החוקים של קירכהוף

לחץ או הקש על מעגלי הדוגמה שלהלן כדי להפעיל את TINACloud ובחר במצב DC אינטראקטיבי כדי לנתח אותם באופן מקוון.
קבל גישה נמוכה עלות TINACloud כדי לערוך את הדוגמאות או ליצור מעגלים משלך

תורת הסופר

שיטה פוטנציאלית של הצמח

מעגלים רבים מורכבים מכדי שניתן יהיה לפתור אותם באמצעות הכללים למעגלי סדרה או מקבילים או בטכניקות המרה למעגלים פשוטים יותר המתוארים בפרקים הקודמים. למעגלים אלה אנו זקוקים לשיטות פתרון כלליות יותר. השיטה הכללית ביותר ניתנת על פי חוקי קירכהוף, המאפשרים חישוב כל מתחי המעגל והזרמים במעגלים על ידי פיתרון של מערכת משוואות לינאריות.

יש שני חוקי קירכהוף, חוק המתח ואת הזרם חוק. ניתן להשתמש בשני חוקים אלה לקביעת כל המתחים והזרמים של המעגלים.

חוק המתח של קירשהוף (KVL) קובע כי הסכום האלגברי של המתח עולה ונפילות המתח סביב לולאה חייבות להיות אפס.

לולאה בהגדרה למעלה פירושה נתיב סגור במעגל; כלומר, נתיב שמשאיר צומת בכיוון אחד וחוזר לאותו צומת מכיוון אחר.

בדוגמאות שלנו נשתמש בכיוון השעון עבור לולאות; עם זאת, אותן תוצאות יתקבלו אם נעשה שימוש בכיוון נגד כיוון השעון.

על מנת להחיל KVL ללא שגיאה, עלינו להגדיר את כיוון ההתייחסות. כיוון ההתייחסות של המתחים הלא ידועים מצביע מסימן + לסימן של המתחים הניחו. תאר לעצמך להשתמש במד מתח. הייתם ממקמים את הבדיקה החיובית למתח מד (בדרך כלל אדום) בציון הרכיב + המסוף של הרכיב. אם המתח האמיתי הוא חיובי, הוא נמצא באותו כיוון כפי שהנחנו, וגם הפיתרון שלנו וגם מד מתח יראו ערך חיובי.

כשנגזרים את הסכום האלגברי של המתחים, עלינו להקצות סימן פלוס למתחים שבהם כיוון ההתייחסות מסכים עם כיוון הלולאה, וסימנים שליליים במקרה ההפוך.

דרך נוספת לקבוע את חוק המתח של קירכהוף היא: המתח המופעל של מעגל סדרה שווה לסכום ירידות המתח על פני אלמנטי הסדרה.

הדוגמה הקצרה הבאה מציגה את השימוש בחוק המתח של קירשהוף.

מצא את המתח על פני הנגד R_2, בהתחשב בכך שמקור המתח, V_S = 100 וולט וכי המתח על פני הנגד R₁J אשר₁ = 40 V.

ניתן ליצור את הדמות שלהלן באמצעות TINA Pro גרסה 6 ומעלה, שבה כלים לציור זמינים בעורך הסכמטי.

הפיתרון באמצעות חוק המתח של קירכהוף: -V_S Map אשר₁ Map אשר₂= 0, או V_S 49 אשר₁ Map אשר₂

ומכ V₂ 49 אשר_S - V₁ = 100-40 = 60V

שימו לב שבדרך כלל אנו לא יודעים את מתחי הנגדים (אלא אם כן אנו מודדים אותם), ואנחנו צריכים להשתמש בשני החוקים של קירקהוף לפתרון.

החוק הנוכחי של קירכהוף (KCL) קובע כי הסכום האלגברי של כל הזרמים שנכנסים ויוצאים מכל צומת במעגל הוא אפס.

בהמשך אנו נותנים סימן + לזרמים העוזבים צומת ו - סימן לזרמים הנכנסים לצומת.

להלן דוגמא בסיסית המדגימה את החוק הנוכחי של קירכהוף.

מצא את הנוכחי אני₂ אם זרם המקור I_S = 12 A, ואני₁ = 8 A.

באמצעות החוק הנוכחי של Kirchhoff על הצומת מעוגל: -I_S + אני₁ + אני₂ = 0, ומכאן: I₂= אני_S אני -₁ = 12 - 8 = 4 A, כפי שאתה יכול לבדוק באמצעות TINA (הדמות הבאה).

בדוגמה הבאה נשתמש בשני החוקים של קירקהוף פלוס החוק של אוהם לחישוב הזרם והמתח על הנגדים.

באיור שלהלן, תציין ב חץ מתח נגדי מעל. זהו רכיב חדש זמין ב גרסה 6 של TINA ועובדת כמו מד מתח. אם אתה מחבר אותו לרוחב, החץ קובע את כיוון ההתייחסות (כדי להשוות למתח מד, דמיין למקם את הגשש האדום בזנב החץ ואת הגשש השחור בקצה). כאשר אתה מפעיל ניתוח DC, המתח בפועל על הרכיב יוצג על החץ.

לחץ / הקש על המעגל שלמעלה כדי לנתח באינטרנט או לחץ על קישור זה כדי לשמור תחת Windows

כדי להתחיל להשתמש בחוק הנוכחי של קירקהוף, אנו רואים שהזרמים דרך כל המרכיבים זהים, אז בואו נסמן את הזרם הזה על ידי אני.

על פי חוק המתח של קירכהוף: V_S 49 אשר₁+V₂+V₃

עכשיו משתמש בחוק של אוהם: V_S= I * R₁+ I * R₂+ I * R₃

ומכאן זרם המעגל:

I = V_S/ (R₁+R₂+R₃) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

סוף סוף המתחים של הנגדים:

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = I * R₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = I * R₃ = 2 * 30 = 60 V

אותן תוצאות תראו על חץ המתח על ידי הפעלת ניתוח DC אינטראקטיבי של TINA.

במעגל הבא, המורכב יותר, אנו משתמשים גם בחוקים של קירכהוף וגם בחוקיו של אוהם, אך אנו מגלים כי אנו פותרים ביותר מערכת משוואות לינארית.

המספר הכולל של יישומים עצמאיים של חוקי קירכהוף במעגל הוא מספר ענפי המעגל, ואילו המספר הכולל של האלמונים (הזרם והמתח של כל ענף) הוא כפול מזה. עם זאת, על ידי שימוש גם בחוק של אוהם בכל נגדי ו המשוואות הפשוטות המגדירות את המתחים והזרמים המיושמים, אנו מקבלים מערכת של משוואה בה מספר האלמונים זהה למספר המשוואות.

מצא את זרמי הענפים I1, I2, I3 במעגל שלהלן.

לחץ / הקש על המעגל שלמעלה כדי לנתח באינטרנט או לחץ על קישור זה כדי לשמור תחת Windows

מערכת המשוואות להלן:

משוואת הנידונים עבור הצומת המעוגלת:

- I₁- I₂אני -₃ = 0

או הכפלה ב- 1

I₁+ I₂+ אני₃ = 0

משוואות הלולאה (תוך שימוש בכיוון השעון) עבור הלולאה L1, המכילות V₁, R₁ ו- R₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

ואת Loop LXNXX, המכיל V₂, R₂ ו- R₃

I₃*R₃ אני -₂*R₂ +V₂ = 0

החלפת ערכי המרכיבים:

I₁+ אני₂+ אני₃ = 0 -8 + 40 * I₁ - 40 * I₃ = 0 40 * I₃ -20 * I₂ + 16 = 0

אקספרס I₁ באמצעות משוואת הנידונים: אני₁ = אני₂ אני -₃

ואז להחליף אותו לתוך המשוואה השנייה:

-V₁- (אני₂ + אני₃) * R₁ -אני₃*R₃ = 0 or -8- (אני₂ + אני₃) * 40 - אני₃* 40 = 0

אקספרס I₂ ולהחליף אותו במשוואה השלישית, ממנה אתה כבר יכול לחשב את I₃:

I₂ = - (V.₁ + אני₃* (R₁+R₃)) / R₁ or I₂ = - (8 + I₃* 80) / 40

I₃*R₃ + R₂* (V₁ + אני₃* (R₁+R₃)) / R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + I₃* 80) / 40 + 16 = 0

ו: I₃ = - (V.₂ Map אשר₁*R₂/R₁) / (R₃+ (R₁+R₃) * R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

לכן I₃ = - 0.25 A; I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A ו I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 א

או: I₁ = -50 mA; I₂ = 300 mA; I₃ = -250 mA.

כעת נפתור את אותן משוואות עם המתורגמן של TINA:

{פיתרון של המתורגמן של TINA}
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
הסוף;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

#פתרון מאת פייתון
ייבוא numpy כ-np, sympy כ-s
#יש לנו מערכת לינארית של
#משוואות שאנו רוצים לפתור:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
הדפס (סול)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
print(“I1= %.3f”%x[0])
#I2
print(“I2= %.3f”%x[1])
#I3
print(“I3= %.3f”%x[2])

לבסוף בואו לבדוק את תוצאות באמצעות TINA:

בשלב הבא, בואו ננתח את המעגל הבא המורכב עוד יותר ונקבע את זרמי הענף שלו ומתחים.

לחץ / הקש על המעגל שלמעלה כדי לנתח באינטרנט או לחץ על קישור זה כדי לשמור תחת Windows

בואו נציין את המתחים והזרמים הלא ידועים על ידי הוספת חיצי מתח וזרם לרכיבים, ונראה גם את הלולאות (L1, L2, L3) ואת הצמתים (N1, N2) שם נשתמש במשוואות של קירשוף.

לחץ / הקש על המעגל שלמעלה כדי לנתח באינטרנט או לחץ על קישור זה כדי לשמור תחת Windows

הנה הסט של משוואות קירכהוף לולאות (בעזרת כיוון השעון) והצמתים.

-I_L+ אני_R1אני -_s= 0(עבור N1)

אני -_R1+ אני_R2+ אני_s3 = 0 (עבור N2)

-V_s1- V_R3Map אשר_IsMap אשר_L = 0 (עבור L1)

-V_IsMap אשר_s2 +V_R2+V_R1 = 0 (עבור L2)

-V_R2- V_s2Map אשר_s3 = 0 (עבור L3)

החלת חוק אוהם:

V_L= אני_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = אני_R2*R₂

V_R3 = - אני_L*R₃

זהו 9 אלמונים ו -9 משוואות. הדרך הקלה ביותר לפתור זאת היא להשתמש ב- TINA

מתורגמן. עם זאת, אם נלחץ להשתמש בחישובי יד, נציין כי ניתן להפחית בקלות את מערך המשוואות הזה למערכת של 5 אלמונים על ידי החלפת 4 המשוואות האחרונות למשוואות הלולאה L1, L2, L3. כמו כן, על ידי הוספת משוואות (L1) ו- (L2), אנו יכולים לחסל V_Is, צמצום הבעיה למערכת של משוואות 4 עבור נוניקס 4 (I_L,I_R1 I_R2,I_s3). כאשר מצאנו זרמים אלה, אנו יכולים לקבוע בקלות V_L, V_R1, אשר_R2, ו- V_R3 באמצעות ארבעת המשוואות האחרונות (חוק אוהם).

החלפת V_L,V_R1,V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ אני_R1אני -_s= 0(עבור N1)

אני -_R1+ אני_R2+ אני_s3 = 0 (עבור N2)

-V_s1+ אני_L*R₃Map אשר_Is+ אני_L*R_L = 0 (עבור L1)

-V_IsMap אשר_s2 + אני_R2*R₂+ אני_R1*R₁ = 0 (ל L2)

אני -_R2*R₂- V_s2Map אשר_s3 = 0 (עבור L3)

הוספת (L1) ו (L2) אנחנו מקבלים

-I_L+ אני_R1אני -_s= 0(עבור N1)

אני -_R1+ אני_R2+ אני_s3 = 0 (עבור N2)

-V_s1+ אני_L*R₃+ אני_L*R_L Map אשר_s2 + אני_R2*R₂+ אני_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

אני -_R2*R₂- V_s2Map אשר_s3 = 0 (עבור L3)

לאחר החלפת ערכי הרכיב, הפיתרון למשוואות אלה בא בקלות.

-I_L+I_R1- 2 = 0 (עבור N1)

-I_R1 + אני_R2 + אני_S3 = 0 (עבור N2)

-120 - + אני_L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0 (L₁) + (ל₂)

-I_R240 - 60 + 270 = 0 (עבור L₃)

מ L₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A (אני)

מ N₂ I_S3 אני -_R1 = - 5.25 (II)

מ L₁+L₂ 110 לי_L + 30 אני_R1 = -150 (III)

עבור N₁ I_R1 אני -_L = 2 (IV)

הכפל (IV) על ידי -30 והוסף ל (III) 140 לי_L = -210 ומכאן I_L = - 1.5 א

תחליף אני_L לתוך (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

ואני_R1 אל תוך (II) I_S3 = -5.25 + I_R1 = -4,75 A

ואת המתח: V_R1 = אני_R1*R₁ = 15 V; V_R2 = אני_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = - אני_L*R₃= 135 V; V_L = אני_L*R_L = - 30 וולט; V_Is 49 אשר_S1+V_R3-V_L = 285 V

{פתרון המשוואות המקוריות על ידי המתורגמן של TINA}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-IS + IR1 = 0
-IIR1 + IR2 + IS3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
הסוף;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VIs = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#פתרון מאת פייתון
#Ax=b
ייבוא numpy כ-np, sympy כ-s
#פתרון סימבולי באמצעות numpy.solve
#משוואות:
#IL=-Is+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#לפתור עבור:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Is+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
הדפס (סול)

#שיטה נוספת לפתרון באמצעות numpy.linalg
A=np.array(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print(“IL= %.3f”%x[0])
print("IR1= %.3f"%x[1])
print("IR2= %.3f"%x[2])
print(“Is3= %.3f”%x[3])
print(“Vis= %.3f”%x[4])
print(“VL= %.3f”%x[5])
print(“VR1= %.3f”%x[6])
print(“VR2= %.3f”%x[8])
print(“VR3= %.3f”%x[7])

פתרון מערך המשוואות המופחת באמצעות מתורגמן:

{פתרון מערך המשוואות המופחת על ידי המתורגמן של TINA}
Sys איל, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + IS3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
הסוף;
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

אנו יכולים להזין ביטויים למתחים ולגרום לכך שהמתורגמן של TINA יחשב אותם:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Vl: = Il * RL;
Vr1: = IR1 * R1
Vr2: = IR2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
VIs: = Vs1-Vl + Vr3;
Vl = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VIs = [285]