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I Teorema di Fourier afferma che qualsiasi forma d'onda periodica può essere sintetizzata aggiungendo termini seno e coseno opportunamente ponderati di varie frequenze. Il teorema è ben trattato in altri libri di testo, quindi riassumeremo solo i risultati e mostreremo alcuni esempi.

Lascia che la nostra funzione periodica sia f (t) = f (t ±nT) dove T è il tempo di un periodo e n è un numero intero.

w₀= 2p/ T la frequenza angolare fondamentale.

Dal Teorema di Fourier, la funzione periodica può essere scritta come la seguente somma:

where

A_n e B_n sono la Coefficienti di Fourier e la somma è il serie di Fourier.

Un'altra forma, probabilmente un po 'più pratica:

where

A₀ = C₀ è il valore DC o medio, A₁, B₁ e C₁ sono i componenti fondamentali e gli altri sono i termini armonici.

Sebbene possano essere necessari solo alcuni termini per approssimare alcune forme d'onda, altri richiederanno molti termini.

Generalmente, più termini sono inclusi, migliore è l'approssimazione, ma per le forme d'onda contenenti passaggi, come impulsi rettangolari, il Fenomeno di Gibbs entra in gioco. All'aumentare del numero di termini, il superamento si concentra in un periodo di tempo sempre più ridotto.

An funzione pari f (t) = f (-t) (simmetria degli assi) richiede solo termini di coseno.

An funzione dispari f (t) = - f (-t) (simmetria puntuale) richiede solo termini seno.

Una forma d'onda con simmetria a specchio oa mezz'onda ha solo dispari armoniche nella sua rappresentazione di Fourier.

Qui non ci occuperemo dell'espansione della serie di Fourier, ma useremo solo una data somma di seni e coseni come eccitazione per un circuito.

Nei capitoli precedenti di questo libro, ci siamo occupati dell'eccitazione sinusoidale. Se il circuito è lineare, il teorema di sovrapposizione è valido. Per una rete con eccitazione periodica non sinusoidale, la sovrapposizione ci consente di farlo calcolare le correnti e le tensioni dovute a ciascun termine sinusoide di Fourier uno alla volta. Quando tutti vengono calcolati, riassumiamo infine i componenti armonici della risposta.

È un po 'complicato determinare i diversi termini delle tensioni e delle correnti periodiche e, in effetti, può produrre un sovraccarico di informazioni. In pratica, vorremmo semplicemente effettuare misurazioni. Possiamo misurare i diversi termini armonici usando a analizzatore di armoniche, analizzatore di spettro, analizzatore di onde o analizzatore di Fourier. Tutti questi sono complicato e probabilmente produce più dati del necessario. A volte è sufficiente descrivere un segnale periodico solo in base ai suoi valori medi. Ma ci sono diversi tipi di misurazioni medie.

MEDIA VALORI

Media semplice or DC termine è stato visto nella rappresentazione di Fourier come A₀

Questa media può essere misurata con strumenti come il Deprez Strumenti DC.

Valore efficace or rms (radice quadrata media) ha la seguente definizione:

Questo è il valore medio più importante perché il calore dissipato nei resistori è proporzionale al valore effettivo. Molti voltmetri digitali e alcuni analogici possono misurare il valore effettivo di tensioni e correnti.

Media assoluta

Questa media non è più importante; strumenti precedenti hanno misurato questa forma di media.

Se conosciamo la rappresentazione di Fourier di una forma d'onda di tensione o corrente, possiamo anche calcolare i valori medi come segue:

Media semplice or DC termine è stato visto nella rappresentazione di Fourier come A₀ = C₀

Valore efficace or rms (radice media quadrata) è, dopo aver integrato la serie di Fourier della tensione:

I fattore klirr è un rapporto molto importante dei valori medi:

È il rapporto tra il valore effettivo dei termini armonici superiori al valore effettivo dell'armonica fondamentale:

Sembra che ci sia una contraddizione qui: risolviamo la rete in termini di componenti armoniche, ma misuriamo quantità medie.

Cerchiamo di illustrare il metodo con semplici esempi:

esempio 1

Trova la funzione tempo e il valore effettivo (rms) della tensione v_C(T)

Prova a usare il teorema di sovrapposizione per risolvere il problema.

Il primo passo è trovare la funzione di trasferimento in funzione della frequenza. Per semplicità, usa la sostituzione: s = j w

Ora sostituisci i valori dei componenti e s = jk w₀dove k = 0; 1; 3 in questo esempio e w₀= 30 krad / s. In V, A, ohm, mUnità F e Mrad / s:

È utile utilizzare una tabella per organizzare i passaggi della soluzione numerica:

Possiamo riassumere i passaggi della soluzione di sovrapposizione in un'altra tabella. Come abbiamo già visto, per trovare il valore di picco complesso di un componente, dovremmo moltiplicare il valore di picco complesso del componente dell'eccitazione per il valore della funzione di trasferimento complessa:

E infine possiamo dare la funzione tempo conoscendo i valori di picco complessi dei componenti:

v_C(t) = 100 + 110 cos (w₀t - 56.3°) + 6.51 cos (3w₀t - 167.5°) V

Il valore efficace (efficace) della tensione è:

Come puoi vedere, lo strumento di misura di TINA misura questo valore rms.

esempio 2

Trova la funzione tempo e il valore effettivo (rms) dell'attuale i (t)

Prova a risolvere il problema usando il teorema di sovrapposizione.

Ora sostituisci i valori numerici e s = jk w_0,dove k = 0; 1; 3 in questo esempio.

In V, A, ohm, mUnità F e Mrad / s:

È utile utilizzare una tabella durante la soluzione numerica:

Possiamo riassumere i passaggi della sovrapposizione in un'altra tabella. Come abbiamo già visto, per trovare il valore di picco di un componente, dovremmo moltiplicare il valore di picco complesso di quel componente dell'eccitazione per il valore della funzione di trasferimento complesso. Utilizzare i valori di picco complessi dei componenti dell'eccitazione:

E infine, conoscendo i complessi valori di picco dei componenti possiamo affermare la funzione tempo:

i (t) = 32.4 cos (w₀t + 33.7°) + 5.85 cos (3w₀t - 77.5°) [UN]

Tha valore efficace della corrente:

Spesso è possibile eseguire un controllo di integrità per parte della soluzione. Ad esempio, un condensatore può avere una tensione CC ma non una corrente CC.

esempio 3

Ottenere la funzione tempo della tensione V_ab if R₁= 12 ohm, R₂ = 14 ohm, L = 25 mH e

Il primo passo è trovare la funzione di trasferimento:

Sostituzione di valori numerici in unità V, A, ohm, mH, mF, kHz:

Unione delle due tabelle:

k V Sk		V abk
0/50		50
1/80		79.3 e-j66.3
2 30 ej60		29.7 e-j44.7

v_ab(t) = 50 + 79.3 cos (w₁t - 66.3°) + 29.7 cos (2w₁t - 44.7°) [V]

e il valore rms: