Non presentiamo qui i calcoli delle mani, poiché le equazioni possono essere facilmente risolte dall'interprete di TINA.
{Usa il metodo del potenziale del nodo!}
Sys V, V1, V2, V3
V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
fine;
V1 = [116.6667]
V2 = [- 91.8182]
V3 = [19.697]
V = [34.8485]
importa numpy come n
#Utilizza il metodo del potenziale del nodo!
#Abbiamo un sistema di equazioni lineari che vogliamo risolvere
#per V,V1,V2,V3:
#V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
#(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
#(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
#(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
#Scrivo la matrice dei coefficienti:
A= n.array([[0,1/R2+1/R1,0,0],[1/R6,0,1/R6+1/R5,(-1)/R5],[1/R7,0,(-1)/R5,1/R7+1/R5+1/R3],[(-1)/R6-1/R4-1/R7,0,-1/R6,-1/R7]])
#Scrivi la matrice delle costanti:
b=n.array([(Vs2/R1)+Is,-(Vs1/R5)-Is,(Vs2/R3)+(Vs1/R5),0])
x= n.linalg.solve(A,b)
V=x[0]
print("V= %.4f"%V)
Per verificare il risultato con, TINA attiva semplicemente la modalità interattiva DC di TINA o usa il comando Analisi / Analisi DC / Tensioni nodali. Si noti che dobbiamo posizionare alcuni pin di tensione sui nodi per mostrare le tensioni dei nodi.
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