PRINCIPI DI CORRENTE ALTERNATA

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Una tensione sinusoidale può essere descritta dall'equazione:

v (t) = V_M sin (ωt + Φ) o v (t) = V_M cos (ωt + Φ)

Ecco alcuni esempi per illustrare i termini sopra.

Le proprietà della tensione 220 V CA nelle prese elettriche domestiche in Europa:

Valore effettivo: V_Eff = 220 V
Valore di picco: V_M= √2 * 220 V = 311 V

Frequenza: f = 50 1 / s = 50 Hz
Frequenza angolare: ω = 2 * π * f = 314 1 / s = 314 rad / s
Periodo: T = 1 / f = 20 ms
Funzione tempo: v (t) = 311 sin (314 t)

Vediamo la funzione del tempo usando il comando Analisi / AC Analisi / Tempo Funzione TINA.

Le proprietà della tensione 120 V CA nella presa elettrica domestica negli Stati Uniti:

Valore effettivo: V_Eff = 120 V
Valore di picco: V_M= √2 120 V = 169.68 V ≈ 170 V
Frequenza: f = 60 1 / s = 60 Hz
Frequenza angolare: ω = 2 * π * f = 376.8 rad / s ≈ 377 rad / s
Periodo: T = 1 / f = 16.7 ms
Funzione tempo: v (t) = 170 sin (377 t)

Si noti che in questo caso la funzione temporale può essere data come v (t) = 311 sin (314 t + Φ) o v (t) = 311 cos (314 t + Φ), poiché nel caso della tensione di uscita si non conosco la fase iniziale.

La fase iniziale svolge un ruolo importante quando sono presenti più tensioni contemporaneamente. Un buon esempio pratico è il sistema trifase, in cui sono presenti tre tensioni dello stesso valore di picco, forma e frequenza, ognuna delle quali ha uno sfasamento 120 ° rispetto alle altre. In una rete 60 Hz, le funzioni temporali sono:

v_A(t) = 170 sin (377 t)

v_B(t) = 170 sin (377 t - 120 °)

v_C(t) = 170 sin (377 t + 120 °)

La figura seguente realizzata con TINA mostra il circuito con queste funzioni temporali come generatori di tensione di TINA.

La differenza di tensione v_AB= v_A(tv_B(t) è mostrato come risolto dal comando Analisi / AC Analisi / Tempo Funzione TINA.

Si noti che il picco di v_AB (t) è approssimativamente 294 V, più grande dei picchi 170 V del v_A(t) o v_B(t) tensioni, ma anche non semplicemente la somma delle loro tensioni di picco. Ciò è dovuto alla differenza di fase. Discuteremo su come calcolare la tensione risultante (che è Ö3 * 170 @ 294 in questo caso) più avanti in questo capitolo e anche in separato Sistemi trifase capitolo.

Valori caratteristici di segnali sinusoidali

Sebbene un segnale AC varia continuamente durante il suo periodo, è facile definire alcuni valori caratteristici per il confronto di un'onda con un altro: questi sono i valori di picco, media e radice-media-quadrata (rms).

Abbiamo già incontrato il valore di picco V_M , che è semplicemente il valore massimo della funzione temporale, l'ampiezza dell'onda sinusoidale.

A volte viene utilizzato il valore picco-picco (pp). Per tensioni e correnti sinusoidali, il valore picco-picco è il doppio del valore di picco.

I valore medio dell'onda sinusoidale è la media aritmetica dei valori per il semiciclo positivo. È anche chiamato media assoluta poiché è uguale alla media del valore assoluto della forma d'onda. In pratica, incontriamo questa forma d'onda di rettifica l'onda sinusoidale con un circuito chiamato raddrizzatore a onda intera.

Si può dimostrare che la media assoluta di un'onda sinusoidale è:

V_AV= 2 / π V_M ≅ 0.637 V_M

Si noti che la media di un intero ciclo è zero.
Il valore efficace o rms di una tensione o di una corrente sinusoidale corrisponde al valore DC equivalente che produce la stessa potenza di riscaldamento. Ad esempio, una tensione con un valore effettivo di 120 V produce la stessa potenza di riscaldamento e di illuminazione di una lampadina come 120 V da una sorgente di tensione CC. Si può dimostrare che il valore efficace o efficace di un'onda sinusoidale è:

V_rms = V_M / √2 ≅ 0.707 V_M

Questi valori possono essere calcolati allo stesso modo per entrambe le tensioni e le correnti.

Il valore efficace è molto importante nella pratica. Salvo diversa indicazione, le tensioni CA della linea elettrica (ad es. 110V o 220V) sono espresse in valori efficaci. La maggior parte dei misuratori CA sono calibrati in rms e indicano il livello rms.

esempio 1 Trova il valore di picco della tensione sinusoidale in una rete elettrica con valore 220 V rms.

V_M = 220 / 0.707 = 311.17 V

esempio 2 Trova il valore di picco della tensione sinusoidale in una rete elettrica con valore 110 V rms.

V_M = 110 / 0.707 = 155.58 V

esempio 3 Trova la media (assoluta) della tensione sinusoidale se il suo valore efficace è 220 V.

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 311.17 = 198.26 V

esempio 4 Trova la media assoluta della tensione sinusoidale se il suo valore efficace è 110 V.

Il picco della tensione dall'esempio 2 è155.58 V e quindi:

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 155.58 = 99.13 V

esempio 5 Trova il rapporto tra la media assoluta (V_a) e valori rms (V) per la forma d'onda sinusoidale.

V / V_a = 0.707 / 0.637 = 1.11

Si noti che non è possibile aggiungere valori medi in un circuito CA perché ciò conduce a risultati impropri.

PHASORS

Come abbiamo già visto nella sezione precedente, è spesso necessario nei circuiti AC aggiungere tensioni sinusoidali e correnti della stessa frequenza. Sebbene sia possibile aggiungere numericamente i segnali usando TINA, o impiegando relazioni trigonometriche, è più conveniente usare il cosiddetto fasore metodo. Un fasore è un numero complesso che rappresenta l'ampiezza e la fase di un segnale sinusoidale. È importante notare che il fasore non rappresenta la frequenza, che deve essere la stessa per tutti i fasori.

Un fasore può essere gestito come un numero complesso o rappresentato graficamente come una freccia planare nel piano complesso. La rappresentazione grafica è chiamata diagramma di fasori. Utilizzando i diagrammi phasor, è possibile aggiungere o sottrarre fasori in un piano complesso mediante la regola del triangolo o del parallelogramma.

Esistono due forme di numeri complessi: rettangolare ed polare.

La rappresentazione rettangolare è nella forma + jb, dove j = Ö-1 è l'unità immaginaria.

La rappresentazione polare è nella forma Ae^{j j} , dove A è il valore assoluto (ampiezza) e f è l'angolo del fasore dall'asse reale positivo, in senso antiorario.

Noi useremo perno lettere per quantità complesse.

Ora vediamo come derivare il corrispondente fasore da una funzione temporale.

Innanzitutto, supponiamo che tutte le tensioni nel circuito siano espresse sotto forma di funzioni coseno. (Tutte le tensioni possono essere convertite in quella forma.) Quindi il fasore corrispondente alla tensione di v (t) = V_M cos ( w t+f) è: V_M = V_Me ^jf , che è anche chiamato il valore di picco complesso.

Ad esempio, considera la tensione: v (t) = 10 cos ( w t + 30°)

Il fasore corrispondente è: V

Possiamo calcolare la funzione del tempo da un fasore allo stesso modo. Per prima cosa scriviamo il fasore in forma polare es V_M = V_Me ^jr e quindi la funzione temporale corrispondente è

v (t) = V_M (cos (wt+r).

Ad esempio, considera il fasore V_M = 10 - j20 V

Portandolo in forma polare:

E quindi la funzione del tempo è: v (t) = 22.36 cos (wt - 63.5^°) V

I fasori vengono spesso usati per definire il valore efficace effettivo o efficace delle tensioni e correnti nei circuiti CA. Dato v (t) = V_Mcos (wt+r) = 10cos (wt + 30°)

Numericamente:

v (t) = 10 * cos (wt-30°)

Il valore efficace complesso (rms): V = 0.707 * 10 * e^{- j30°} = 7.07 e^{- j30°} = 6.13 - j 3.535

Viceversa: se il valore effettivo complesso di una tensione è:

V = - 10 + j 20 = 22.36 e ^{j 116.5°}

quindi il valore di picco complesso:

e la funzione del tempo: v (t) = 31.63 cos ( wt + 116.5° ) V

Una breve giustificazione delle tecniche di cui sopra è la seguente. Data una funzione temporale
V_M (cos ( w t+r), definiamo il funzione temporale complessa come:

v (t) = V_M e ^jr e ^jwt = V_Me ^jwt = V_M (cos (r) + j peccato(r)) E ^jwt

where V_M =V_M e ^{j r t} = V_M (cos (r) + j peccato(r)) è solo il fasore introdotto sopra.

Ad esempio, la funzione temporale complessa di v (t) = 10 cos (wt + 30°)

v (t) = V_Me ^jwt = 10 e ^j30 e ^jwt = 10e ^jwt (cos (30) + j sin (30)) = e ^jwt (8.66 +j5)

Introducendo la complessa funzione del tempo, abbiamo una rappresentazione con una parte reale e una parte immaginaria. Possiamo sempre recuperare la vera funzione del tempo originale prendendo la parte reale del nostro risultato: v (t) = Re {v(T)}

Tuttavia, la complessa funzione temporale ha il grande vantaggio che, dal momento che tutte le complesse funzioni temporali nei circuiti AC in esame hanno lo stesso valore e^jwt moltiplicatore, possiamo tenerne conto e lavorare solo con i phaser. Inoltre, in pratica non usiamo la e^jwt parte del tutto: solo le trasformazioni dalle funzioni del tempo ai fasori e viceversa.

Per dimostrare il vantaggio dell'uso dei fasori, vediamo il seguente esempio.

esempio 6 Trova la somma e la differenza delle tensioni:

v₁ = 100 cos (314 * t) ed v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Prima scrivi i fasori di entrambe le tensioni:

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

Quindi:

V_aggiungere = V_1M + V_2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e^{- j 14.63°}

V_sotto = V_1M - V_2M = 64.65 + j35.35 = 73.68 e ^{j 28.67°}

e quindi il tempo funziona:

v_aggiungere(t) = 139.89 * cos (wt - 14.63°)

v_sotto(t) = 73.68 * cos (wt + 28.67°)

Come mostra questo semplice esempio, il metodo dei fasori è uno strumento estremamente potente per risolvere i problemi di AC.

Risolviamo il problema utilizzando gli strumenti nell'interprete TINA.

I risultati dell'ampiezza e della fase confermano i calcoli della mano.

Ora controlliamo il risultato usando l'analisi AC di TINA.

Prima di eseguire l'analisi, assicuriamoci che il Funzione base per AC ia impostato su coseno nel Opzioni dell'editor finestra di dialogo dal menu Visualizza / Opzioni. Spiegheremo il ruolo di questo parametro a esempio 8.

I circuiti e i risultati:

esempio 7 Trova la somma e la differenza delle tensioni:

v₁ = 100 sin (314 * t) e v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

Questo esempio mostra una nuova domanda. Finora abbiamo richiesto che tutte le funzioni temporali siano date come funzioni del coseno. Cosa dovremmo fare con una funzione del tempo data come un seno? La soluzione è trasformare la funzione seno in una funzione coseno. Usando la relazione trigonometrica sin (x) = cos (x-p/ 2) = cos (x-90°), il nostro esempio può essere riformulato come segue:

v₁ = 100 cos (314t - 90°) ed v₂ = 50 cos (314 * t - 45°)

Ora i fasori delle tensioni sono:

V_1M = 100 e ^{- j 90°} = -100 j V_2M= 50 e ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

Quindi:

V _aggiungere = V_1M + V_2M = 35.53 Soluzioni j 135.35

V _sotto = V_1M - V_2M = - 35.53 Soluzioni j 64.47

e quindi il tempo funziona:

v_aggiungere(t) = 139.8966 cos (wt-75.36°)

v_sotto(t) = 73.68 cos (wt-118.68°)

Risolviamo il problema utilizzando gli strumenti nell'interprete TINA.

Controlliamo il risultato con AC Analysis di TINA

esempio 8

v₁ = 100 sin (314 * t) ed v₂ = 50 sin (314 * t-45°)

Questo esempio mostra un altro problema. Cosa succede se tutte le tensioni sono date come onde sinusoidali e vogliamo anche vedere il risultato come un'onda sinusoidale ?. Potremmo ovviamente convertire entrambe le tensioni in funzioni coseno, calcolare la risposta e poi riconvertire il risultato in una funzione seno, ma questo non è necessario. Possiamo creare fasori dalle onde sinusoidali nello stesso modo in cui abbiamo fatto dalle onde del coseno e quindi utilizzare semplicemente la loro ampiezza e fasi come ampiezza e fase delle onde sinusoidali nel risultato.

Questo ovviamente darà lo stesso risultato di trasformare le onde sinusoidali in onde cosine. Come abbiamo potuto vedere nell'esempio precedente, questo equivale a moltiplicare per -j e quindi usando il cos (x) = sin (x-90°) relazione per trasformarla in un'onda sinusoidale. Questo è equivalente a moltiplicare per j. In altre parole, poiché -j × j = 1, potremmo usare i fasori derivati ​​direttamente dalle ampiezze e dalle fasi delle onde sinusoidali per rappresentare la funzione e quindi tornare direttamente a loro. Inoltre, ragionando allo stesso modo sulle complesse funzioni temporali, potremmo considerare le onde sinusoidali come le parti immaginarie del complesso tempo funzioni e integrarle con la funzione coseno per creare la funzione temporale complessa completa.

Vediamo la soluzione a questo esempio usando le funzioni seno come base dei fasori (trasformando sin ( w t) al fasore unità reale (1)).

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45°} = 35.53 - j 35.35

Quindi:

V _aggiungere = V_1M + V_2M = 135.53 Soluzioni j 35.35

V _sotto = V_1M - V_2M = 64.47+ j 35.35

Si noti che i fasori sono esattamente gli stessi dell'Esempio 6 ma non le funzioni temporali:

v₃(t) = 139.9sin (wt - 14.64°)

v₄(t) = 73.68sin (wt + 28.68°)

Come puoi vedere, è molto facile ottenere il risultato usando le funzioni seno, specialmente quando i nostri dati iniziali sono onde sinusoidali. Molti libri di testo preferiscono utilizzare l'onda sinusoidale come funzione di base dei fasori. In pratica, puoi usare entrambi i metodi, ma non confonderli.

Quando crei i fasori, è molto importante che tutte le funzioni temporali siano prima convertite in seno o in coseno. Se hai iniziato dalle funzioni seno, le tue soluzioni dovrebbero essere rappresentate con funzioni seno quando si ritornano dai fasori alle funzioni temporali. Lo stesso è vero se inizi con le funzioni del coseno.

Risolviamo lo stesso problema usando la modalità interattiva di TINA. Dal momento che vogliamo usare le funzioni seno come base per creare i fasori, assicurati che il Funzione base per AC è impostato su loro nel Opzioni dell'editor finestra di dialogo dal menu Visualizza / Opzioni.

e le funzioni del tempo:

 

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