AC回路におけるキルホフの法律

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テベニンとノルトンの等価回路

AC回路におけるノード電位とメッシュ電流法

すでに見てきたように、正弦波励振を伴う回路は、 複雑なインピーダンス 要素と 複雑なピーク or 複雑な 実効値 電流と電圧について。キルヒホッフの法則の複素数値バージョンを使用すると、節点およびメッシュ解析手法を使用して、DC回路と同様の方法でAC回路を解くことができます。この章では、キルヒホッフの法則の例を通してこれを示します。

例

現在のiの振幅と位相角を見つける_vs（T） if
v_S（ｔ）＝Ｖ_SM cos 2pft; i（t）= I_SM cos 2pft; V_SM = 10 V; 私_SM = 1 A; ｆ＝ＸＮＵＭＸｋＨｚ。

Ｒ＝ＸＮＵＭＸオーム。Ｌ＝ＸＮＵＭＸｍＨ。 C₁ = 10 mF; C₂ = 5 mF

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まとめると、10個の未知の電圧と電流があります。つまり、i、i_C1、_R、_L、_C2で_C1で_Rで_Lで_C2 そしてv_IS。（電圧と電流に複雑なピーク値またはrms値を使用すると、合計20の実際の方程式が得られます！）

方程式は：

ループ方程式またはメッシュ方程式： M₁– V_SM +V_C1M+V_RM = 0

M₂ – V_RM + V_LM = 0

M₃ – V_LM + V_C2M = 0

M₄ – V_C2M + V_IsM = 0

オームの法則 V_RM = R *I_RM

V_LM = j*w* L *I_LM

I_C1M = j*w*C₁*V_C1M

I_C2M = j*w*C₂*V_C2M

Nの節点方程式₁ – I_C1M – I_SM+ I_RM+ I_LM +I_C2M = 0

シリーズ要素用 I = I_C1M

方程式系を解くと、未知の電流を見つけることができます。

i_vs （t）= 1.81 cos（wt + 79.96°）A

このような大規模な複素方程式系の解法は非常に複雑であるため、詳細には示していません。各複素方程式はXNUMXつの実方程式につながるため、TINAのインタープリターで計算された値によってのみ解を示します。

TINAの通訳を使用したソリューション：

{TINAの通訳による解決策}
om：= 20000 * pi;
Vs：= 10;
= 1です。
Sys Ic1、Ir、IL、Ic2、Vc1、Vr、VL、Vc2、Vis、Iv
Vs=Vc1+Vr {M1}
Vr=VL {M2}
Vr=Vc2 {M3}
Vc2=Vis {M4}
Ivs=Ir+IL+Ic2-Is {N1}
{オームのルール}
Ic1 = j * om * C1 * Vc1
Vr = R * Ir
VL = j * om * L * IL
Ic2 = j * om * C2 * Vc2
IV = Ic1
終わり
Ivs = [3.1531E-1 + 1.7812E0 * j]
abs（Ivs）= [1.8089]
fiIvs：= 180 * arc（Ivs）/ pi
fiIvs = [79.9613]

#Pythonによる解決策
sympyをsとしてインポート
cmath を c としてインポート
cp= ラムダ Z : “{:.4f}”.format(Z)
om=20000*c.pi
VS=10
は=1
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=s.symbols('Ic1 Ir IL Ic2 Vc1 Vr VL Vc2 Vis Ivs')
A=[s.Eq(Vc1+Vr,Vs),s.Eq(VL,Vr),s.Eq(Vc2,Vr),s.Eq(Vis,Vc2), #M1, M2, M3, M4
s.Eq(Ir+IL+Ic2-Is,Ivs)、#N1
s.Eq(1j*om*C1*Vc1,Ic1),s.Eq(R*Ir,Vr),s.Eq(1j*om*L*IL,VL),s.Eq(1j*om*C2*Vc2,Ic2),s.Eq(Ic1,Ivs)] #Ohm’s rules
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs)))[0]]
印刷(IV)
print(“abs(Ivs)=”,cp(abs(Ivs)))
print(“180*c.phase(Ivs)/c.pi=”,cp(180*c.phase(Ivs)/c.pi))

TINAを使用したソリューション：

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この問題を手動で解決するには、複素インピーダンスを使用します。たとえば、R、L、C₂ は並列に接続されているため、並列の等価物を計算することで回路を簡略化できます。 || インピーダンスの同等の並列を意味します：

数値的に：

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インピーダンスを使用した簡略化された回路：

順序付けられた形式の方程式： I + I_G1 = I_Z

V_S = V_C1 +V_Z

V_Z = Z · I_Z

I = j w C₁· V_C1

XNUMXつの未知数があります- I; I_Z; V_C1; V_Z –そしてXNUMXつの方程式があるので、解決策が可能です。

エクスプレス I 方程式から他の未知数を代入した後：

数値的に

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TINAの通訳者の結果によると。

{インピーダンスZを使用したソリューション}
om：= 20000 * pi;
Vs：= 10;
= 1です。
Z：= replus（R、replus（j * om * L、1 / j / om / C2））;
Z = [2.1046E0 - 2.4685E0 * j]
システム私
I = j * om * C1 *（Vs-Z *（I + Is））
終わり
I = [3.1531E - 1 + 1.7812E0 * j]
abs（I）= [1.8089]
180 * arc（I）/ pi = [79.9613]

#Pythonによる解決策
sympyをsとしてインポート
cmath を c としてインポート
リプラス= ラムダ R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=20000*c.pi
VS=10
は=1
Z=リプラス(R,リプラス(1j*om*L,1/1j/om/C2))
print('Z=',cp(Z))
I=s.symbols('I')
A=[s.Eq(1j*om*C1*(Vs-Z*(I+Is)),I),]
I=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,I))[0]][0]
print(“I=”,cp(I))
print(“abs(I)=”,cp(abs(I)))
print(“180*c.phase(I)/c.pi=”,cp(180*c.phase(I)/c.pi))

したがって、電流の時間関数は次のとおりです。

i（t）= 1.81 cos（wt + 80°）A

フェーザ図を使用して、キルヒホッフの現在のルールを確認できます。下の図は、iのノード方程式をチェックして作成されました。_Z = i + i_G1形。最初の図は、平行四辺形の規則によって追加されたフェーザーを示し、XNUMX番目の図は、フェーザーの追加の三角規則を示しています。

それでは、TINAのフェーザ図機能を使用してKVRをデモンストレーションしましょう。式では電源電圧が負であるため、電圧計を「逆方向」に接続しました。フェーザ図は、キルヒホッフの電圧規則の元の形式を示しています。

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最初のフェーザー図は平行四辺形の規則を使用し、XNUMX番目のフェーザー図は三角規則を使用します。

フォームVでKVRを説明するには_C1 + V_Z - V_S = 0、再び電圧計を電圧源に逆向きに接続しました。フェーザーの三角形が閉じていることがわかります。

TINAでは、基本関数として正弦関数または余弦関数のいずれかを使用できることに注意してください。選択した関数に応じて、フェーザ図に表示される複素振幅は90°異なる場合があります。基本機能は、「表示」「オプション」「ACの基本機能」で設定できます。この例では、常に余弦関数をベースとして使用しました。

例

次の場合は、すべてのコンポーネントの電圧と電流を見つけます。

v_S（t）= 10 cos wt V、 i_S（t）= 5 cos（w ｔ＋ＸＮＵＭＸ°）ｍＡ。

C₁ = 100 nF、 C₂ = 50 nF、 R₁ = R₂ = 4 k; L = X NUMX H、ｆ＝ＸＮＵＭＸｋＨｚ。

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未知数を「受動」要素の電圧と電流の複素ピーク値、および電圧源の電流（i_VS）と電流源の電圧（v_IS）。全体として、XNUMXの複雑な未知数があります。 XNUMXつの独立したノード、XNUMXつの独立したループ（M_I）、および3つの「オームの法則」によって特徴付けることができる4つの受動要素–全部で5 + 12 + XNUMX = XNUMXの方程式があります。

節点方程式 Nの場合₁ I_VsM = I_R1M + I_C2M

Nの場合₂ I_R1M = I_LM + I_C1M

Nの場合₃ I_C2M + I_LM + I_C1M +I_sM = I_R2M

ループ方程式形₁ V_SM = V_C2M + V_R2M

形₂ V_SM = V_C1M + V_R1M+ V_R2M

形₃ V_LM = V_C1M

形₄ V_R2M = V_IsM

オームの法則 V_R1M = R₁*I_R1M

V_R2M = R₂*I_R2M

I_C1m = j *w*C₁*V_C1M

I_C2m = j *w*C₂*V_C2M

V_LM = j *w* L * I_LM

複雑な方程式はXNUMXつの実方程式につながる可能性があるため、キルヒホッフの方法では多くの計算が必要になることを忘れないでください。微分方程式のシステムを使用して、電圧と電流の時間関数を解く方がはるかに簡単です（ここでは説明しません）。まず、TINAの通訳者によって計算された結果を示します。

{TINAの通訳による解決策}
f：= 10000;
Vs：= 10;
s：= 0.005 * exp（j * pi / 6）;
om：= 2 * pi * f;
sys ir1、ir2、ic1、ic2、iL、vr1、vr2、vc1、vc2、vL、vis、ivs
ivs=ir1+ic2 {1}
ir1=iL+ic1 {2}
ic2+iL+ic1+Is=ir2 {3}
Vs=vc2+vr2 {4}
Vs=vr1+vr2+vc1 {5}
vc1=vL {6}
vr2=vis {7}
vr1=ir1*R1 {8}
vr2=ir2*R2 {9}
ic1=j*om*C1*vc1 {10}
ic2=j*om*C2*vc2 {11}
vL=j*om*L*iL {12}
終わり
abs（vr1）= [970.1563m]
abs（vr2）= [10.8726]
abs（ic1）= [245.6503u]
abs（ic2）= [3.0503m]
abs（vc1）= [39.0965m]
abs（vc2）= [970.9437m]
abs（iL）= [3.1112u]
abs（vL）= [39.0965m]
abs（ivs）= [3.0697m]
180 + radtodeg（arc（ivs））= [58.2734]
abs（vis）= [10.8726]
radtodeg（arc（vis））= [ - 2.3393]
radtodeg（arc（vr1））= [155.1092]
radtodeg（arc（vr2））= [ - 2.3393]
radtodeg（arc（ic1））= [155.1092]
radtodeg（arc（ic2））= [ - 117.1985]
radtodeg（arc（vc2））= [152.8015]
radtodeg（arc（vc1））= [65.1092]
radtodeg（arc（iL））= [ - 24.8908]
radtodeg（arc（vL））= [65.1092]

#Pythonによる解決策
sympyをsとしてインポート
数学を m としてインポート
cmath を c としてインポート
cp= ラムダ Z : “{:.4f}”.format(Z)
f = 10000
VS=10
S=0.005*c.exp(1j*c.pi/6)
om=2*c.pi*f
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=s.symbols('ir1 ir2 ic1 ic2 iL vr1 vr2 vc1 vc2 vL vis ivs')
A=[s.Eq(ir1+ic2,ivs), #1
s.Eq(iL+ic1,ir1)、#2
s.Eq(ic2+iL+ic1+Is,ir2)、#3
s.Eq(vc2+vr2,Vs)、#4
s.Eq(vr1+vr2+vc1,Vs)、#5
s.Eq(vL,vc1)、#6
s.Eq(vis,vr2)、#7
s.Eq(ir1*R1,vr1)、#8
s.Eq(ir2*R2,vr2)、#9
s.Eq(1j*om*C1*vc1,ic1), #10
s.Eq(1j*om*C2*vc2,ic2), #11
s.Eq(1j*om*L*iL,vL)] #12
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs)))[0]]
print(“abs(vr1)=”,cp(abs(vr1)))
print(“abs(vr2)=”,cp(abs(vr2)))
print(“abs(ic1)=”,cp(abs(ic1)))
print(“abs(ic2)=”,cp(abs(ic2)))
print(“abs(vc1)=”,cp(abs(vc1)))
print(“abs(vc2)=”,cp(abs(vc2)))
print(“abs(iL)=”,cp(abs(iL)))
print(“abs(vL)=”,cp(abs(vL)))
print(“abs(ivs)=”,cp(abs(ivs)))
print(“180+degrees(phase(ivs))=”,cp(180+m.degrees(c.phase(ivs))))
print(“abs(vis)=”,cp(abs(vis)))
print(“度(位相(vis))=”,cp(m.degree(c.phase(vis))))
print(“度(phase(vr1))=”,cp(m.degrees(c.phase(vr1))))
print(“度(phase(vr2))=”,cp(m.degrees(c.phase(vr2))))
print(“度(phase(ic1))=”,cp(m.degrees(c.phase(ic1))))
print(“度(phase(ic2))=”,cp(m.degrees(c.phase(ic2))))
print(“度(位相(vc2))=”,cp(m.度(c.位相(vc2))))
print(“度(位相(vc1))=”,cp(m.度(c.位相(vc1))))
print(“度(位相(iL))=”,cp(m.度(c.位相(iL))))
print(“度(位相(vL))=”,cp(m.度(c.位相(vL))))

ここで、代入を使用して手動で方程式を簡略化してみます。最初にeq.9を代入します。式5に

V_S = V_C2 + R₂ I_R2A）

次に、式8および式9。式5に。

V_S = V_C1 + R₂ I_R2 + R₁ I_R1 b。）

それから式12。 10 そして私_L式から 2からeX.6へ。

V_C1 = V_L = jwLI_L = jwL（私_R1 - 私_C1）= jwLI_R1 - NSwLjwC₁ V_C1