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キルヒホッフの方程式の完全なセットは、この章で説明するノードポテンシャル法によって大幅に簡略化できます。 この方法を使用すると、キルヒホッフの電圧法則が自動的に満たされ、キルヒホッフの現在の法則も満たすためにノード方程式を記述するだけで済みます。 キルヒホッフの電圧の法則を満足させるには、ノード電位（ノードまたはノード電圧とも呼ばれます）を、 参照 ノード。 つまり、回路内のすべての電圧は、 参照ノード、通常は0の可能性があると見なされます。 これらの電位でループ方程式を書くと同一性が得られるため、これらの電圧定義を使用すると、キルヒホッフの電圧法則が自動的に満たされることが簡単にわかります。 Nノードを持つ回路の場合、N –1の方程式のみを記述する必要があることに注意してください。 通常、参照ノードのノード方程式は省略されます。
各電流はノードに出入りするため、回路内のすべての電流の合計はゼロです。 したがって、N番目のノードの方程式は、以前のN-1の方程式から独立していません。 N個の方程式をすべて含めると、解けない方程式系になります。
ノードポテンシャル法（ノード解析とも呼ばれます）は、コンピューターアプリケーションに最適な方法です。 TINAを含むほとんどの回路解析プログラムはこの方法に基づいています。
節分析のステップ：
1.ノードポテンシャルが0の参照ノードを選択し、残りの各ノードに V1、V2 or j1, j2などがあります。
2. 参照ノードを除く各ノードにキルヒホッフの現在の法則を適用します。 必要に応じて、オームの法則を使用して、ノード電位と電圧源電圧から未知の電流を表現します。 すべての未知の電流について、キルヒホッフの現在の法則を適用するたびに同じ基準方向（たとえば、ノードの外を指す）を想定します。
3. ノード電圧について得られたノード方程式を解きます。
4. ノード電圧を使用して、回路内の要求された電流または電圧を決定します。
ノードVのノード方程式を記述して、ステップ2を説明します1 次の回路フラグメントの：
まず、ノードV1からノードV2への電流を見つけます。 R1ではオームの法則を使用します。 R1の両端の電圧はV1 - V2 - VS1
そしてR1を通る（そしてノードV1からノードV2への）電流は
この電流には、Vの外側を指す参照方向があることに注意してください。1 ノード。 ノードの外を指す電流の規則を使用して、正の符号のあるノード方程式でそれを考慮する必要があります。
V間の分岐の現在の式1 とV3 同様ですが、VS2 Vと反対方向S1 （V間のノードの電位を意味しますS2 とR2 Vです3-VS2）、現在は
最後に、指示された参照方向のため、私はS2 正の符号が必要ですS1 ノード方程式の負の符号
ノード方程式：
次に、ノードポテンシャル法の使い方を示す完全な例を見てみましょう。
下の回路で抵抗器を流れる電圧Vと電流を見つけます
この回路にはノードがXNUMXつしかないため、XNUMXつの未知数の決定に対する解を減らすことができます。 基準ノードとしての下位ノードでは、未知のノード電圧は、私たちが解決しようとしている電圧Vです。
上位節点の節点方程式
数値的に：
30を掛ける： 7.5 + 3V – 30 + 1.5 V + 7.5。+ V – 40 = 0 5.5 V –55 = 0
したがって： V = 10 V
システムV
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
終わり
V = [10]
numpy を n としてインポートし、sympy を s としてインポートします
#I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
#係数の行列を書きます:
A=n.array([[1/R1+1/R2+1/R3]])
#定数の行列を書きます:
b=n.array([-I+Vs1/R1-Vs2/R2+Vs3/R3])
V= n.linalg.solve(A,b)[0]
print(“%.3f”%V)
#sympysolve を使用したシンボリック解法
V= s.symbols('V')
sol = s.solve([I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3],[V])
プリント(ソル)
次に、抵抗を流れる電流を決定します。 上記のノード方程式では同じ電流が使用されているため、これは簡単です。
{ノードポテンシャルメソッドを使用してください。}
システムV
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
終わり
V = [10]
{抵抗器の電流}
ＩＲＸＮＵＭＸ：＝（Ｖ − ＶｓＸＮＵＭＸ）／ ＲＸＮＵＭＸ。
ＩＲＸＮＵＭＸ：＝（Ｖ ＋ ＶｓＸＮＵＭＸ）／ ＲＸＮＵＭＸ。
ＩＲＸＮＵＭＸ：＝（Ｖ − ＶｓＸＮＵＭＸ）／ ＲＸＮＵＭＸ。
IR1 = [0]
IR2 = [750.0001m]
IR3 = [ - 1000m]
TINAの結果を確認するには、TINAのDCインタラクティブモードをオンにするか、分析/ DC分析/節点電圧コマンドを使用します。
次に、すでに最後の例として使用されていた問題を解決しましょう キルヒホッフの法則 章
回路の各要素の電圧と電流を求めます。
下のノードを電位0の基準ノードとして選択し、ノード電圧N2 Vと等しくなりますS3、： j2 =したがって、未知の節点電圧は4つしかありません。 以前、Kirchhoffの方程式の完全なセットを使用して、いくつかの単純化の後でも、XNUMXつの未知数の線形方程式系があったことを覚えているかもしれません。
ノードNのノード方程式を書く1、Nの節点電圧を示しましょう1 by j1
解決する簡単な方程式は、
数値的に：
330を掛けると、次のようになります。
3j1-360〜660 + 11j1 - 2970 = 0 ® j1= 285 V
計算した後 j1, 回路内の他の量を計算するのは簡単です。
電流：
IS3 = IR1 - 私R2 = 0.5 – 5.25 = – 4.75 A
そして電圧：
VIs = j1 = 285 V
VR1=（j1 - VS3）= 285 - 270 = 15 V
VR2 =（VS3 - VS2）= 270 – 60 = 210 V
VL = - （j1-VS1-VR3）= -285 +120 +135 = – 30 V
ノード電位法では、回路の電流と電圧を決定するために追加の計算が必要になることに注意してください。 ただし、これらの計算は非常に単純で、すべての回路量の線形方程式システムを同時に解くよりもはるかに単純です。
TINAの結果をチェックするには、TINAのDCインタラクティブモードをオンにするか、分析/ DC分析/節点電圧コマンドを使用します。
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さらなる例を見てみましょう。
例
現在のIを探す
この回路にはXNUMXつのノードがありますが、正極のノード電圧を決定する理想的な電圧源があるため、その負極を基準ノードとして選択する必要があります。 したがって、ノードポテンシャルはXNUMXつしかありません。 j1 & j2 .
ポテンシャルの節点の方程式 j1 & j2:
数値的に：
これを解決するには、最初の方程式に3を掛け、2番目の方程式にXNUMXを掛け、次にXNUMXつの方程式を追加します。
11j1 = 220
それゆえ j1= 20V、 j2 = （50 + 5j1）/ 6 = 25 V
最後に未知の流れ：
線形連立方程式の解は、次を使用して計算することもできます。 クレーマーの法則
上記のシステムをもう一度解いて、クラマーの法則の使い方を説明しましょう。
1 未知数の係数の行列を埋めます。
2 の値を計算する D行列の行列式.
| D| = 7 * 6 - （ - 5）*（ - 4）= 22
3 未知の変数の係数の列に右辺の値を置き、それから行列式の値を計算します。
4 - 新しく見つかった行列式を元の行列式で割り、次の比率を見つけます。
したがって j1 = 20 V & j2 = 25 V
TINAで結果を確認するには、TINAのDCインタラクティブモードをオンにするか、分析/ DC分析/節点電圧コマンドを使用します。 を使用することに注意してください 電圧ピン TINAのコンポーネントでは、ノードの電位を直接表示できます。 陸上 コンポーネントは参照ノードに接続されています。
Sys fi1、fi2
(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
終わり
fi1 = [20]
fi2 = [25]
Ｉ：＝（ｆｉＸＮＵＭＸ − ＶＳＸＮＵＭＸ）／ ＲＸＮＵＭＸ。
I = [500m]
numpyをnとしてインポート
#弊社にはこんなシステムがあります
#一次方程式
#fi1、fi2 について解きたいと思います:
#(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
#(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
#係数の行列を書きます:
A=n.array([[1/R2+1/R3+1/R4,-1/R2],[-1/R2,1/R2+1/R1]])
#定数の行列を書きます:
b=n.array([[VS1/R3],[VS1/R1+Is]])
x=n.linalg.solve(A,b)
fi1,fi2=x[0],x[1]
print(“fi1= %.3f”%fi1)
print(“fi2= %.3f”%fi2)
I=(fi2-VS1)/R1
print(“I= %.3f”%I)
例2。
抵抗Rの電圧を求めます4.
R1 = R3 = 100オーム、 R2 = R4 = 50オーム、R5 = 20オーム、R6 = 40オーム、R7 = 75オーム
この場合、電圧源Vの負極を選択することが現実的です。S2 Vの正極はS2 電圧源はVになりますS2 = 150ノードの電位。 ただし、この選択により、必要なV電圧はノードNのノード電圧と反対になります。4; したがってV4 = –V。
方程式は：
方程式はTINAのインタプリタで簡単に解くことができるので、ここでは手計算を示しません。
{ノードポテンシャルメソッドを使用してください。}
システムV、V1、V2、V3
V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
終わり
V1 = [116.6667]
V2 = [ - 91.8182]
V3 = [19.697]
V = [34.8485]
numpyをnとしてインポート
#ノードポテンシャル法を使う！
#解きたい一次方程式系があります
#V、V1、V2、V3の場合:
#V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
#(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
#(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
#(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
#係数の行列を書きます:
A= n.array([[0,1/R2+1/R1,0,0],[1/R6,0,1/R6+1/R5,(-1)/R5],[1/R7,0,(-1)/R5,1/R7+1/R5+1/R3],[(-1)/R6-1/R4-1/R7,0,-1/R6,-1/R7]])
#定数の行列を書きます:
b=n.array([(Vs2/R1)+Is,-(Vs1/R5)-Is,(Vs2/R3)+(Vs1/R5),0])
x= n.linalg.solve(A,b)
V=x[0]
print(“V= %.4f”%V)
TINAで結果を確認するには、TINAのDCインタラクティブモードをオンにするか、分析/ DC分析/節点電圧コマンドを使用します。 ノード電圧を表示するには、ノードにいくつかの電圧ピンを配置する必要があることに注意してください。
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