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Mentre passiamo dal nostro studio sui circuiti CC ai circuiti CA, dobbiamo considerare altri due tipi di componenti passivi, quelli che si comportano in modo molto diverso dai resistori, vale a dire, induttori e condensatori. I resistori sono caratterizzati solo dalla loro resistenza e dalla legge di Ohm. Induttori e condensatori cambiano la fase della loro corrente rispetto alla loro tensione e hanno impedenze che dipendono dalla frequenza. Questo rende i circuiti CA molto più interessanti e potenti. In questo capitolo vedrai come utilizzare fasori ci permetterà di caratterizzare tutti i componenti passivi (resistore, induttore e condensatore) nei circuiti CA mediante il loro impedenza e la generalizzata Legge di Ohm.
Resistore
Quando si utilizza un resistore in un circuito CA, le variazioni della corrente e della tensione attraverso il resistore sono in fase. In altre parole, le loro tensioni e correnti sinusoidali hanno la stessa fase. Questa relazione in fase può essere analizzata usando la legge di Ohm generalizzata per i fasori di tensione e corrente:
VM = R *IM or V = R *I
Ovviamente, possiamo usare la legge di Ohm semplicemente per i valori di picco o rms (i valori assoluti dei fasori complessi) -
VM = R * IM or V = R * I
ma questo modulo non contiene le informazioni sulla fase, che svolge un ruolo così importante nei circuiti CA.
Induttore
Un induttore è una lunghezza di filo, a volte solo una breve traccia su un PCB, a volte un filo più lungo a forma di bobina con un nucleo di ferro o aria.
Il simbolo dell'induttore è L, mentre il suo valore è chiamato induttanza. L'unità di induttanza è l'Henry (H), dal nome del famoso fisico americano Joseph Henry. All'aumentare dell'induttanza, aumenta anche l'opposizione dell'induttore al flusso di correnti CA.
Si può dimostrare che la tensione CA attraverso un induttore conduce la corrente di un quarto di periodo. Visto come fasori, la tensione è di 90° avanti (in senso antiorario) della corrente. Nel piano complesso, il fasore di tensione è perpendicolare al fasore corrente, nella direzione positiva (rispetto alla direzione di riferimento, in senso antiorario). Puoi esprimerlo con numeri complessi usando un fattore immaginario j come moltiplicatore.
I reattanza induttiva di un induttore riflette la sua opposizione al flusso di corrente alternata ad una particolare frequenza, è rappresentato dal simbolo XLe viene misurato in ohm. La reattanza induttiva è calcolata dalla relazione XL = w* L = 2 *p* F * L. La caduta di tensione attraverso un induttore è XL volte la corrente. Questa relazione è valida sia per i valori di picco o rms della tensione e della corrente. Nell'equazione per reattanza induttiva (XL ), f è frequenza in Hz, w la frequenza angolare in rad / s (radianti / secondo) e L l'induttanza in H (Henry). Quindi abbiamo due forme di legge di Ohm generalizzata:
1. Per la picco (VM, IM ) o puoi efficace (V, I) valori della corrente e la tensione:
VM = XL*IM or V = XL*I
2. Utilizzo di fasori complessi:
VM = j * XL IM or V = j * XL * I
Il rapporto tra i fasori di tensione e di corrente dell'induttore è il suo complesso impedenza induttiva:
ZL= V/I = VM / IM = j w L
Il rapporto tra i fasori della corrente e la tensione dell'induttore è il suo complesso ammissione induttiva:
YL= I / V = IM /VM = 1 / (j w L)
Puoi vedere che le tre forme della legge di Ohm generalizzata -ZL= V / I, I = V / ZLe V = I * ZL-Sono molto simili alla legge di Ohm per la corrente continua, tranne per il fatto che usano impedenza e fasori complessi. Usando l'impedenza, l'ammettenza e la legge di Ohm generalizzata, possiamo trattare i circuiti CA in modo molto simile ai circuiti CC.
Possiamo usare la legge di Ohm con la grandezza della reattanza induttiva proprio come abbiamo fatto per la resistenza. Semplicemente mettiamo in relazione il picco (VM, IM) e valori rms (V, I) della corrente e della tensione di XL, la grandezza della reattanza induttiva:
VM = XL IM or V = XL * I
Tuttavia, poiché queste equazioni non includono la differenza di fase tra la tensione e la corrente, non dovrebbero essere utilizzate a meno che la fase non sia di interesse o non sia presa in considerazione in altro modo.
Prova La funzione temporale della tensione attraverso un puro lineare induttore (un induttore con resistenza interna zero e nessuna capacità parassita) può essere trovato considerando la funzione temporale che mette in relazione la tensione e la corrente dell'induttore: Utilizzo del complesso concetto di funzione temporale introdotto nel capitolo precedente Utilizzo di fasori complessi: VL = j w L* IL o con funzioni in tempo reale vL (t) = w L iL (T + 90°) quindi la tensione è 90° prima della corrente. |
Dimostriamo la prova sopra con TINA e mostriamo la tensione e la corrente come funzioni temporali e come fasori, in un circuito contenente un generatore di tensione sinusoidale e un induttore. Per prima cosa calcoleremo le funzioni a mano.
Il circuito che studieremo è costituito da un induttore da 1mH collegato a un generatore di tensione con tensione sinusoidale di 1Vpk e una frequenza di 100Hz (vL= 1sin (wt) = 1sin (6.28 * 100t) V).
Usando la legge di Ohm generalizzata, il fasore complesso della corrente è:
ILM= VLM/(jwL) = 1 / (j6.28 * * 100 0.001) = -j1.59A
e di conseguenza la funzione temporale della corrente:
iL(t) = 1.59sin (wt-90°) UN.
Ora dimostriamo le stesse funzioni con TINA. I risultati sono mostrati nelle figure seguenti.
Nota sull'uso di TINA: abbiamo derivato la funzione time usando Analisi / Analisi AC / Funzione temporale, mentre il diagramma di phasor è stato derivato usando Analisi / Analisi AC / Diagramma di fase. Abbiamo quindi usato copia e incolla per mettere i risultati dell'analisi sul diagramma schematico. Per mostrare l'ampiezza e la fase degli strumenti sullo schema, abbiamo usato la modalità interattiva AC.
Lo schema del circuito con la funzione temporale incorporata e il diagramma fasoriale
Funzioni temporali
Diagramma di phaser
esempio 1
Trova la reattanza induttiva e l'impedenza complessa di un induttore con induttanza L = 3mH, a una frequenza f = 50 Hz.
XL = 2 *p* f * L = 2 * 3.14 * 50 * 0.003 = 0.9425 ohm = 942.5 mohms
L'impedenza complessa:
ZL= j w L = j 0.9425 = 0.9425 j ohm
Puoi controllare questi risultati usando il misuratore di impedenza TINA. Impostare la frequenza su 50Hz nella casella delle proprietà del misuratore di impedenza, che appare quando si fa doppio clic sul misuratore. Il misuratore di impedenza mostrerà la reattanza induttiva dell'induttore se si preme l'AC Modalità interattiva pulsante come mostrato in figura, o se si seleziona il Analisi / Analisi AC / Calcola tensioni nodali comando.
Usando il Analisi / Analisi AC / Calcola tensioni nodali comando, è anche possibile controllare l'impedenza complessa misurata dal misuratore. Spostando il tester a penna che appare dopo questo comando e facendo clic sull'induttore, vedrai la seguente tabella che mostra l'impedenza e l'ammissione complesse.
Si noti che sia l'impedenza che l'ammissione hanno una parte reale molto piccola (1E-16) a causa di errori di arrotondamento nel calcolo.
È inoltre possibile mostrare l'impedenza complessa come un fasore complesso utilizzando il diagramma di fase AC di TINA. Il risultato è mostrato nella figura successiva. Utilizzare il comando Etichetta automatica per inserire l'etichetta che mostra la reattanza induttiva sulla figura. Si noti che potrebbe essere necessario modificare le impostazioni automatiche degli assi facendo doppio clic per ottenere le scale mostrate di seguito.
esempio 2
Trova di nuovo la reattanza induttiva dell'induttore 3mH, ma questa volta con una frequenza f = 200kHz.
XL = 2 *p* f * L = 2 * 3.14 * 200 * 3 = 3769.91 ohm
Come puoi vedere, la reattanza induttiva Sorge con frequenza.
Usando TINA puoi anche tracciare la reattanza in funzione della frequenza.
Seleziona Analisi / Analisi AC / Trasferimento AC e imposta la casella di controllo Ampiezza e Fase. Apparirà il seguente diagramma:
In questo diagramma l'impedenza è mostrata su una scala lineare rispetto alla frequenza su una scala logaritmica. Questo nasconde il fatto che l'impedenza è una funzione lineare della frequenza. Per vedere questo, fai doppio clic sull'asse di frequenza superiore e imposta Scala su Lineare e Numero di tick su 6. Vedi la finestra di dialogo seguente:
Si noti che in alcune versioni precedenti di TINA il diagramma di fase può mostrare oscillazioni molto piccole di circa 90 gradi a causa di errori di arrotondamento. È possibile eliminare questo dal diagramma impostando il limite dell'asse verticale simile a quelli mostrati nelle figure sopra.
Condensatore
Un condensatore è costituito da due elettrodi conduttori di metallo separati da un materiale dielettrico (isolante). Il condensatore immagazzina la carica elettrica.
Il simbolo del condensatore è C, e il suo capacità (or capacità) viene misurato in farad (F), dal famoso chimico e fisico inglese Michael Faraday. All'aumentare della capacità, l'opposizione del condensatore al flusso di correnti CA. diminuisce. Inoltre, all'aumentare della frequenza, l'opposizione del condensatore al flusso di correnti AC diminuisce.
La corrente CA attraverso un condensatore conduce la tensione CA attraverso
senso antiorario) la corrente. Nel piano complesso, il fasore di tensione è perpendicolare al fasore corrente, in direzione negativa (rispetto alla direzione di riferimento, in senso antiorario). Puoi esprimerlo con numeri complessi usando un fattore immaginario -j come moltiplicatore.
I reattanza capacitiva di un condensatore riflette la sua opposizione al flusso di corrente alternata ad una particolare frequenza, è rappresentato dal simbolo XCe viene misurato in ohm. La reattanza capacitiva è calcolata dalla relazione XC = 1 / (2 *p* f * C) = 1 /wC. La caduta di tensione attraverso un condensatore è XC volte la corrente. Questa relazione è valida sia per i valori di picco o rms della tensione e della corrente. Nota: nell'equazione per capacitivo reattanza (XC ), f è frequenza in Hz, w la frequenza angolare in rad / s (radianti / secondo), C è il
in F (Farad) e XC è la reattanza capacitiva in ohm. Quindi abbiamo due forme di legge di Ohm generalizzata:
1. Per il picco assoluto or efficace valori della corrente e del voltaggio:
or V = XC*I
2. Per il picco complesso or efficace valori della corrente e della tensione:
VM = -j * XC*IM or V = - j * XC*I
Il rapporto tra i fasori di tensione e corrente del condensatore è il suo complesso impedenza capacitiva:
ZC = V / I = VM / IM = - j*XC = - j / wC
Il rapporto tra i fasori della corrente e la tensione del condensatore è il suo complesso ammissione capacitiva:
YC= I / V = IM / VM = j wC)
Dimostrazione: I funzione temporale della tensione attraverso una pura capacità lineare (un condensatore senza resistenza in parallelo o in serie e senza induttanza parassita) può essere espresso usando le funzioni temporali della tensione del condensatore (vC), carica (qC) e corrente (iC ): Se C non dipende dal tempo, usando funzioni temporali complesse: o usando phaser complessi: o con funzioni in tempo reale vc (t) = ic (T-90°) / (w C) quindi la tensione è 90° dietro il corrente. |
Dimostriamo la prova sopra con TINA e mostriamo la tensione e la corrente come funzioni del tempo e come fasori. Il nostro circuito contiene un generatore di tensione sinusoidale e un condensatore. Per prima cosa calcoleremo le funzioni a mano.
Il condensatore è 100nF ed è collegato attraverso un generatore di tensione con tensione sinusoidale di 2 V e una frequenza di 1 MHz: vL= 2sin (wt) = 2sin (6.28 * 106tv
Usando la legge di Ohm generalizzata, il fasore complesso della corrente è:
ICM= jwCVCM =j6.28*10610-7 * 2) =j1.26,
e di conseguenza la funzione temporale della corrente è:
iL(t) = 1.26sin (wt + 90°) A
quindi la corrente è in anticipo rispetto alla tensione di 90°.
Ora dimostriamo le stesse funzioni con TINA. I risultati sono mostrati nelle figure seguenti.
Lo schema del circuito con la funzione temporale incorporata e il diagramma fasoriale 
Diagramma temporale
Diagramma di phaser
esempio 3
Trova la reattanza capacitiva e l'impedenza complessa di un condensatore con C = 25 mCapacità F, ad una frequenza f = 50 Hz.
XC = 1 / (2 *p*f*C) = 1/(2*3.14*50*25*10-6) = 127.32 ohm
L'impedenza complessa:
Z-C= 1 / (j w C) = - j 127.32 = -127.32 j ohm
Controlliamo questi risultati con TINA come abbiamo fatto per l'induttore in precedenza.
È inoltre possibile mostrare l'impedenza complessa come un fasore complesso utilizzando il diagramma di fase AC di TINA. Il risultato è mostrato nella figura successiva. Utilizzare il comando Etichetta automatica per inserire l'etichetta che mostra la reattanza induttiva sulla figura. Si noti che potrebbe essere necessario modificare le impostazioni automatiche degli assi facendo doppio clic per ottenere le scale mostrate di seguito.
esempio 4
Trova la reattanza capacitiva di un 25 mCondensatore F di nuovo, ma questa volta a frequenza f = 200 kHz.
XC = 1 / (2 *p*f*C) = 1/(2*3.14*200*103* 25 * 10-6) = 0.0318 = 31.8 mohms.
Puoi vedere che la reattanza capacitiva diminuisce con frequenza.
Per vedere la dipendenza dalla frequenza dell'impedenza di un condensatore, usiamo TINA come abbiamo fatto prima con l'induttore.
Riassumendo ciò che abbiamo trattato in questo capitolo,
I legge di Ohm generalizzata:
Z = V / I = VM/IM
L'impedenza complessa per i componenti RLC di base:
ZR = R; ZL = j w L ed ZC = 1 / (j w C) = -j / wC
Abbiamo visto come la forma generalizzata della legge di Ohm si applica a tutti i componenti: resistori, condensatori e induttori. Poiché abbiamo già imparato a lavorare con le leggi di Kirchoff e la legge di Ohm per i circuiti CC, possiamo basarci su di esse e utilizzare regole e teoremi circuitali molto simili per i circuiti CA. Questo sarà descritto e dimostrato nei prossimi capitoli.
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