複素数

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メッシュとループのカレントメソッド

代替電流の原理

これ以降の章では、非常に重要なトピック、ACまたは交流を紹介します。交流という名前はあまり正確ではなく、通常は正弦波の電圧と電流を持つ回路をカバーしています。ただし、交流とは任意の電流波形を意味します。 AC電圧の重要性は、この種の電圧が世界中の家庭や産業界の主電源に使用されていることです。それは、多くの電子機器、電気通信、および産業用アプリケーションの基盤でもあります。

正弦波とそれに関連する回路を扱うために、フェイザー法と呼ばれる単純で洗練された方法を使います。フェーザは、正弦波の量を表すのに理想的な複素数の性質に基づいています。この章では、複素数とその演算に関する主な事実をまとめます。また、TINAのインタプリタが複素数を使った計算を容易にする方法についても説明します。

複素数は2つの部分から成ります。 実部（x), これは実数であり、いわゆる 虚数部 （y）、これは実数に乗算されたものです。 , 虚数単位。複素数 zしたがって、と記述することができます。

z = x + jy

コラボレー .

複素数の例：

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4 2- j

z ₃ = 3- 5j

複素数はもともとXNUMX世紀に導入され、実数だけでは表現できない多項式の根を表します。たとえば、方程式xの根²+ 2x + 2 = 0は次のようにしか記述できません。 & または表記法を使用する , z₁= 1 + j & z₂= 1- j. 新しい表記法を使用して式の特性を調査することにより、数学者は定理を証明し、それまで解決することが不可能ではないにしても困難であった問題を解決することができました。これにより、複雑な代数と複雑な関数が作成され、現在、数学と工学で広く使用されています。

複素数の幾何学的表現

長方形の形

複素数は常に実数部と複素数部に分離できるため、複素数をXNUMX次元平面上の点として表すことができます。複素数の実数部は点を実数軸に投影したものであり、数の虚数部は虚数軸に投影したものです。複素数が実数部と虚数部の合計として表される場合、それは 長方形の or 代数形式.

次の図は複素数を示しています z = 2 + 4j

極座標形式および指数形式

上の図からわかるように、点Aは矢印の長さで表すこともできます。 r （絶対値、大きさ、または振幅とも呼ばれます）、およびその角度（または位相）、 φ 正の水平軸に対して反時計回りに相対的。これは 極性の 複素数の形式。それはr∠として表されます φ.

次のステップはとても重要です。極座標形式の複素数も書くことができます 指数関数 形：

この単純な式は、通常の実数ではなく、指数に虚数があるという点で特徴的です。この複雑な指数関数の動作は、実引数を持つ指数関数とは大きく異なります。ながらe^x x> 0が増加すると大きさが急速に増加し、x <0が減少すると関数任意のφに対して同じ大きさ（z = 1）を持ちます。さらに、その複雑な値は単位円上にあります。

オイラーの公式は、複素数の長方形、極、および指数形式の間の統一リンクを提供します。

z = x + jy = re ^jφ = r（cos φ + j 罪 φ )

コラボレー

& φ =日焼け^-1（y / x）

上記の例では、 z = 2 + 4j:

φ =日焼け^-1（4 / 2）= 63.4°

したがって、 .

またはその逆

アプリケーションによっては、両方のフォームの使用に熟練している必要があります。たとえば、数値が四角形の場合、加算または減算は明らかに簡単ですが、数値が指数形式の場合、乗算と除算は簡単です。

複素数を使った演算

複素数で実行できる演算は、実数の演算と似ています。ルールといくつかの新しい定義を以下にまとめます。

jを使った操作

での操作 j 虚数単位の定義から単純に従う

早く正確に作業できるようにするには、次の規則を覚えておく必要があります。

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = –j

証明：

j² = -1は、の定義から単純に続く、以来、

1の場合/j、1 /を掛けますjby j / j = 1と取得 j/（JJ）= j /（-1）= –j.

複素共役

複素数の複素共役は簡単に導き出され、非常に重要です。長方形の複素数の複素共役を求めるには、虚数部の符号を変更するだけです。指数形式の数値に対してこれを行うには、絶対値を同じに保ちながら複素数の角度の符号を変更します。

複素数の複素共役 z で表されることが多い z^*.

複素数を考える z= a + jb、その複素共役は z^*= a– jb.

If z 指数形式で与えられます。複素共役は

上記の定義を使用すると、複素数に複素共役を掛けた値が複素数の絶対値の2乗を与えることは簡単にわかります。

グーグー^* = r²= a^{2 +}b²

また、複素数とその共役を加算または減算すると、次の関係が得られます。

z + z ^* = 2a

したがって、

Re（z）= a =（ z + z ^* / 2

同様に：

z – z ^* =j2b

したがって、

Im（z）= b =（ z –z ^* / 2j

証明：

あるいは実数部と虚数部を掛けて j²= -1

グーグー^* =（a + jb）（a - jb）= a²+a jb–a jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = a + jb + a - jb = 2a

グーグー^*= a + jb – a + jb =j2b

数値例：

長方形の形で：

z = 3 + j4

z^* = 3– j4

グーグー ^* = 9 + 16 = 25

極性形式で

z =5∠53.13°

z ^* =5∠-53.13°

指数形式では、

加減

複素数の加算と減算は簡単です。実数部と虚数部を別々に追加するだけで済みます。たとえば、

z₁ = 3 - 4j & z₂= 2 + 3j

その後

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2-4j + 3j = 5 - j

z₁ – z₂= 3 - 4j --2-3j = 3 --2-4j - 3j = 1 - j7

明らかに、これらの操作には長方形のフォームを使用する必要があります。数値が指数形式または極形式で指定されている場合は、前述のように、まずオイラーの公式を使用して長方形形式に変換する必要があります。

乗算

複素数の乗算にはXNUMXつの方法があります–

長方形で与えられた複素数の乗算

この演算を実行するには、XNUMXつの数値の実数部と虚数部を順に他の数の実数部と虚数部で乗算し、恒等式を使用するだけです。 j²= -1

z₁z₂ =（a₁ + jb₁）（）₂ + jb₂）= a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

複素数が数値で与えられるとき、上の公式を使う必要はありません。たとえば、

z₁ = 3 - 4j & z₂= 2 + 3j

成分を直接乗算すると、

z₁z₂ =（3 - 4j）（2 + 3j）= 6 - 8j +9j + 12 = 18 + j

または式を使用して： z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ B₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j （-8 + 9）= 18 + j

コンポーネントを直接乗算する場合よりも、数式を使用する場合のほうが間違いを犯しやすいと思います。

{TINAの通訳による解決策}
z1：= 3-4 * j
z2：= 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Python による解決策:
数学を m としてインポート
cmath を c としてインポート

z1=コンプレックス('3-4j')
z2=complex('2+3j')
print(“z1*z2=”,z1*z2)

極座標形式または指数形式で与えられた複素数の乗算

この操作を実行するには、絶対値を掛けて2つの複素数の角度を足します。みましょう：

それから指数関数の乗法の法則を使って：

または極性形式で

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠φ₁+φ₂

注：計算時には既にこのルールを使用していますグーグー ^*上記。共役の角度は元の角度と反対の符号を持っているため、それ自体の共役で乗算された複素数は常に実数です。つまり、その絶対値のXNUMX乗：グーグー ^*= r²

たとえば、

z₁ =5∠30°および z₂ =4∠-60°

その後

z₁z₂ =20∠-30°

または指数形式

数値が極座標形式または指数形式の場合、乗算は明らかに簡単です。

ただし、複素数が長方形の形で与えられる場合は、乗算する前に数値を極形式に変換する場合に追加のステップがあるため、上記のように直接乗算を実行することを検討する必要があります。考慮すべきもうXNUMXつの要素は、回答を長方形の形式にするか、極/指数形式にするかです。たとえば、XNUMXつの数値が長方形の形式であるが、それらの製品を極座標形式で使用したい場合は、すぐに変換してから乗算するのが理にかなっています。

ディビジョン

複素数の除算にはXNUMXつの方法があります–

長方形で与えられた複素数の除算

この演算を実行するには、分子と分母に分母の共役を掛けます。分母は実数になり、除算はXNUMXつの複素数の乗算と分母の絶対値のXNUMX乗である実数による除算に削減されます。

たとえば、

z₁ = 3 - 4j & z₂= 2 + 3j

TINAのインタプリタでこの結果を確認しましょう。

{TINAの通訳による解決策}
z1：= 3-4 * j
z2：= 2 + 3 * j
z1 / z2 = [ - 461.5385m-1.3077 * j]

#Python による解決策:
数学を m としてインポート
cmath を c としてインポート

z1=コンプレックス('3-4j')
z2=complex('2+3j')
print(“z1/z2=”,z1/z2)

極座標形式または指数形式で与えられた複素数の除算

演算を実行するには、絶対値（大きさ）を割り、分子の角度から分母の角度を引きます。みましょう：

次に指数関数の分割規則を使用して

または極性形式で

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁– φ ₂

たとえば、

z ₁ = 5 ∠30°および z ₂ = 2 ∠-60°

その後

z ₁ / z₂ =2.5∠90°

または指数形式および長方形形式で

TINAのインタプリタでこの結果を確認しましょう。

{TINAの通訳による解決策}
z1：= 5 * exp（j * degtorad（30））
z2：= 2 * exp（j * degtorad（-60））
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Python による解決策:
数学を m としてインポート
cmath を c としてインポート

z1=5*(c.exp(complex(0,m.radians(30))))
z2=2*(c.exp(complex(0,m.ラジアン(-60))))
print(“z1/z2=”,z1/z2)

数値が極座標または指数形式の場合、除算は明らかに単純になります。

ただし、複素数が長方形の形で与えられる場合、除算する前に数値を極形式に変換すると追加のステップがあるため、上記のように複素共役法を使用して除算を直接実行することを検討する必要があります。考慮すべきもうXNUMXつの要素は、回答を長方形の形式にするか、極/指数形式にするかです。たとえば、XNUMXつの数値が長方形の形式であるが、それらの商を極座標形式にしたい場合は、すぐに変換してから除算するのが理にかなっています。

それでは、もっと数値的な問題で複素数の使い方を説明しましょう。いつものように、TINAのインタプリタを使って解決策をチェックします。インタプリタはラジアンで動作しますが、ラジアンから度へ、またはその逆への変換のための標準関数を持っています。

例極座標を見つけます。

z = 12 - j 48

または49.48∠–75.96°

{TINAの通訳による解決策}
z：= 12-j * 48;
abs（z）= [49.4773]
arc（z）= [ - 1.3258]
radtodeg（arc（z））= [ - 75.9638]

#Python による解決策:
数学を m としてインポート
cmath を c としてインポート

z=12-複素数(48j)
print(“abs(z)=”,abs(z))
print(“arc(z)=”,c.phase(z))
print(“度(弧(z))=”,m.度(c.位相(z)))

例矩形表現を見つけます。

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{TINAの通訳による解決策}
z：= 25 * exp（j *（degtorad（125）））;
z = [ - 14.3394 + 20.4788 * j]
Re（z）= [ - 14.3394]
Im（z）= [20.4788]

#Python による解決策:
数学を m としてインポート
cmath を c としてインポート

z=25*c.exp(complex(0,m.ラジアン(125)))
print(“z=”,z)
print(“real(z)=”,z.real)
print(“imag(z)=”,z.imag)

例次の複素数の極座標表現を見つけます。

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

絶対値は符号に依存しないため、XNUMXつの数値すべての絶対値は同じです。角度だけが違います。

{TINAの通訳による解決策}
z1：= 12 + j * 48。
abs（z1）= [49.4773]
arc（z1）= [1.3258]
radtodeg（arc（z1））= [75.9638]

z2：= 12-j * 48。
abs（z2）= [49.4773]
arc（z2）= [ - 1.3258]
radtodeg（arc（z2））= [ - 75.9638]

z3：= - 12 + j * 48。
abs（z3）= [49.4773]
arc（z3）= [1.8158]
radtodeg（arc（z3））= [104.0362]

z4：= - 12-j * 48：
abs（z4）= [49.4773]
arc（z4）= [ - 1.8158]
radtodeg（arc（z4））= [ - 104.0362]

#Python による解決策:
数学を m としてインポート
cmath を c としてインポート

z1=complex('12+48j')
print(“abs(z1)=”,abs(z1))
print(“arc(z1)=”,c.phase(z1))
print(“度(arc(z1))=”,m.degrees(c.phase(z1)))

z2=コンプレックス('12-48j')
print(“abs(z2)=”,abs(z2))
print(“arc(z2)=”,c.phase(z2))
print(“度(arc(z2))=”,m.degrees(c.phase(z2)))

z3=複素数('-12+48j')
print(“abs(z3)=”,abs(z3))
print(“arc(z3)=”,c.phase(z3))
print(“度(arc(z3))=”,m.degrees(c.phase(z3)))

z4=コンプレックス('-12-48j')
print(“abs(z4)=”,abs(z4))
print(“arc(z4)=”,c.phase(z4))
print(“度(arc(z4))=”,m.degrees(c.phase(z4)))

TINAのarc（）関数は、任意の複素数の角度を決定し、XNUMXつの象限のXNUMXつに自動的に正しく配置します。

しかし、日焼け止めを使用して、注意してください^-1 角度を見つける関数。これは、第90象限と第XNUMX象限（–XNUMX°）でのみ角度を返すように制限されているためです。φ<90°）。

Since z₁が座標系の最初の象限にある場合、計算は次のようになります。

α₁ =日焼け^-1（48 / 12）=日焼け^-1（4）= 75.96°

Since z₄座標系の3番目の象限、tanにあります。^-1角度を正しく返しません。角度計算は次のとおりです。

α₄ = 180°+ 75.96°= 255.96°または-360°+ 255.96°= – 104.04°、これはTINAで計算されたものと同じです。

z₂は、座標系の4番目の象限にあります。角度計算は次のとおりです。

α₂ =日焼け^-1（-48 / 12）= tan^-1（-4）= -75.96°

z_3,しかし、座標系の2nd象限にあるので、tan^-1角度を正しく返しません。角度計算は次のとおりです。

α₃ ＝ＸＮＵＭＸ°−ＸＮＵＭＸ°＝ＸＮＵＭＸ°。

例複素数は2つあります。 z₁= 4 - j 6と z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

もう完成させ、ワークスペースに掲示しましたか? z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ – z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

まずTINAのインタプリタを使って問題を解決します。

{TINAの通訳による解決策}
z1：= 4-j * 6。
z2：= 5 * exp（j * degtorad（45））;
z3：= z1 + z2。
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4：= z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5：= z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6：= z1 / z2;
z6 = [ - 282.8427m-1.4142 * j]

TINAが異なる形式で与えられた2つの複素数を楽に処理する方法に注目してください。

ソリューションは、インタープリターなしではさらに複雑になります。乗算と除算のさまざまな方法を比較できるように、最初に極形式を決定します z₁ そして長方形の形 z₂.