עקרונות חלופיים

לחץ או הקש על מעגלי הדוגמה שלהלן כדי להפעיל את TINACloud ובחר במצב DC אינטראקטיבי כדי לנתח אותם באופן מקוון.
קבל גישה נמוכה עלות TINACloud כדי לערוך את הדוגמאות או ליצור מעגלים משלך

מספרים מסובכים

רכיבים פסיביים במעגלי AC

ניתן לתאר את המתח הסינוסואידאלי על ידי המשוואה:

v (t) = V_M חטא (ωt + Φ) או v (t) = V_M cos (ωt + Φ)

איפה	v (t)	ערך מיידי של המתח, בוולטים (V).
	V_M	ערך מקסימלי או שיא של המתח, בוולטים (V)
	T	תקופה: משך הזמן של מחזור אחד, בשניות
	f	תדירות - מספר התקופות 1 השני, ב הרץ (הרץ) או 1 / s. f = 1 / T
	ω	תדר זוויתי, לידי ביטוי ברדיאנים / s ω = 2 * π * f או ω = 2 * π / T.
	Φ	השלב הראשוני נתון ברדיאנים או במעלות. כמות זו קובעת את הערך של סינוס או גל הקוסינוס = = 0.
		הערה: המשרעת של מתח סינוסואידלי מתבטאת לעיתים כ - V_אפ, הערך האפקטיבי או ה- RMS. זה קשור V_M על פי הקשר V_M= √2V_אפ,או בערך V_אפ= 0.707 V_M

הנה כמה דוגמאות כדי להמחיש את התנאים לעיל.

המאפיינים של המתח 220 V AC בבית שקעים חשמליים באירופה:

ערך אפקטיבי: V_אפ= 220 V
ערך שיא: V_M= √2 * 220 וולט = 311 וולט

תדר: F = 50 1 / s = 50 הרץ
תדר זוויתי: ω = 2 * π * F = 314 1 / s = 314 rad / s
תקופה: T = 1 / f = 20 ms
פונקציית זמן: v (t) = 311 חטא (314 t)

בואו לראות את הפונקציה זמן באמצעות ניתוח של TINA / AC ניתוח / זמן פונקציה הפקודה.

לחץ / הקש על המעגל שלמעלה כדי לנתח באינטרנט או לחץ על קישור זה כדי לשמור תחת Windows

אתה יכול לבדוק כי התקופה היא T = 20m וכי V_M= 311 V.

המאפיינים של המתח 120 V AC בשקע חשמל ביתי בארה"ב:

ערך אפקטיבי: V_אפ= 120 V
ערך שיא: V_M= √2 120 V = 169.68 V ≈ 170 V
תדר: F = 60 1 / s = 60 הרץ
תדר זוויתי: ω = 2 * π * f = 376.8 rad / s ≈ 377 rad / s
תקופה: T = 1 / f = 16.7 ms
פונקציית זמן: v (t) = 170 חטא (377 t)

שים לב שבמקרה זה פונקצית הזמן יכולה להינתן כחטאת (x) 311 (xNUMX t + Φ) או v (t) = 314 cos (311 t + Φ), מכיוון שבמקרה של מתח המוצא לא יודע את השלב הראשוני.

השלב הראשוני משחק תפקיד חשוב כאשר כמה מתח נמצאים בו זמנית. דוגמה מעשית טובה היא מערכת תלת פאזי, שבה שלושה מתחים של אותו ערך שיא, צורה ותדירות נמצאים, כל אחד מהם יש משמרת פאנל 120 ° יחסית לאחרים. ברשת 60 Hz, פונקציות הזמן הן:

v_A(t) = 170 חטא (377 t)

v_B(t) = 170 חטא (377 t - 120 °)

v_C(t) = 170 חטא (377 t + 120 °)

הדמות הבאה עם TINA מציגה את המעגל עם פונקציות זמן אלה כמו גנרטורים מתח TINA.

לחץ / הקש על המעגל שלמעלה כדי לנתח באינטרנט או לחץ על קישור זה כדי לשמור תחת Windows

הפרש המתח v_ABv v_A(ט) - נ_B(t) מוצג כפי שנפתר על ידי ניתוח של TINA / AC ניתוח / זמן פונקציה הפקודה.

שים לב כי השיא של v_AB (t) הוא בערך 294 V, גדול יותר מאשר 170 V השיא v_A(t) או v_B(t) מתח, אבל גם לא רק את הסכום של מתח שיא שלהם. הסיבה לכך היא הבדל פאזה. נדון כיצד לחשב את המתח המתקבל (שהוא Ö3 * 170 @ 294 במקרה זה) מאוחר יותר בפרק זה וגם נפרד מערכות תלת פאזיות פרק.

ערכים אופייניים של אותות סינוסואידים

למרות שזרם AC משתנה באופן קבוע במהלך תקופתו, קל להגדיר מספר מאפיינים אופייניים להשוואה בין גל אחד למשנהו: אלה הם ערכי השיא, הממוצע והשורש הממוצע-רבוע (rms).

כבר פגשנו את ערך השיא V_M , שהוא פשוט הערך המרבי של הפונקציה זמן, משרעת של גל סינוסי.

לפעמים ערך השיא-לשיא (pp) משמש. עבור מתחים וזרמים סינוסואידים, ערך השיא-לשיא הוא כפול מערך השיא.

השמיים ערך ממוצע של גל הסינוס הוא הממוצע האריתמטי של הערכים למחזור החצי החיובי. זה נקרא גם ממוצע מוחלטים שכן הוא זהה לממוצע של הערך המוחלט של צורת הגל. בפועל, אנו נתקלים זה waveform על ידי תיקון את גל סינוס עם מעגל שנקרא מיישר גל מלא.

ניתן לראות שהממוצע המוחלט של גל סינוסואידאלי הוא:

V_AV2 / π V_M ≅ 0.637 V_M

שים לב שהממוצע של מחזור שלם הוא אפס.
RMS או ערך יעיל של מתח סינוסי או הנוכחי מתאים ערך DC שווה לייצר את אותו כוח חימום. לדוגמה, מתח בעל ערך אפקטיבי של 120 V מייצר את אותו חימום וכוח תאורה בנורה כמו גם את 120 V ממקור מתח DC. זה יכול להראות כי RMS או ערך יעיל של גל סינוסי הוא:

V_rms 49 אשר_M/ √2 ≅ 0.707 V_M

ערכים אלה יכולים להיות מחושבים באותו אופן הן עבור המתחים והן הזרמים.

ערך ה- RMS חשוב מאוד בפועל. אלא אם כן צוין אחרת, מתח AC מתח מתח (למשל 110V או 220V) ניתנים ערכי RMS. רוב AC מטרים מכוילים ב RMS ו לציין את רמת rms.

דוגמה 1 מצא את ערך השיא של המתח הסינוסואדי ברשת חשמל עם ערך 220 V rms.

V_M = 220 / 0.707 = 311.17 V

דוגמה 2 מצא את ערך השיא של המתח הסינוסואדי ברשת חשמל עם ערך 110 V rms.

V_M = 110 / 0.707 = 155.58 V

דוגמה 3 מצא את הממוצע (המוחלט) של המתח הסינוסואדי אם ערך ה- RMS שלו הוא 220 V.

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 311.17 = 198.26 V

דוגמה 4 מצא את הממוצע המוחלט של המתח הסינוסואדיאלי אם ערך ה- RMS שלו הוא 110 V.

שיא המתח ממדגם 2 הוא 155.58 V ומכאן:

V_a = 0.637 * V_M = 0.637 * 155.58 = 99.13 V

דוגמה 5 מצא את היחס בין הממוצע המוחלט (V_a) וערכי RMS (V) עבור צורת הגל הסינוסואידית.

אשר / V_a = 0.707 / 0.637 = 1.11

שים לב שאינך יכול להוסיף ערכים ממוצעים במעגל AC מכיוון שהוא מוביל לתוצאות לא מתאימות.

PHASORS

כפי שראינו בסעיף הקודם, זה בדרך כלל צורך במעגלים AC כדי להוסיף מתח סינוסי וזרמים של תדר זהה. למרות שניתן להוסיף את האותות באופן מספרי באמצעות TINA, או על ידי שימוש ביחסים טריגונומטריים, נוח יותר להשתמש במה שנקרא פאזור שיטה. פאזור הוא מספר מורכב המייצג את המשרעת ואת השלב של אות סינוסואידלי. חשוב לציין כי הפאסור אינו מייצג את התדירות, אשר חייבת להיות זהה עבור כל הפאזורים.

פאזור יכול להיות מטופל כמספר מורכב או מיוצג בצורה גרפית כחץ מתכנן במישור המורכב. ייצוג גרפי נקרא דיאגרמת פאזור. באמצעות דיאגרמות פאזור, ניתן להוסיף או לחסר פאזורים במישור מורכב על ידי כלל המשולש או המקבילה המקבילית.

ישנן שתי צורות של מספרים מורכבים: מלבני ו קוטבי.

ייצוג מלבני הוא forma + jב, איפה j = Ö-1 היא היחידה הדמיונית.

ייצוג הקוטב הוא בצורת Ae^j ^j , כאשר A הוא הערך המוחלט (משרעת) ו f היא זווית הפאזור מהציר הריאלי החיובי, בכיוון השעון.

אנחנו נשתמש סיכה אותיות עבור כמויות מורכבות.

עכשיו בואו נראה איך להפיק את הפאזור המתאים מפונקציה זמן.

ראשית, להניח כי כל המתחים במעגל באים לידי ביטוי בצורה של פונקציות הקוסינוס. (כל המתחים ניתן להמיר לטופס זה) פאזור המקביל למתח של v (t) = V_M cos ( w t+f) J: V_M49 אשר_Me ^jf, אשר נקרא גם ערך שיא מורכב.

לדוגמה, שקול את המתח: v (t) = 10 cos ( w t + 30°)

הפאסור המקביל הוא: V

אנחנו יכולים לחשב את פונקציית הזמן מפאזור באותה הדרך. ראשית אנו כותבים את הפאסור בצורה קוטבית למשל V_M49 אשר_Me ^j^rולאחר מכן פונקציית הזמן המקביל היא

v (t) = V_M (cos (wt+r).

לדוגמה, שקול את הפאסור V_M= 10 - j20 V

מביאים אותו לקוטב צורה:

ולכן הפונקציה הזמן הוא: V (t) = 22.36 cos (wt - 63.5^°) אשר

Phasors משמשים לעתים קרובות כדי להגדיר את הערך המורכב או יעיל rms של המתחים וזרמים במעגלים AC. בהתחשב v (t) = V_Mcos (wt+r) = 10cos (wt + 30°)

מבחינה מספרית:

v (t) = 10 * cos (wהאם 30°)

הערך האפקטיבי המורכב (rms): V = 0.707 * 10 * e^{- j30}^°= 7.07 e^{- j30}^° = 6.13 - j 3.535

להיפך: אם הערך האפקטיבי המורכב של המתח הוא:

V = - 10 + j 20 = 22.36 e^{j 116.5}^°

ולאחר מכן את ערך השיא המורכב:

ואת הפונקציה זמן: v (t) = 31.63 cos ( wt + 116.5° ) אשר

הצדקה קצרה של הטכניקות הנ"ל הוא כדלקמן. בהינתן פונקציית זמן
V_M (cos ( w t+r), בואו להגדיר את פונקציית זמן מורכבת כמו:

v (t) = V_M e^j^r e ^j^wt = V_Me ^j^wt 49 אשר_M (cos (r) + j חטא(r)) ה ^j^wt

איפה V_M =V_M e^j ^r ^t 49 אשר_M (cos (r) + j חטא(r)) הוא רק הפאסור שהוזכר לעיל.

לדוגמה, פונקציית הזמן המורכבת של v (t) = 10 cos (wt + 30°)

v (t) = V_Me ^j^wt = 10 e^j30 e ^j^wt = 10e ^j^wt (cos (30) + j חטא (30)) = e ^j^wt (8.66 +j5)

על ידי הצגת הפונקציה הזמן המורכב, יש לנו ייצוג עם חלק אמיתי וחלק דמיוני. אנחנו תמיד יכולים לשחזר את הפונקציה האמיתית של הזמן על ידי לקיחת החלק האמיתי של התוצאה שלנו: v (t) = Re {v(t)}

עם זאת את הפונקציה זמן מורכב יש את היתרון הגדול, שכן כל פונקציות הזמן המורכב במעגלים AC תחת התחשבות יש את אותו ה^j^w^tמכפיל, אנחנו יכולים גורם זה ופשוט לעבוד עם phasors. יתר על כן, בפועל אנחנו לא משתמשים e^j^w^tנפרד בכלל - רק התמורות מפונקציות הזמן לפאזורים ובחזרה.

כדי להדגים את היתרון של שימוש phasors, בואו לראות את הדוגמה הבאה.

דוגמה 6 מצא את הסכום ואת ההבדל של המתח:

v₁ = 100 cos (314 * t) ו v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

ראשית לכתוב את הפאזורים של שני המתח:

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

לפיכך:

V_להוסיף = V_1M + V_2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e^{- י 14.63}^°

V_להלן = V_1M - V_2M = 64.65 + j35.35 = דואר 73.68 ^{j 28.67}^°

ולאחר מכן את הפונקציות זמן:

v_להוסיף(t) = 139.89 * cos (wt - 14.63°)

v_להלן(t) = 73.68 * cos (wt + 28.67°)

כפי שהדוגמה הפשוטה הזאת מראה, השיטה של phasors.is כלי רב עוצמה לפתרון בעיות AC.

בואו לפתור את הבעיה באמצעות הכלים המתורגמנים של TINA.

{פיתרון של המתורגמן של TINA}
{חישוב v1 + v2}
v1: = 100
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553-35.3553 * j]
v1: = v1 + v2
v1add = [135.3553-35.3553 * j]
ABS (v1add) = [139.8966]
radtodeg (arc (v1add)) = [- 14.6388]

{חישוב v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [64.6447 + 35.3553 * j]
ABS (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (arc (v1sub)) = [28.6751]

#פתרון מאת פייתון!
#חישוב של v1+v2
ייבוא מתמטיקה בתור m
ייבוא cmath כמו c
v1=100
v2=50*c.exp(complex(0,-c.pi/4))
print(“v2=”,v2)
vadd=v1+v2
print(“vadd=”,vadd)
print(“abs(vadd)=”,abs(vadd))
print(“degrees(arc(vadd))=”,m.degrees(c.phase(vadd)))
#חישוב של v1-v2
vsub=v1-v2
print(“vsub=”,vsub)
print(“abs(vsub)=”,abs(vsub))
print(“degrees(arc(vsub))=”,m.degrees(c.phase(vsub)))

תוצאות אמפליטודה ו פאזה לאשר את חישובי יד.

עכשיו מאפשר לבדוק את התוצאה באמצעות ניתוח AC של TINA.

לפני ביצוע הניתוח, בואו לוודא כי פונקציית בסיס עבור AC ia מוגדר קוסינוס ב אפשרויות עורך תיבת הדו-שיח מהתפריט 'תצוגה / אפשרות'. נסביר את התפקיד של פרמטר זה ב דוגמה 8.

המעגלים והתוצאות:

לחץ / הקש על המעגל שלמעלה כדי לנתח באינטרנט או לחץ על קישור זה כדי לשמור תחת Windows

שוב התוצאה היא זהה. להלן גרפים לתפקוד הזמן:

דוגמה 7 מצא את הסכום ואת ההבדל של המתח:

v₁ = 100 חטא (314 * t) ו v₂ = 50 cos (314 * t-45°)

דוגמה זו מעלה שאלה חדשה. עד כה יש לנו צורך כי כל הפונקציות זמן להינתן פונקציות הקוסינוס. מה נעשה עם פונקציית זמן הנתונה כסינוס? הפתרון הוא להפוך את הפונקציה סינוס לתפקוד cosine. שימוש בחטא הקשר הטריגונומטרי (x) = cos (x-p/ 2) = cos (x-90°), את הדוגמה שלנו ניתן לנסח מחדש כדלקמן:

v₁ = 100 cos (314t - 90°) ו v₂ = 50 cos (314 * t - 45°)

עכשיו הפאזורים של המתח הם:

V_1M = 100 e ^{- j 90}^°= -100 j V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

לפיכך:

V _להוסיף = V_1M + V_2M = 35.53 - j 135.35

V _להלן = V_1M - V_2M = - 35.53 - j 64.47

ולאחר מכן את הפונקציות זמן:

v_להוסיף(t) = 139.8966 cos (wהאם 75.36°)

v_להלן(t) = 73.68 cos (wהאם 118.68°)

בואו לפתור את הבעיה באמצעות הכלים המתורגמנים של TINA.

{פיתרון של המתורגמן של TINA}
{חישוב v1 + v2}
v1: = - 100 * j
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553 - 35.3553 * j]
v1: = v1 + v2
v1add = [35.3553-135.3553 * j]
ABS (v1add) = [139.8966]
radtodeg (arc (v1add)) = [- 75.3612]

{חישוב v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [- 35.3553 - 64.6447 * j]
ABS (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (arc (v1sub)) = [- 118.6751]

בואו לבדוק את התוצאה עם ניתוח AC של TINA

לחץ / הקש על המעגל שלמעלה כדי לנתח באינטרנט או לחץ על קישור זה כדי לשמור תחת Windows

דוגמה 8

מצא את הסכום ואת ההבדל של המתח:

v₁ = 100 חטא (314 * t) ו v₂ = 50 חטא (314 * t-45°)

דוגמה זו מעלה בעיה אחת נוספת. מה אם כל המתחים ניתנים כמו גלי סינוס ואנחנו גם רוצים לראות את התוצאה כמו גל סינוס ?. אנו יכולים כמובן להמיר את שני המתחים לפונקציות קוסינוס, לחשב את התשובה, ולהמיר את התוצאה בחזרה לפונקציה סינוסית - אך אין זה הכרחי. אנו יכולים ליצור פאזורים מגלי הסינוס באותו אופן שעשינו מגלי קוסינוס ואז פשוט להשתמש במשרעת ובשלבים שלהם כאל משרעת ושלב של גלי סינוס בתוצאה.

זה יהיה ללא ספק לתת את אותה תוצאה כמו הפיכת גלי סינוס גלים הקוסינוס. כפי שניתן לראות בדוגמה הקודמת, זה שווה להכפלה על ידי -j ולאחר מכן באמצעות cos (x) = חטא (x-90)°) ביחס להפוך אותו בחזרה גל סינוס. זה שווה להכפלה על ידי j. במילים אחרות,j × j = 1, אנו יכולים להשתמש phasors נגזר ישירות מן אמפליטודות ושלבים של גלי סינוס לייצג את הפונקציה ולאחר מכן לחזור אליהם ישירות. כמו כן, הנמקה באותו אופן על פונקציות הזמן המורכב, נוכל לשקול גלי סינוס כמו חלקים דמיוניים של זמן מורכב פונקציות להשלים אותם עם פונקציה cosine כדי ליצור את כל הזמן פונקציה מורכבת.

בואו נראה את הפיתרון לדוגמא זו באמצעות פונקציות הסינוס כבסיס הפאזורים (הפיכת החטא ( w t) ליחידה האמיתית פאזור (1)).

V_1M = 100 V_2M= 50 e ^{- j 45}^° = 35.53 - j 35.35

לפיכך:

V _להוסיף = V_1M + V_2M = 135.53 - j 35.35

V _להלן = V_1M - V_2M = 64.47+ j 35.35

שים לב כי phasors הם בדיוק כמו בדוגמה 6 אבל לא את הפונקציות זמן:

v₃(t) = 139.9sin (wt - 14.64°)

v₄(t) = 73.68sin (wt + 28.68°)

כפי שאתה יכול לראות, קל מאוד להשיג את התוצאה באמצעות פונקציות סינוס, במיוחד כאשר הנתונים הראשוניים שלנו הם גלי סינוס. ספרי לימוד רבים מעדיפים להשתמש בגל הסינוס כפונקציה בסיסית של פאזורים. בפועל, תוכלו להשתמש בשתי השיטות, אך אל תבלבלו ביניהן.

כאשר אתה יוצר את phasors, חשוב מאוד כי כל הפונקציות זמן הם הראשונים המרה או סינוס או קוסינוס. אם אתה מתחיל מ פונקציות סינוס, הפתרונות שלך צריך להיות מיוצג עם פונקציות סינוס כאשר חוזרים מ phasors לפונקציות זמן. הדבר נכון גם אם אתה מתחיל עם פונקציות הקוסינוס.

בואו לפתור את אותה בעיה באמצעות מצב אינטראקטיבי של TINA. מאז אנחנו רוצים להשתמש בפונקציות סינוס כבסיס ליצירת phasors, ודא כי פונקציית בסיס עבור AC מוגדר סינוס ב אפשרויות עורך תיבת הדו-שיח מהתפריט תצוגה / אפשרות.