מספרים מסובכים

לחץ או הקש על מעגלי הדוגמה שלהלן כדי להפעיל את TINACloud ובחר במצב DC אינטראקטיבי כדי לנתח אותם באופן מקוון.
קבל גישה נמוכה עלות TINACloud כדי לערוך את הדוגמאות או ליצור מעגלים משלך

שיטות ושיטות לולאה

עקרונות חלופיים

בפרק זה ובפרקים הבאים, נציג נושא חשוב מאוד: AC, או זרם חלופי. השם לסירוגין הנוכחי אינו מדויק מאוד ובדרך כלל מכסה מעגלים עם מתח סינוסי וזרמים; עם זאת, לסירוגין הנוכחי יכול גם מתכוון כל צורת גל הנוכחי שרירותי. החשיבות של מתח AC היא כי סוג זה של מתח משמש מקור החשמל החשמלי העיקרי בבתים בתעשייה ברחבי העולם. זה גם הבסיס עבור אלקטרוניקה רבים, תקשורת, ויישומים תעשייתיים.

כדי להתמודד עם צורות גל סינוסי ואת המעגלים הקשורים אליהם, נשתמש בשיטה פשוטה ואלגנטית הנקראת שיטת הפאזורים. Phasors מבוססים על המאפיינים של מספרים מורכבים, אשר אידיאליים לייצוג כמויות סינוסי. בפרק זה נסכם את העובדות העיקריות על מספרים מורכבים ועל פעולותיהם. אנו גם נראה כיצד המתורגמן של TINA עושה את זה קל לעשות חישובים עם מספרים מורכבים.

מספרים מורכבים מורכבים משני חלקים, א חלק ממשי (x), אשר מספר אמיתי, וכן מה שנקרא חלק דמיוני (y), שהוא מספר אמיתי כפול , היחידה הדמיונית. המספר המורכב z, ולכן, ניתן לתאר את:

z = x + jy

איפה .

דוגמאות למספרים מורכבים:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

מספרים מורכבים הוצגו במקור במאה השבע עשרה לייצג שורשי פולינומים שלא ניתן היה לייצג אותם עם מספרים ממשיים בלבד. לדוגמא, שורשי המשוואה x²+ 2x + 2 = 0 ניתן לתאר רק כ- ו , או באמצעות הסימון , z₁= 1 + j ו z₂= 1- j. בעזרת הסימון החדש כדי לחקור את תכונותיהם של ביטויים, מתמטיקאים הצליחו להוכיח משפטים ולפתור בעיות שהיו עד אז קשות, אם לא בלתי אפשריות לפתור. זה הוביל להתבוננות באלגברה מורכבת ופונקציות מורכבות, שנמצאות כיום בשימוש נרחב במתמטיקה והנדסה.

ייצוג גיאומטרי של מספרים מורכבים

צורה מלבנית

מכיוון שתמיד ניתן להפריד בין מספר מורכב לחלקיו האמיתיים והמורכבים, אנו יכולים לייצג מספר מורכב כנקודה במישור דו ממדי. החלק האמיתי של מספר מורכב הוא השלכת הנקודה אל הציר האמיתי, והחלק המדומה של המספר הוא ההקרנה אל הציר הדמיוני. כאשר מספר מורכב מיוצג כסכום החלקים האמיתיים והדמיוניים, אנו אומרים שהוא נמצא בתוך מלבני or צורה אלגברית.

האיור הבא מציג את המספר המורכב z = 2 + 4j

פולאר וצורה מעריכית

כפי שניתן לראות מהתמונה למעלה, ניתן לייצג את הנקודה A גם על ידי אורך החץ, r (נקרא גם הערך המוחלט, הגודל או המשרעת) והזווית (או השלב) שלו, φ יחסית בכיוון נגד כיוון השעון לציר האופקי החיובי. זה קוטבי צורה של מספר מורכב. זה מסומן כ r ∠ φ.

השלב הבא הוא מאוד חשוב. מספר מורכב בצורת פולאר יכול גם להיות כתוב ב מעריכי טופס:

הביטוי הפשוט הזה מובחן בכך שיש לו מספר דמיוני באקספקטנט במקום המספר האמיתי הרגיל. מעריכי מורכב זה מתנהג בצורה שונה מאוד מהפונקציה האקספוננציאלית עם ויכוח אמיתי. ואילו ה^x גדל במהירות בעוצמה כדי להגדיל את x> 0 ויורד ל- x <0, הפונקציה בעל אותה גודל (z = 1) עבור כל φ. יתר על כן, ערכיו המורכבים מונחים על מעגל היחידה.

הנוסחה של אוילר מספקת קישור מאחד בין צורות מלבניות, קוטביות, מעריכי של מספרים מורכבים:

z = x + jy = re ^jφ r = r (cos φ + j חטא φ )

איפה

ו φ = tan^-1(y / x).

לדוגמה, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1(4 / 2) = 63.4 °

לכן .

או להפך:

יהיה עליך להיות מיומן בשימוש בשתי הטפסים, בהתאם ליישום. לדוגמה, ברור כי קל להוסיף או להוסיף חיסור כאשר המספרים הם בצורה מלבנית, בעוד שכפל וחילוק קל יותר לעשות זאת כאשר המספרים נמצאים בצורה מעריכית.

פעולות עם מספרים מורכבים

הפעולות שניתן לבצע עם מספרים מורכבים דומות לאלה של מספרים אמיתיים. להלן פירוט הכללים וכמה הגדרות חדשות.

פעולות עם j

פעולות עם j פשוט פעל מתוך ההגדרה של היחידה הדמיונית,

כדי שתוכל לעבוד במהירות ובדייקנות, עליך לזכור את הכללים הבאים:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

הוכחה:

j² = -1 פשוט נובע מן ההגדרה של , מאז

עבור 1 /j, אנו מכפילים 1 /jby j / j = 1 וקבל j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

מצומד מורכב

הצמד המורכב של מספר מורכב הוא נגזר בקלות והוא חשוב למדי. כדי להשיג את המצומד המורכב של מספר מורכב בצורת מלבנית, פשוט לשנות את הסימן של החלק הדמיוני. כדי לעשות זאת עבור מספר בצורה מעריכית, לשנות את הסימן של הזווית של המספר המורכב, תוך שמירה על הערך המוחלט שלה זהה.

המורכב המורכב של מספר מורכב z מסומן לעתים קרובות על ידי z^*.

בהתחשב במספר המורכב z= a + jb, הצמיד המורכב שלה הוא z^*= a- jb.

If z ניתנת בצורה מעריכית, , הצמיד המורכב שלה הוא

באמצעות ההגדרות לעיל, קל לראות שמספר מורכב כפול מרוכב מורכב נותן את ריבוע הערך המוחלט של המספר המורכב:

zz^* M. 49²= a^{2 +}b²

כמו כן, על ידי הוספה או חיסור של כל מספר מורכב ו מצמידים שלה, אנו מקבלים את היחסים הבאים:

z + z ^* = 2a

לכן

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

באופן דומה:

z - z ^* =j2b

לכן

Im (z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

הוכחה:

או הכפלת החלקים האמיתיים והדמיוניים ושימוש j²= -1

zz^* = (+ j(א) jב) = א²+a jב - א jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = a + jb + a - jb = 2a

z - z^*= a + jb - a + jb =j2b

דוגמאות מספריות:

בצורת מלבנית:

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

בצורת קוטב

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠ - 53.13 °

בצורה מעריכית:

חיבור וחיסור

תוספת וחיסור של מספרים מורכבים היא דבר פשוט - אנחנו רק צריכים להוסיף את החלקים האמיתיים והדמיוניים בנפרד. לדוגמה, אם

z₁ = 3 - 4j ו z₂= 2 + 3j

אז

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

ברור שעלינו להשתמש בצורה מלבנית עבור פעולות אלה. אם המספרים ניתנים בצורה מעריכית או קוטבית, עלינו להפוך אותם תחילה לצורה מלבנית באמצעות הנוסחה של אוילר, כפי שניתנה קודם לכן.

כפל

ישנן שתי שיטות להכפלת מספרים מורכבים -

הכפלת מספרים מורכבים בצורת מלבני

כדי לבצע את הפעולה, פשוט הכפלו את החלקים האמיתיים והדמיוניים של מספר אחד בתורו על ידי החלקים האמיתיים והדמיוניים של המספר האחר והשתמשו בזהות. j²= -1.

z₁z₂ = (א₁ + jb₁) (א)₂ + jb₂) = א₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - ב₁b₂ = a₁ a₂- ב₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

כאשר מספרים מורכבים ניתנים באופן מספרי, אין צורך להשתמש בנוסחה לעיל. לדוגמה, תן

z₁ = 3 - 4j ו z₂= 2 + 3j

עם כפל ישיר של הרכיבים:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3)j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

או באמצעות הנוסחה: z₁z₂ = a₁ a₂- ב₁b₂+ j(b₁a₂+ B₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

אנו סבורים כי סביר יותר שתעשה שגיאה אם תשתמש בנוסחה מאשר אם תכפיל את הרכיבים ישירות.

{פיתרון של המתורגמן של TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#פתרון מאת פייתון:
ייבוא מתמטיקה בתור m
ייבוא cmath כמו c

z1=complex('3-4j')
z2=complex('2+3j')
print(“z1*z2=”,z1*z2)

הכפלה של מספרים מורכבים שניתנו בצורה קוטבית או מעריכית

כדי לבצע פעולה זו, הכפל את הערכים המוחלטים והוסף את הזוויות של שני המספרים המורכבים. תן:

ואז באמצעות הכלל של כפל של פונקציות מעריכית:

או בצורה קוטבית

z₁ z₂ M. 49₁ r₂ ∠ φ₁+ φ₂

הערה: כבר השתמשנו כלל זה כאשר חישבנו zz ^*למעלה. מכיוון שלזווית של מצומדת יש את הסימן ההפוך לזווית המקורית, מספר מורכב מוכפל בכמויות משלו הוא תמיד מספר אמיתי; כלומר ריבוע הערך המוחלט שלה: zz ^*M. 49²

לדוגמה, תן:

z₁ = 5 ∠ 30 ° ו z₂ = 4 ∠ -60 °

אז

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

או בצורה מעריכית

הכפל הוא פשוט יותר פשוט כאשר המספרים הם בצורת קוטבי או מעריכי.

עם זאת, אם המספרים המורכבים ניתנים בצורה מלבנית, כדאי לשקול לבצע את הכפל ישירות כפי שמוצג לעיל, מכיוון שישנם שלבים נוספים אם תמיר את המספרים לצורת קוטב לפני הכפלתם. גורם נוסף שיש לקחת בחשבון הוא האם אתה רוצה שהתשובות יהיו בצורה מלבנית או בצורה קוטבית / מעריכית. לדוגמה, אם שני המספרים הם בצורה מלבנית אך אתה רוצה שהמוצר שלהם בצורה קוטבית, הגיוני להמיר אותם מייד ואז להכפיל אותם.

חטיבה

ישנן שתי שיטות לחלוקה של מספרים מורכבים -

חלוקת מספרים מורכבים בצורת מלבני

לביצוע הפעולה, הכפל את המספר והמכנה בשילוב המכנה. המכנה הופך למספר אמיתי והחלוקה מצטמצמת לכפל של שני מספרים מורכבים וחלוקה במספר אמיתי, ריבוע הערך המוחלט של המכנה.

לדוגמה, תן:

z₁ = 3 - 4j ו z₂= 2 + 3j

בואו נבדוק תוצאה זו עם המתרגם של TINA:

{פיתרון של המתורגמן של TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#פתרון מאת פייתון:
ייבוא מתמטיקה בתור m
ייבוא cmath כמו c

z1=complex('3-4j')
z2=complex('2+3j')
print(“z1/z2=”,z1/z2)

חלוקה של מספרים מורכבים שניתנו בצורה קוטבית או מעריכית

כדי לבצע את הפעולה, לחלק את הערכים המוחלט (magnitudes) וכן להפחית את זווית המכנה מזווית המונה. תן:

ולאחר מכן באמצעות הכלל של חלוקת פונקציות מעריכית

או בצורה קוטבית

z ₁ / z₂M. 49₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

לדוגמה, תן:

z ₁ = 5 ° 30 ° ו z ₂ = 2 60 -XNUMX °

אז

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

או בצורות מעריכות ומלבניות

בואו נבדוק תוצאה זו עם המתרגם של TINA:

{פיתרון של המתורגמן של TINA}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#פתרון מאת פייתון:
ייבוא מתמטיקה בתור m
ייבוא cmath כמו c

z1=5*(c.exp(complex(0,m.radians(30)))))
z2=2*(c.exp(complex(0,m.radians(-60)))))
print(“z1/z2=”,z1/z2)

החלוקה היא כמובן פשוטה יותר כאשר המספרים הם במצב קוטבי או מעריכי.

עם זאת, אם המספרים המורכבים ניתנים בצורה מלבנית, עליכם לשקול לבצע את החלוקה ישירות בשיטת המצומדות המורכבת כמוצג לעיל, מכיוון שישנם שלבים נוספים אם תמיר את המספרים לצורת קוטב לפני שתחלקו אותם. גורם נוסף שיש לקחת בחשבון הוא האם אתה רוצה שהתשובות יהיו בצורה מלבנית או בצורה קוטבית / מעריכית. לדוגמה, אם שני המספרים הם בצורה מלבנית, אך אתה מעוניין בכמות שלהם בצורה קוטבית, הגיוני להמיר אותם מייד ואז לחלק אותם.

עכשיו בואו להמחיש את השימוש במספרים מורכבים על ידי בעיות מספריות יותר. כרגיל, נבדוק את הפתרונות שלנו באמצעות המתורגמן של TINA. המתורגמן עובד עם רדיאנים, אבל יש לו פונקציות סטנדרטיות להמרת רדיאנים למעלות או להיפך.

דוגמה 1 מצא את ייצוג הקוטב:

z = 12 - j 48

או 49.48 ∠ - 75.96 °

{פיתרון של המתורגמן של TINA}
z: = 12-j * 48;
ABS (z) = [49.4773]
arc (z) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z)) = [- 75.9638]

#פתרון מאת פייתון:
ייבוא מתמטיקה בתור m
ייבוא cmath כמו c

z=12-complex(48j)
print("abs(z)=",abs(z))
print(“arc(z)=”,c.phase(z))
print(“degrees(arc(z))=”,m.degrees(c.phase(z)))

דוגמה 2 מצא את הייצוג המלבני:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{פיתרון של המתורגמן של TINA}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#פתרון מאת פייתון:
ייבוא מתמטיקה בתור m
ייבוא cmath כמו c

z=25*c.exp(complex(0,m.radians(125)))
print(“z=”,z)
print(“real(z)=”,z.real)
print(“imag(z)=”,z.imag)

דוגמה 3 מצא את הייצוג הקוטבי של המספרים המורכבים הבאים:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

הערכים המוחלטים של כל ארבעת המספרים זהים מכיוון שהערך המוחלט אינו תלוי בסימנים. רק הזוויות שונות זו מזו.

{פיתרון של המתורגמן של TINA}
z1: = 12 + j * 48;
ABS (z1) = [49.4773]
arc (z1) = [1.3258]
radtodeg (arc (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
ABS (z2) = [49.4773]
arc (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
ABS (z3) = [49.4773]
arc (z3) = [1.8158]
radtodeg (arc (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
ABS (z4) = [49.4773]
arc (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (arc (z4)) = [- 104.0362]

#פתרון מאת פייתון:
ייבוא מתמטיקה בתור m
ייבוא cmath כמו c

z1=complex('12+48j')
print(“abs(z1)=”,abs(z1))
print(“arc(z1)=”,c.phase(z1))
print(“degrees(arc(z1))=”,m.degrees(c.phase(z1)))

z2=complex('12-48j')
print(“abs(z2)=”,abs(z2))
print(“arc(z2)=”,c.phase(z2))
print(“degrees(arc(z2))=”,m.degrees(c.phase(z2)))

z3=complex('-12+48j')
print(“abs(z3)=”,abs(z3))
print(“arc(z3)=”,c.phase(z3))
print(“degrees(arc(z3))=”,m.degrees(c.phase(z3)))

z4=complex('-12-48j')
print(“abs(z4)=”,abs(z4))
print(“arc(z4)=”,c.phase(z4))
print(“degrees(arc(z4))=”,m.degrees(c.phase(z4)))

פונקציית הקשת () של TINA קובעת את הזווית של כל מספר מורכב, וממקמת אותו באופן אוטומטי באחד מארבעת הרביעים.

היזהר, עם זאת, באמצעות שיזוף^-1 פונקציה למציאת הזווית, מכיוון שהיא מוגבלת לזוויות חוזרות רק ברבע הראשון והרביעי (–90 °φ<90 °).

השאלה היא איך? z₁נמצא ברבע הראשון של מערכת הקואורדינטות, החישוב הוא:

α₁ = tan^-1(48 / 12) = שזוף^-1(4) = 75.96 °

השאלה היא איך? z₄ממוקם ברבע השלישי של מערכת הקואורדינטות, שזוף^-1אינו מחזיר את הזווית בצורה נכונה. חישוב הזווית הוא:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° או -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, שהוא זהה לחישוב TINA.

z₂נמצא ברביע הרביעי של מערכת הקואורדינטות חישוב הזווית הוא:

α₂ = tan^-1(-48 / 12) = שזוף^-1(-4) = -75.96 °

z_3,עם זאת, הוא ברבע 2nd של מערכת הקואורדינטות, שזוף כל כך^-1אינו מחזיר את הזווית בצורה נכונה. חישוב הזווית הוא:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

דוגמה 4 יש לנו שני מספרים מורכבים: z₁= 4 - j 6 ו z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

ראשית, אנו פותרים את הבעיה באמצעות המתורגמן של TINA

{פיתרון של המתורגמן של TINA}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

שימו לב איך TINA מטפל ללא מאמץ בשני המספרים המורכבים שניתנו בצורות שונות.

הפיתרון מסובך יותר ללא המתורגמן. בכדי שנוכל להשוות בין שיטות הכפל והחלוקה השונות, נקבע תחילה את הצורה הקוטבית של z₁ ואת הצורה מלבנית של z₂.

בשלב הבא אנו מוצאים את ארבעת הפתרונות המשתמשים בתחילה בצורות הקלות ביותר: מלבני לתוספת וחיסור, ואקספוננציאלי לכפל וחילוק:

z ₃ = z₁ + z₂ = 4 - j 6 + 3.535 + j 3.535 = 7.535 - j2.465

z ₄ = z₁ - z₂ = 4 - j 6 - 3.535 - j 3.535 = 0.465 - j9.535

z ₅ = z₁ * z₂ = 7.21 * 5 * e^j^(-56.31 ^{° + 45 °)} = 36.05 e^-j11.31 ^° = 36.03 * (cos (-11.31 °) +j* חטא (-11.31 °))

z ₅ = 35.33 - j 7.07

z ₆ = z₁/z₂= (7.21 / 5) * e ^j^(-56.31 ^{° -45 °)} = 1.442 e^{- j 101.31} ^° = 1.442 (cos (-101.31 °) +j* חטא (-101.31 °))

z ₆ = -0.2828 - j 1.414

אשר מסכימים עם התוצאות שהושגו עם מתורגמן TINA.

הכפל שבוצע בצורה מלבנית:

z ₅ =z₁*z₂ = (4-j6) * 3.535 * (1 +)j) = 7.07 * (2-j3) * (1 +)j) = 7.07 * (2-j3+j2 + 3) = 7.07 * (5-j) = 35.35-j7.07

לבסוף נעשתה החלוקה בצורה מלבנית:

אשר מסכימים עם התוצאות הקודמות.

שיטות ושיטות לולאה

עקרונות חלופיים