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正弦波電圧は次の式で表すことができます。
v(t)= VM sin(ωt+Φ)またはv(t)= VM cos(ωt+Φ)
コラボレー | v(t) | 電圧の瞬時値(ボルト)。 |
VM | 電圧の最大値またはピーク値(ボルト)(V) | |
T | 期間:1サイクルにかかる時間(秒) | |
f | 周波数 - 1秒単位の周期数、Hz(ヘルツ)または1 /秒。 f = 1 / T | |
ω | ラジアン/秒で表される角周波数 ω= XNUMX *π* fまたはω= XNUMX *π/ T。 | |
Φ | ラジアンまたは度で与えられる初期位相。 この量は、正弦波または余弦波の値att = 0を決定します。 | |
注:正弦波電圧の振幅はVと表されることがあります。エフ実効値または実効値。 これはVに関連していますM 関係Vに従ってM=√2Vええ、 またはほぼVエフ = 0.707 VM |
上記の用語を説明するための例をいくつか示します。
ヨーロッパの家庭用コンセントの220 V AC電圧の特性:
実効値:Vエフ = 220 V
ピーク値:VM=√2* 220V = 311 V
周波数:f = 50 1 / s = 50 Hz
角周波数:ω= XNUMX *π* f = XNUMX XNUMX / s = XNUMX rad / s
期間:T = 1 / f = 20 ms
時間関数:v(t)= 311 sin(314 t)
TINAのAnalysis / AC Analysis / Time Functionコマンドを使って時間関数を見てみましょう。
あなたは、期間がT = 20mであることを確認することができますM = 311 V.
米国の家庭用コンセントの120 V AC電圧の特性:
実効値:Vエフ = 120 V
ピーク値:VM=√2120 V = 169.68 V≈170 V
周波数:f = 60 1 / s = 60 Hz
角周波数:ω= XNUMX *π* f = XNUMX rad / s≒XNUMX rad / s
期間:T = 1 / f = 16.7 ms
時間関数:v(t)= 170 sin(377 t)
この場合、時間関数は、次のように与えられることに注意されたい。初期段階がわからない。
初期段階は、いくつかの電圧が同時に存在するときに重要な役割を果たします。 実用的な例としては、同じピーク値、形状、周波数の3つの電圧が存在する3相システムがあります。それぞれの電圧は、他に対して120°の位相シフトを持っています。 60 Hzネットワークでは、時間関数は次のとおりです。
vA(t)= 170 sin(377 t)
vB(t)= 170 sin(377 t –120°)
vC(t)= XNUMXsin(XNUMX t + XNUMX°)
TINAで作られた次の図は、TINAの電圧発生器としてこれらの時間機能を持つ回路を示しています。
電圧差vAB= vA(t)– vB(t)は、TINAのAnalysis / AC Analysis / Time Functionコマンドによって解決されたものとして示されています。
vのピークAB (t)は、ほぼXNUMX Vであり、vのXNUMX Vピークよりも大きい。A(t)またはvB(t)電圧だけでなく、単にそれらのピーク電圧の合計でもありません。 これは位相差が原因です。 結果として生じる電圧(これは Ö3 * 170 @ この場合は294)この章の後半、および 三相システム 章。
正弦波信号の特性値
AC信号はその期間中連続的に変化しますが、1つの波を別の波と比較するためのいくつかの特性値を定義するのは簡単です。
すでにピーク値を満たしています VM これは、単に時間関数の最大値、つまり正弦波の振幅です。
ピークツーピーク(pp)値が使用されることがあります。 正弦波の電圧と電流の場合、ピークツーピーク値はピーク値の2倍です。
平均値 正弦波のαは、正の半周期の値の算術平均です。 それはまた呼ばれます 絶対平均 波形の絶対値の平均と同じなので。 実際には、この波形に遭遇します。 修正する 全波整流器と呼ばれる回路を持つ正弦波。
正弦波の絶対平均は次のようになることがわかります。
VAV= 2 /πVM ≒0.637 VM
全サイクルの平均はゼロであることに注意してください。
正弦波電圧または正弦波の実効値または実効値は、同じ加熱電力を生成する等価DC値に対応する。 例えば、実効値が120 Vの電圧は、DC電圧源からのX NUMX Vと同じ加熱および照明電力を電球に生成します。 正弦波の実効値または実効値は次のようになることがわかります。
V実効値 = VM /√2≒0.707 VM
これらの値は、電圧と電流の両方に対して同じ方法で計算できます。
実効値は実際には非常に重要です。 特に明記しない限り、電力線のAC電圧(例えば、110Vまたは220V)は実効値で示されています。 ほとんどのACメーターは実効値で校正されており、実効値レベルを示します。
例 220 V rms値を使用して、電気回路網内の正弦波電圧のピーク値を求めます。
VM = 220 / 0.707 = 311.17 V
例 110 V rms値を使用して、電気回路網内の正弦波電圧のピーク値を求めます。
VM = 110 / 0.707 = 155.58 V
例 rms値が220 Vの場合、正弦波電圧の(絶対)平均を求めます。
Va = 0.637 * VM = 0.637 * 311.17 = 198.26 V
例 rms値が110 Vの場合、正弦波電圧の絶対平均を求めます。
実施例XNUMXからの電圧のピークは、XNUMX Vであり、したがって、
Va = 0.637 * VM = 0.637 * 155.58 = 99.13 V
例 絶対平均(Vの間の比率を見つけなさいa正弦波形の)とrms(V)の値。
V / Va = 0.707 / 0.637 = 1.11
不適切な結果につながるため、AC回路に平均値を追加することはできません。
フェイザー
前のセクションですでに見たように、AC回路では同じ周波数の正弦波電圧と電流を追加することがしばしば必要です。 TINAを使用して、または三角法の関係を使用することによって、シグナルを数値的に追加することは可能ですが、いわゆるいわゆるを使用する方が便利です。 フェイザー 方法。 フェーザは、正弦波信号の振幅と位相を表す複素数です。 フェーザは周波数を表していないことに注意することが重要です。これはすべてのフェーザで同じでなければなりません。
フェーザは複素数として扱うことも、複素平面の平面矢印としてグラフィカルに表現することもできます。 グラフィック表現はフェーザ図と呼ばれます。 フェーザ図を使用すると、三角形または平行四辺形の法則によって複素平面内のフェーザを追加または減算できます。
複素数には2つの形式があります。 長方形の & 極性の.
長方形の表現は次の形式です。 jb、ここで j = Ö-1は虚数単位です。
極座標はAeの形をしていますj j ここで、Aは絶対値(振幅)です。 f 正の実軸から反時計回りの方向へのフェーザの角度です。
我々は使用するだろう 大胆な 複雑な量の文字
それでは、時間関数から対応するフェーザを導出する方法を見てみましょう。
まず、回路内のすべての電圧が余弦関数の形で表されると仮定します。 (すべての電圧はその形式に変換できます。) フェイザー v(t)= Vの電圧に対応M cos( w t+f)です:VM = VMe jf これは複素ピーク値とも呼ばれます。
たとえば、電圧を考えます。v(t)= 10 cos( w t + 30°)
対応するフェーザーは次のとおりです。
同じようにフェーザーから時間関数を計算することができます。 まず、フェーザを極座標形式で書きます。 VM = VMe jr そして対応する時間関数は
v(t)= VM (cos(wt+r).
たとえば、フェーザーを考えてみましょう VM = 10 – j20 V
それを極座標形式にする:
したがって、時間関数は次のようになります。v(t)= 22.36 cos(wt - 63.5°)V
フェーザは、AC回路の電圧と電流の複素実効値または実効値を定義するためによく使用されます。 与えられたv(t)= VMcos(wt+r)= 10cos(wt + 30°)
数値的に:
v(t)= 10 * cos(wT-30°)
複素有効(rms)値 V = 0.707 * 10 * e– j30° = 7.07 e– j30° = 6.13 - j 3.535
逆の場合も同様です。電圧の複素実効値が
V = – 10 + j 20 = 22.36 e j 116.5°
複素ピーク値
そして時間関数: v(t)= 31.63 cos( wt + 116.5° )V
上記の技法の簡単な説明は次のとおりです。 与えられた時間関数
VM (cos( w t+r)、定義してみましょう 複素時間関数 を次のように定義しています:
v (t)= VM e jr e jwt = VMe jwt = VM (cos(r)+ j 罪(r))e jwt
コラボレー VM =VM e j r t = VM (cos(r)+ j 罪(r))はちょうど上で紹介したフェーザーです。
たとえば、v(t)の複素時間関数= 10 cos(wt + 30°)
v (t)= VMe jwt = 10 e j30 e jwt = 10e jwt (cos(30)+ j sin(30))= e jwt (8.66 +j5)
複素時間関数を導入することによって、実数部と虚数部の両方を使った表現ができます。 結果の実部を取ることによって、常に元の実時間関数を回復することができます。v(t)= Re {v(t)}
しかしながら、複素時間関数は、考慮中のAC回路内のすべての複素時間関数が同じeを有するので、大きな利点を有する。jwt 乗数、我々はこれを取り除くことができて、ちょうどフェイザーで働くことができます。 さらに、実際には私たちはeを使いませんjwt 部分的には、時間関数からフェーザへの変換とその逆の変換だけです。
フェーザを使用する利点を説明するために、次の例を見てみましょう。
例 電圧の合計と差を求めます。
v1 = 100 cos(314 * t) & v2 = 50 cos(314 * t - 45°)
最初に両方の電圧のフェーザーを書きます。
V1M = 100 V2M= 50 e – j 45° = 35.53 - j 35.35
したがって:
V加えます = V1M + V2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e– j 14.63°
V以下 = V1M – V2M = 64.65 + j35.35 = 73.68電子 j 28.67°
そして時間関数:
v加えます(t)= 139.89 * cos(wt - 14.63°)
v以下(t)= 73.68 * cos(wt + 28.67°)
この簡単な例が示すように、phasors.の方法はAC問題を解決するための非常に強力なツールです。
TINAのインタプリタのツールを使って問題を解決しましょう。
{v1 + v2の計算}
v1:= 100
v2:= 50 * exp(-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553-35.3553 * j]
v1add:= v1 + v2
v1add = [135.3553-35.3553 * j]
abs(v1add)= [139.8966]
radtodeg(arc(v1add))= [ - 14.6388]
{v1-v2の計算}
v1sub:= v1-v2
v1sub = [64.6447 + 35.3553 * j]
abs(v1sub)= [73.6813]
radtodeg(arc(v1sub))= [28.6751]
#v1+v2の計算
数学を m としてインポート
cmath を c としてインポート
v1=100
v2=50*c.exp(complex(0,-c.pi/4))
print(“v2=”,v2)
vadd=v1+v2
print(“vadd=”,vadd)
print(“abs(vadd)=”,abs(vadd))
print(“度(arc(vadd))=”,m.degrees(c.phase(vadd)))
#v1-v2の計算
vsub=v1-v2
print(“vsub=”,vsub)
print(“abs(vsub)=”,abs(vsub))
print(“度(arc(vsub))=”,m.degrees(c.phase(vsub)))
振幅と位相の結果は手計算を確認します。
それではTINAのAC解析を使って結果を確認しましょう。
分析を実行する前に、 ACの基本機能 に設定 コサイン セクションに エディタオプション 表示/オプションメニューからダイアログボックスを開きます。 このパラメータの役割はで説明します。 例.
回路と結果:
やはり結果は同じです。 これが時間関数グラフです。
例 電圧の合計と差を求めます。
v1 = 100 sin(314 * t)そして v2 = 50 cos(314 * t - 45°)
この例では、新しい質問が出ています。 これまでのところ、すべての時間関数が余弦関数として与えられることを要求してきました。 正弦として与えられた時間関数で何をしましょうか。 解決策は、サイン関数をコサイン関数に変換することです。 三角関係sin(x)= cos(x-)を使うp/ 2)= cos(x - 90)°私たちの例は次のように言い換えることができます。
v1 = 100 cos(314t – 90°) & v2 = 50 cos(314 * t – 45°)
今、電圧のフェーザーは次のとおりです。
V1M = 100 e – j 90° = -100 j V2M= 50 e – j 45° = 35.53 - j 35.35
したがって:
V 加えます = V1M + V2M = 35.53 年 j 135.35
V 以下 = V1M – V2M = – 35.53 年 j 64.47
そして時間関数:
v加えます(t)= 139.8966 cos(wT-75.36°)
v以下(t)= 73.68 cos(wT-118.68°)
TINAのインタプリタのツールを使って問題を解決しましょう。
{v1 + v2の計算}
v1:= - 100 * j
v2:= 50 * exp(-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553 – 35.3553 * j]
v1add:= v1 + v2
v1add = [35.3553-135.3553 * j]
abs(v1add)= [139.8966]
radtodeg(arc(v1add))= [ - 75.3612]
{v1-v2の計算}
v1sub:= v1-v2
v1sub = [-35.3553 – 64.6447 * j]
abs(v1sub)= [73.6813]
radtodeg(arc(v1sub))= [ - 118.6751]
#v1+v2の計算
数学を m としてインポート
cmath を c としてインポート
v1=100
v2=50*c.exp(complex(0,-c.pi/4))
print(“v2=”,v2)
vadd=v1+v2
print(“vadd=”,vadd)
print(“abs(vadd)=”,abs(vadd))
print(“度(arc(vadd))=”,m.degrees(c.phase(vadd)))
#v1-v2の計算
vsub=v1-v2
print(“vsub=”,vsub)
print(“abs(vsub)=”,abs(vsub))
print(“度(arc(vsub))=”,m.degrees(c.phase(vsub)))
TINAのAC解析で結果を確認しましょう
例
電圧の合計と差を求めます。v1 = 100 sin(314 * t) & v2 = 50 sin(314 * t - 45°)
この例ではもう1つ問題があります。 すべての電圧が正弦波として与えられていて、その結果を正弦波としても表示したい場合はどうなりますか。 もちろん、両方の電圧を余弦関数に変換し、答えを計算してから、結果を正弦関数に戻すこともできますが、これは必須ではありません。 コサイン波から作成したのと同じ方法で正弦波からフェーザを作成し、その振幅と位相を結果の正弦波の振幅と位相として使用することができます。
これは明らかに正弦波を余弦波に変換するのと同じ結果になります。 前の例からわかるように、これは - を掛けることと同じです。j そしてcos(x)= sin(x-90)°それを正弦波に変換する関係。 これはで乗算するのと同じです。 j。 言い換えれば、j × j = 1の場合、正弦波の振幅と位相から直接導出されたフェーザを使用して関数を表現し、その後それらに直接戻ることができます。 また、複素時間関数についても同じように推論して、正弦波を複素時間関数の虚数部と見なし、それらに余弦関数を追加して完全な複素時間関数を作成することができます。
フェーザのベースとして正弦関数を使用したこの例の解決策を見てみましょう(sin( w t)実数単位フェーザー(1))
V1M = 100 V2M= 50 e – j 45° = 35.53 - j 35.35
したがって:
V 加えます = V1M + V2M = 135.53 年 j 35.35
V 以下 = V1M – V2M = 64.47+ j 35.35
フェーザは例6とまったく同じですが、時間関数は異なります。
v3(t)= 139.9sin(wt - 14.64°)
v4(t)= 73.68sin(wt + 28.68°)
ご覧のとおり、特に初期データが正弦波の場合、正弦関数を使用して結果を取得するのは非常に簡単です。 多くの教科書は、フェーザの基底関数として正弦波を使用することを好みます。 実際には、どちらの方法も使用できますが、混同しないでください。
フェーザを作成するとき、すべての時間関数が最初にサインまたはコサインに変換されることが非常に重要です。 正弦関数から始めた場合は、フェーザから時間関数に戻るときに、解を正弦関数で表す必要があります。 余弦関数から始めても同じことが言えます。
TINAの対話モードを使って同じ問題を解決しましょう。 フェーザを作成するためのベースとして正弦関数を使用したいので、 ACの基本機能 に設定されています 正弦 セクションに エディタオプション 表示/オプションメニューからダイアログボックスを開きます。
波形と結果の和と差を作るための回路:
および時間関数: