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Come abbiamo visto nel capitolo precedente, l'impedenza e l'ammissione possono essere manipolate usando le stesse regole utilizzate per i circuiti CC. In questo capitolo dimostreremo queste regole calcolando l'impedenza totale o equivalente per i circuiti CA in serie, in parallelo e in serie.
esempio 1
Trova l'impedenza equivalente del seguente circuito:
R = 12 ohm, L = 10 mH, f = 159 Hz
Gli elementi sono in serie, quindi ci rendiamo conto che dovrebbero essere aggiunte le loro impedenze complesse:
Zeq = ZR + ZL = R + j w L = 12 + j* * 2p* 159 * 0.01 = (12 + j 9.99) ohm = 15.6 ej39.8° ohm.
Yeq = 1 /Zeq = 0.064 e- j 39.8° S = 0.0492 - j 0.0409 S
Possiamo illustrare questo risultato usando i misuratori di impedenza e il diagramma a fasi in
TINA v6. Poiché il misuratore di impedenza di TINA è un dispositivo attivo e ne useremo due, dobbiamo organizzare il circuito in modo che i misuratori non si influenzino a vicenda.
Abbiamo creato un altro circuito solo per la misurazione delle impedenze delle parti. In questo circuito, i due metri non si "vedono" reciprocamente l'impedenza.
I Analisi / Analisi AC / Diagramma a fasi il comando disegna i tre fasori su un diagramma. Abbiamo usato il Etichetta automatica comando per aggiungere i valori e il linea comando dell'editor di diagramma per aggiungere le linee ausiliarie tratteggiate per la regola del parallelogramma.
Il circuito per misurare le impedenze delle parti
Diagramma di Fasor che mostra la costruzione di Zeq con la regola del parallelogramma
Come mostra il diagramma, l'impedenza totale, Zeq, può essere considerato come un vettore risultante complesso derivato usando il regola del parallelogramma dalle complesse impedenze ZR ed ZL.
esempio 2
Trova l'impedenza e l'ammissione equivalenti di questo circuito parallelo:
R = 20 ohm, C = 5 mF, f = 20 kHz
L'ammissione:
L'impedenza usando il Zbimbo= Z1 Z2 / (Z1 + Z2 ) formula per impedenze parallele:
Un altro modo in cui TINA può risolvere questo problema è con il suo interprete:
om: = 2 * pi * 20000;
Z: = Replus (R, (1 / j / om / C))
Z = [125.8545m-1.5815 * j]
Y: = 1 / R + j * om * C;
Y = [50m + 628.3185m * j]
importa la matematica come m
importa cmath come c
#Per prima cosa definisci il replus usando lambda:
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
#Semplifichiamo la stampa del complesso
#numeri per una maggiore trasparenza:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.format(Z)
om=2*c.pi*20000
Z=Replus(R,1/complesso(0,1/om/C))
print("Z="",cp(Z))
Y=complesso(1/R,om*C)
print("Y=",cp(Y))
esempio 3
Trova l'impedenza equivalente di questo circuito parallelo. Utilizza gli stessi elementi dell'esempio 1:
R = 12 ohm e L = 10 mH, af = 159 Hz frequenza.
Per i circuiti paralleli, è spesso più semplice calcolare prima l'ammissione:
Yeq = YR + YL = 1 / R + 1 / (j*2*p*f * L) = 1 / 12 - j / 10 = 0.0833 - j 0.1 = 0.13 e-j 50° S
Zeq = 1 / Yeq = 7.68 e j 50° ohm.
Un altro modo in cui TINA può risolvere questo problema è con il suo interprete:
f: = 159;
om: = 2 * pi * f;
ZEQ: = replus (R, j * om * L);
ZEQ = [4.9124 + 5.9006 * j]
importa la matematica come m
importa cmath come c
#Per prima cosa definisci il replus usando lambda:
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
#Semplifichiamo la stampa del complesso
#numeri per una maggiore trasparenza:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.format(Z)
f = 159
om=2*c.pi*f
Zeq=Repiù(R,complesso(1j*om*L))
print("Zeq=",cp(Zeq))
esempio 4
Trova l'impedenza di un circuito in serie con R = 10 ohm, C = 4 mF, e L = 0.3 mH, ad una frequenza angolare w = 50 krad / s (F = w / 2p = 7.957 kHz).
Z = R + j w L - j / wC = 10 + j 5*104 * 3 * 10-4 - j / (5 * 104 * 4 * 10-6 ) = 10 + j 15 Soluzioni j 5
Z = (10 + j 10) Ohm = 14.14 ej 45° ohm.
Il circuito per misurare le impedenze delle parti
Il diagramma del fasore generato da TINA
Partendo dal diagramma dei fasori sopra, usiamo il triangolo o la regola di costruzione geometrica per trovare l'impedenza equivalente. Iniziamo spostando la coda di ZR alla punta di ZL. Quindi spostiamo la coda di ZC alla punta di ZR. Ora il risultato Zeq chiuderà esattamente il poligono a partire dalla coda del primo ZR phasor e termina alla punta di ZC.
Il diagramma dei fasori che mostra la costruzione geometrica di Zeq
om: = 50k;
ZR: = R;
ZL: = om * L;
ZC: = 1 / om / C;
Z: = ZR + j * ZL-j * ZC;
Z = [10 + 10 * j]
abs (Z) = [14.1421]
radtodeg (arco (Z)) = [45]
{altro modo}
ZEQ: = R + j * om * L + 1 / j / om / C;
ZEQ = [10 + 10 * j]
Abs (Zeq) = [14.1421]
fi: = arc (Z) * 180 / pi;
fi = [45]
importa la matematica come m
importa cmath come c
#Semplifichiamo la stampa del complesso
#numeri per una maggiore trasparenza:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.format(Z)
om=50000
ZR=R
ZL=om*L
ZC=1/om/C
Z=ZR+1j*ZL-1j*ZC
print("Z="",cp(Z))
print("abs(Z)= %.4f"%abs(Z))
print("gradi(arco(Z))= %.4f"%m.gradi(c.fase(Z)))
#altro modo
Zeq=R+1j*om*L+1/1j/om/C
print("Zeq=",cp(Zeq))
print("abs(Zeq)= %.4f"%abs(Zeq))
fi=c.fase(Z)*180/c.pi
print(“fi=",cp(fi))
Controlla i tuoi calcoli utilizzando TINA Menu Analisi Calcola le tensioni nodali. Quando si fa clic sul misuratore di impedenza, TINA presenta sia l'impedenza che l'ammissione e fornisce i risultati in forme algebriche ed esponenziali.
Poiché l'impedenza del circuito ha una fase positiva come un induttore, possiamo chiamarlo un circuito induttivo–Almeno a questa frequenza!
esempio 5
Trova una rete in serie più semplice che possa sostituire il circuito in serie dell'esempio 4 (alla frequenza indicata).
Abbiamo notato nell'esempio 4 che la rete è induttivo, quindi possiamo sostituirlo con una resistenza da 4 ohm e una reattanza induttiva da 10 ohm in serie:
XL = = 10 w* L = 50 * 103 L
® L = 0.2 mH
Non dimenticare che, poiché la reattanza induttiva dipende dalla frequenza, questa equivalenza è valida solo per prima frequenza.
esempio 6
Trova l'impedenza di tre componenti collegati in parallelo: R = 4 ohm, C = 4 mF, e L = 0.3 mH, a una frequenza angolare w = 50 krad / s (f = w / 2p = 7.947 kHz).
Notando che questo è un circuito parallelo, risolviamo prima l'ammissione:
1/Z = 1 / R + 1 / j w L + jwC = 0.25 - j / 15 +j0.2 = 0.25 +j 0.1333
Z = 1 / (0.25 + j 0.133) = (0.25 - j 0.133) / 0.0802 = 3.11 - j 1.65 = 3.5238 e-j 28.1° ohm.
om: = 50k;
ZR: = R;
ZL: = om * L;
ZC: = 1 / om / C;
Z: = 1 / (1 / R + 1 / j / ZL-1 / j / ZC);
Z = [3.1142-1.6609 * j]
abs (Z) = [3.5294]
fi: = radtodeg (arco (Z));
fi = [- 28.0725]
importa la matematica come m
importa cmath come c
#Semplifichiamo la stampa del complesso
#numeri per una maggiore trasparenza:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.format(Z)
#Definisci replus utilizzando lambda:
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=50000
ZR=R
ZL=om*L
ZC=1/om/C
Z=1/(1/R+1/1j/ZL-1/1j/ZC)
print("Z="",cp(Z))
print("abs(Z)= %.4f"%abs(Z))
fi=m.gradi(c.fase(Z))
print("fi= %.4f"%fi)
#un altro modo
Zeq=Repiù(R,Repiù(1j*om*L,1/1j/om/C))
print("Zeq=",cp(Zeq))
print("abs(Zeq)= %.4f"%abs(Zeq))
print("gradi(arco(Zeq))= %.4f"%m.gradi(c.fase(Zeq)))
L'interprete calcola la fase in radianti. Se vuoi una fase in gradi, puoi convertire da radianti a gradi moltiplicando per 180 e dividendo per p. In questo ultimo esempio, vedi un modo più semplice: usa la funzione integrata dell'Interprete, radtodeg. C'è anche una funzione inversa, Degtorad. Si noti che l'impedenza di questa rete ha una fase negativa come un condensatore, quindi diciamo che - a questa frequenza - è a circuito capacitivo.
Nell'esempio 4 abbiamo inserito tre componenti passivi in serie, mentre in questo esempio abbiamo posizionato gli stessi tre elementi in parallelo. Il confronto delle impedenze equivalenti calcolate alla stessa frequenza, rivela che sono totalmente diverse, persino il loro carattere induttivo o capacitivo.
esempio 7
Trova una semplice rete in serie che potrebbe sostituire il circuito parallelo dell'esempio 6 (alla frequenza indicata).
Questa rete è capacitiva a causa della fase negativa, quindi proviamo a sostituirla con una connessione in serie di un resistore e un condensatore:
Zeq = (3.11 - j 1.66) ohm = Re -j / wCe
Re = 3.11 ohm w* C = 1 / 1.66 = 0.6024
quindi
Re = 3.11 ohm
C = 12.048 mF
Naturalmente, in entrambi gli esempi è possibile sostituire il circuito parallelo con un circuito parallelo più semplice
esempio 8
Trova l'impedenza equivalente del seguente circuito più complicato alla frequenza f = 50 Hz:
om: = 2 * pi * 50;
Z1: = R3 + j * * om L3;
Z2: = replus (R2,1 / j / om / C);
ZEQ: = R1 + Replus (Z1, Z2);
ZEQ = [55.469-34.4532 * j]
abs (Zeq) = [65.2981]
radtodeg (arco (Zeq)) = [- 31.8455]
importa la matematica come m
importa cmath come c
#Semplifichiamo la stampa del complesso
#numeri per una maggiore trasparenza:
cp= lambda Z : “{:.4f}”.format(Z)
#Definisci replus utilizzando lambda:
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=2*c.pi*50
Z1=R3+1j*om*L3
Z2=Replus(R2,1/1j/om/C)
Zeq=R1+Repiù(Z1,Z2)
print("Zeq=",cp(Zeq))
print("abs(Zeq)= %.4f"%abs(Zeq))
print("gradi(arco(Zeq))= %.4f"%m.gradi(c.fase(Zeq)))
Abbiamo bisogno di una strategia prima di iniziare. Per prima cosa ridurremo C e R2 a un'impedenza equivalente, ZRC. Quindi, visto che ZRC è in parallelo con L3 e R3 collegati in serie, calcoleremo l'impedenza equivalente della loro connessione parallela, Z2. Infine, calcoliamo Z.eq come la somma di Z1 e Z2.
Ecco il calcolo di ZRC:
Ecco il calcolo di Z2:
E infine:
Zeq = Z1 + Z2 = (55.47 - j 34.45) ohm = 65.3 e-j31.8° ohm
secondo il risultato di TINA.
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