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フーリエ定理 は、さまざまな周波数の適切に重み付けされた正弦項と余弦項を追加することで、任意の周期的波形を合成できると述べています。 定理は他の教科書で十分にカバーされているので、結果のみを要約し、いくつかの例を示します。
周期関数をf(t)= f(t ±nT)ここで、TはXNUMX周期の時間、nは整数です。
w0= 2p/ T 基本角周波数。
バイ フーリエ定理 周期関数は次の合計として書くことができます:
コラボレー
An とBn です。 フーリエ係数 そして合計は フーリエ級数.
別の形式、おそらくもう少し実用的です:
コラボレー
A0 = C0 DCまたは平均値、A1、B1 およびC1 は基本成分であり、その他は調和項です。
一部の波形を近似するために必要な用語はごくわずかですが、その他の用語には多くの用語が必要です。
一般に、含まれる項が多いほど、近似はよくなりますが、矩形インパルスなどのステップを含む波形の場合、 ギブス現象 場に出る。 項の数が増えると、オーバーシュートはさらに短い期間に集中します。
An 偶数機能 f(t)= f(-t)(軸対称)には余弦項のみが必要です。
An 変機能 f(t)= – f(-t)(点対称)は正弦項のみを必要とします。
波形 鏡対称または半波長対称 たった 奇数 そのフーリエ表現の高調波。
ここではフーリエ級数展開については扱いませんが、回路の励振として正弦と余弦の所定の合計のみを使用します。
この本の最初の章では、正弦波の励振を扱いました。 回路が線形の場合、 重ね合わせ定理 有効です。 非正弦波の周期的な励振があるネットワークの場合、重ね合わせにより、 各フーリエ正弦波項に起因する電流と電圧を一度にXNUMXつずつ計算します。 すべてが計算されたら、最後に応答の調和成分を要約します。
周期的な電圧と電流のさまざまな項を決定するのは少し複雑であり、実際には、情報が過負荷になる可能性があります。 実際には、単純に測定を行います。 を使用してさまざまな調和項を測定できます ハーモニックアナライザ スペクトラムアナライザー、ウェーブアナライザーまたはフーリエアナライザー。 これらはすべて 複雑で、おそらく必要以上のデータを生成します。 時々、その平均値によってのみ周期的な信号を記述することで十分です。 しかし、いくつかの種類の平均測定値があります。
平均 VALUES
単純平均 or DC 項はフーリエ表現でAとして見られました0
この平均は、Deprezなどの機器で測定できます。 DC楽器。
実効値 or 実効値 (二乗平均平方根)の定義は次のとおりです。
抵抗で消費される熱は実効値に比例するため、これは最も重要な平均値です。 多くのデジタルおよび一部のアナログ電圧計は、電圧と電流の実効値を測定できます。
絶対平均
この平均はもはや重要ではありません。 以前の機器はこの形式の平均を測定していました。
電圧または電流波形のフーリエ表現がわかっている場合は、次のように平均値を計算することもできます。
単純平均 or DC 項はフーリエ表現でAとして見られました0 = C0
実効値 or 実効値 (二乗平均平方根)は、電圧のフーリエ級数を積分した後:
クリファクター 平均値の非常に重要な比率です:
高調波項の実効値の比です 基本波の実効値に:
ここには矛盾があるようです。高調波成分の観点からネットワークを解きますが、平均量を測定します。
簡単な例でメソッドを説明しましょう。
例
時間関数と電圧vの実効値(rms)を求めますC(T)
R = 5の場合、C = 10 mFとv(t)=(100 + 200 cos()w0t)+ 30 cos(3) w0t –90°))V、ここで基本角周波数は w0= 30 krad / s。
重ね合わせの定理を使用して問題を解決してみてください。
最初のステップは、周波数の関数として伝達関数を見つけることです。 簡単にするために、置換を使用します:s = j w
次に、コンポーネントの値とs = jkを置き換えます w0ここで、k = 0です。 1; この例では3 w0= 30 krad / s。 V、A、オーム、 mFとMrad / sの単位:
数値解のステップを整理するには、表を使用すると便利です。
k | W(jk)= |
0 | |
1 | |
3 |
重ね合わせソリューションのステップを別の表にまとめることができます。 すでに見てきたように、コンポーネントの複素ピーク値を見つけるには、励起のコンポーネントの複素ピーク値に複素伝達関数の値を乗算する必要があります:
k | V | W | VCk |
0 | 100 | 1 | 100 |
1 | 200 | 0.55e-j56.3° | 110e-j56.3° |
3 | 30e-j90° | 0.217e-j77.5° | 6.51e-j167.5° |
そして最後に、コンポーネントの複雑なピーク値を知っている時間関数を与えることができます:
vC(t)= 100 + 110 cos(w0t - 56.3°)+ 6.51 cos(3)w0t - 167.5°) V
電圧の実効値は次のとおりです。
ご覧のとおり、TINAの測定器はこのrms値を測定します。
例
時間関数と現在のi(t)の実効値(rms)を求めます
R = 5の場合、C = 10 mFとv(t)=(100 + 200 cos()w0t)+ 30 cos(3)w0t –90°))Vここで、基本角周波数は w0= 30 krad / s。
重ね合わせの定理を使用して問題を解決してください。
ソリューションのステップは例1と同様ですが、伝達関数が異なります。
数値とs = jkを代入します w0,ここで、k = 0です。 1; この例では3です。
V、A、オーム、 mFとMrad / sの単位:
数値解法の際に表を使用すると便利です。
k | W(jk)= |
0 | |
1 | |
3 | |
重ね合わせのステップを別の表にまとめることができます。 すでに見てきたように、コンポーネントのピーク値を見つけるには、励起のそのコンポーネントの複素ピーク値に複素伝達関数の値を乗算する必要があります。 励起の成分の複素ピーク値を使用します。
k | VSk | W(jk) | Ik |
0 | 100 | 0 | 0 |
1 | 200 | 0.162電子j33.7° | 32.4電子j33.7° |
3 | 30電子-j90° | 0.195電子j12.5° | 5.85電子-j77.5° |
最後に、コンポーネントの複雑なピーク値を知ることで、時間関数を述べることができます。
i(t)= 32.4 cos(w0t + 33.7°)+ 5.85 cos(3)w0t - 77.5°) [A]
T現在の実効値:
多くの場合、ソリューションの一部について健全性チェックを実行できます。 たとえば、コンデンサはDC電圧を持つことができますが、DC電流を持つことはできません。
例
電圧Vの時間関数を取得するab if R1= 12オーム、R2 = 14オーム、L = 25 mH、および
C = 200 mF.発電機の電圧はv(t)=(50 + 80 cos(w0t)+ 30 cos(2) w0t + 60°))V、 基本周波数はf0 = 50 Hz。
最初のステップは、伝達関数を見つけることです。
V、A、オーム、mH、mF、kHz単位の数値を代入します。
2つのテーブルをマージします。
k V Sk | V アブ | |
---|---|---|
0 50 | 50 | |
1 80 | 79.3電子-j66.3 | |
2 30 ej60 | 29.7電子-j44.7 |
最後に時間関数:
vab(t)= 50 + 79.3 cos(w1t - 66.3°)+ 29.7 cos(2)w1t - 44.7°) [V]
とrms値: