복잡한 숫자

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메쉬 및 루프 현재 방법

대체 전류의 원리

이 장과 다음 장에서는 AC 또는 교류 전류라는 매우 중요한 주제를 제시합니다. 교류의 이름은 매우 정확하지 않고 일반적으로 정현파 전압과 전류가있는 회로를 덮습니다. 그러나 교류는 임의의 전류 파형을 의미 할 수도 있습니다. AC 전압의 중요성은 이러한 종류의 전압이 전 세계의 가정 및 산업의 주요 전력 원에 사용된다는 것입니다. 또한 많은 전자 제품, 통신 및 산업 응용 분야의 기반이기도합니다.

사인파 파형과 그와 관련된 회로를 다루기 위해 우리는 페이저 방법이라는 간단하고 우아한 방법을 사용할 것입니다. Phasors는 복소수의 속성을 기반으로하며 사인파 양을 나타내는 데 이상적입니다. 이 장에서는 복소수와 그 연산에 대한 주요 사실을 요약합니다. 또한 TINA의 인터프리터를 사용하여 복잡한 숫자로 쉽게 계산할 수있는 방법을 보여줍니다.

복소수는 두 부분으로 구성됩니다. 실수 부분 (x), 이 숫자는 실수이고, 소위 허수 부 (y)를 곱한 실수 인 , 허수 단위. 복소수 z따라서 다음과 같이 설명 할 수 있습니다.

z = x + jy

어디에 .

복소수의 예 :

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

복소수는 원래 XNUMX 세기에 도입되어 실수만으로는 표현할 수없는 다항식의 근을 나타냅니다. 예를 들어, 방정식 x의 근²+ 2x + 2 = 0은 (으)로만 설명 할 수 있습니다. 과 , 또는 표기법을 사용하여 , z₁= 1 + j 과 z₂= 1- j. 새로운 표기법을 사용하여 표현의 속성을 조사함으로써 수학자들은 이론을 증명하고 문제를 해결할 수 있었지만 지금까지는 해결이 불가능하지는 않았지만 어려웠습니다. 이로 인해 복잡한 대수와 복잡한 기능이 정교 해졌으며 이제 수학과 공학에서 널리 사용됩니다.

복소수의 기하학적 표현

직사각형

복소수는 항상 실수 부분과 복소수 부분으로 분리 될 수 있기 때문에 복소수를 XNUMX 차원 평면의 점으로 나타낼 수 있습니다. 복소수의 실수 부분은 실수 축으로 점을 투영 한 것이고 숫자의 허수 부분은 허수 축을 투영 한 것입니다. 복소수가 실수 부와 허수 부의 합으로 표현 될 때 직사각형의 or 대수 형태.

다음 그림은 복소수 z = 2 + 4j

극좌표 및 지수 형식

위의 그림에서 볼 수 있듯이 A 지점은 화살표 길이로도 나타낼 수 있습니다. r (절대 값, 크기 또는 진폭이라고도 함) 및 각도 (또는 위상) φ 양의 수평 축에 대해 시계 반대 방향으로 이것이 정반대의 복소수의 형태. r ∠로 표시됩니다. φ.

다음 단계는 매우 중요합니다. 극형의 복소수도 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 기하 급수적 인 형태:

이 간단한 표현은 평범한 실수 대신 지수에 허수가 있다는 점에서 구별됩니다. 이 복잡한 지수는 실제 인수를 사용하여 지수 함수와 매우 다르게 작동합니다. e 동안^x x> 0이 증가하면 크기가 빠르게 증가하고 x <0이면 감소합니다. 모든 φ에 대해 동일한 크기 (z = 1)를 갖습니다. 또한 복잡한 값은 단위 원에 있습니다.

Euler의 수식은 복소수의 직사각형, 극좌표 및 지수 형식 간의 통합 링크를 제공합니다.

z = x + jy = 다시 ^jφ = r (cos φ + j 죄 φ )

어디에

과 φ = 황갈색^-1(y / x)이다.

위의 예에서, z = 2 + 4j:

φ = 황갈색^-1(4 / 2) = 63.4 °

따라서 .

혹은 그 반대로도:

응용 프로그램에 따라 두 형식을 모두 사용하는 데 능숙해야합니다. 예를 들어, 숫자가 직사각형 형태 일 때는 더하기 또는 빼기가 더 쉬워지고, 숫자가 지수 형태 일 때는 곱셈과 나눗셈이 더 쉬워집니다.

복소수 연산

복소수로 수행 할 수있는 연산은 실수와 유사합니다. 규칙과 새로운 정의가 아래에 요약되어 있습니다.

j로 작업

작업에 j 단순히 허수 단위의 정의를 따를 것,

빠르고 정확하게 일하려면 다음 규칙을 명심해야합니다.

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j =-j

증명:

j² = -1는 다음의 정의에서 간단히 따릅니다. 이후

1 /j, 우리는 1 /jby j / j = 1 및 get j/ (jj) = j / (-1) = –j.

복합 결합체

복소수의 복소 공액은 쉽게 유도되며 매우 중요합니다. 직사각형 형태의 복소수의 복소 공액을 구하려면 단순히 허수 부의 부호를 변경하십시오. 지수 형태의 숫자에 대해 그렇게하려면 절대 값을 동일하게 유지하면서 복소수 각도의 부호를 변경하십시오.

복소수의 복소 공액 z 종종 z^*.

주어진 복소수 z= a + jb의 복소 공액은 z^*= a- jb.

If z 지수 형태로 주어지며, , 그 복합 공액은

위의 정의를 사용하면 복소수에 복소수 곱을 곱한 값이 복소수의 절대 값 제곱을 얻는 것을 쉽게 볼 수 있습니다.

zz^* = r²= a²⁺b²

또한, 복소수와 공액 복소수를 더하거나 뺄으로써 다음 관계를 얻습니다.

z + z ^* = 2a

따라서

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

비슷하게:

z - z ^* =j2b

따라서

임 (z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

증명:

또는 실수 부와 허수 부를 곱하고 j²= -1

zz^* = (a + jb) (a - jb) = a²+a jb – 에이 jb - jbjb = a²j2 = a²⁺b²

z + z^* = a + jb + a - jb = 2a

지 – 지^*= a + j비 – 가 + jb =j2b

수치 예제 :

직사각형 형태 :

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

극지방

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠- 53.13 °

지수 형태 :

더하기와 빼기

복소수의 덧셈과 뺄셈은 간단합니다. 실수와 허수 부분 만 별도로 추가하면됩니다. 예를 들어

z₁ = 3 - 4j 과 z₂= 2 + 3j

그때

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j – 2년 – 3년j = 3 – 2년 – 4년j - 3j = 1 - j7

분명히, 우리는 이러한 작업에 직사각형 형태를 사용해야합니다. 숫자가 지수 또는 극수 형식으로 제공되는 경우 앞에서 설명한대로 Euler의 공식을 사용하여 먼저 사각형 형식으로 변환해야합니다.

곱셈

복소수의 곱셈에는 두 가지 방법이 있습니다.

직사각형 형태의 복소수 곱셈

연산을 수행하려면 한 숫자의 실수와 허수 부분에 다른 숫자의 실수와 허수 부분을 곱한 후 동일성을 사용하십시오. j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

복소수가 수치로 주어지면 위 공식을 사용할 필요가 없습니다. 예를 들어, let

z₁ = 3 - 4j 과 z₂= 2 + 3j

구성 요소를 직접 곱하면 :

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

또는 공식을 사용하여 : z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ b₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

구성 요소를 직접 곱하는 것보다 수식을 사용하면 오류가 발생할 확률이 높습니다.

{TINA 통역사의 솔루션}
z1 : = 3-4 * j
z2 : = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Python의 솔루션:
수학을 m으로 가져오기
cmath를 c로 가져오기

z1=복소수('3-4j')
z2=복소수('2+3j')
인쇄("z1*z2=",z1*z2)

극 또는 지수 형태로 주어진 복소수의 곱셈

이 작업을 수행하려면 절대 값을 곱하고 두 복소수의 각도를 더하십시오. 방해:

그런 다음 지수 함수의 곱셈 규칙을 사용합니다.

또는 극한 형태

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ ∠₁+ φ₂

참고 : 우리는 이미 계산했을 때이 규칙을 사용했습니다. zz ^*위. 켤레의 각도가 원래 각도의 반대 부호를 가지기 때문에, 자신의 켤레를 곱한 복소수는 항상 실수입니다. 즉, 절대 값의 제곱 : zz ^*= r²

예를 들어 let :

z₁ = 5 ∠ 30 ° 및 z₂ = 4 ∠ -60 °

그때

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

또는 지수 형태

곱셈은 숫자가 극 또는 지수 형태 일 때 분명히 더 간단합니다.

그러나 복소수가 직사각형 형태로 제공되는 경우, 곱하기 전에 숫자를 극좌표 형식으로 변환하면 추가 단계가 있으므로 위와 같이 직접 곱셈을 수행하는 것이 좋습니다. 고려해야 할 또 다른 요소는 답을 직사각형 형태로 표시할지 극 / 지수 형태로 표시할지 여부입니다. 예를 들어, 두 숫자가 직사각형 형태이지만 극좌표 형태의 제품을 원한다면 즉시 변환 한 다음 곱하는 것이 좋습니다.

분할

복소수를 나누는 방법에는 두 가지가 있습니다.

직사각형 형태로 주어진 복소수의 나눗셈

연산을 수행하려면 분자와 분모에 분모의 공액을 곱하십시오. 분모는 실수가되고, 나눗셈은 XNUMX 개의 복소수의 곱셈과 실수, 즉 분모의 절대 값의 제곱의 곱으로 줄어 듭니다.

예를 들어 let :

z₁ = 3 - 4j 과 z₂= 2 + 3j

TINA의 통역사를 통해이 결과를 확인해 보겠습니다.

{TINA 통역사의 솔루션}
z1 : = 3-4 * j
z2 : = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Python의 솔루션:
수학을 m으로 가져오기
cmath를 c로 가져오기

z1=복소수('3-4j')
z2=복소수('2+3j')
인쇄("z1/z2=",z1/z2)

극한 또는 지수 형태로 주어진 복소수의 나눗셈

연산을 수행하려면 절대 값 (크기)을 나누고 분모의 각도를 분자의 각도에서 뺍니다. 방해:

그런 다음 지수 함수의 나눗셈 규칙을 사용합니다.

또는 극한 형태

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

예를 들어 let :

z ₁ = 5 ∠ 30 ° 및 z ₂ = 2 ∠ -60 °

그때

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

또는 지수 및 직사각형 형태

TINA의 통역사를 통해이 결과를 확인해 보겠습니다.

{TINA 통역사의 솔루션}
z1 : = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2 : = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Python의 솔루션:
수학을 m으로 가져오기
cmath를 c로 가져오기

z1=5*(c.exp(복소수(0,m.라디안(30))))
z2=2*(c.exp(복소수(0,m.라디안(-60))))
인쇄("z1/z2=",z1/z2)

숫자가 극좌표 또는 지수 형태 인 경우 나누기가 훨씬 간단합니다.

그러나 복소수가 직사각형 형태로 제공되는 경우, 숫자를 나누기 전에 극수로 변환하면 추가 단계가 있으므로 위와 같이 복소수 공액 법을 사용하여 직접 나눗셈을 수행하는 것이 좋습니다. 고려해야 할 또 다른 요소는 답을 직사각형 형태로 표시할지 극 / 지수 형태로 표시할지 여부입니다. 예를 들어 두 숫자가 직사각형 형태이지만 몫을 극좌표 형태로 원하면 즉시 변환 한 다음 나누는 것이 좋습니다.

이제 더 많은 수치 적 문제로 복소수의 사용을 설명하겠습니다. 늘 그렇듯이 우리는 TINA의 통역사를 사용하여 솔루션을 점검 할 것입니다. 통역사는 라디안과 함께 작동하지만 라디안을도 단위로 또는 그 반대로 변환하기위한 표준 기능을 제공합니다.

예제 1 극지 표현 찾기 :

z = 12 - j 48

또는 49.48 ∠ – 75.96 °

{TINA 통역사의 솔루션}
z : = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
아크 (z) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z)) = [- 75.9638]

#Python의 솔루션:
수학을 m으로 가져오기
cmath를 c로 가져오기

z=12-복합체(48j)
print("abs(z)=",abs(z))
print("arc(z)=",c.phase(z))
print("도(arc(z))=",m.degrees(c.phase(z)))

예제 2 직사각형 표현 찾기 :

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{TINA 통역사의 솔루션}
z : = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Python의 솔루션:
수학을 m으로 가져오기
cmath를 c로 가져오기

z=25*c.exp(복소수(0,m.라디안(125)))
인쇄("z=",z)
print("실제(z)=",z.real)
print(“imag(z)=”,z.imag)

예제 3 다음 복소수의 극좌표 표현을 찾습니다.

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

절대 값은 부호와 무관하므로 XNUMX 개의 숫자의 절대 값은 동일합니다. 각도 만 다릅니다.

{TINA 통역사의 솔루션}
z1 : = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
원호 (z1) = [1.3258]
radtodeg (호 (z1)) = [75.9638]

z2 : = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
호 (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z2)) = [- 75.9638]

z3 : = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
원호 (z3) = [1.8158]
radtodeg (호 (z3)) = [104.0362]

z4 : = - 12-j * 48 :
abs (z4) = [49.4773]
호 (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (arc (z4)) = [- 104.0362]

#Python의 솔루션:
수학을 m으로 가져오기
cmath를 c로 가져오기

z1=복소수('12+48j')
print("abs(z1)=",abs(z1))
print("arc(z1)=",c.phase(z1))
print("도(arc(z1))=",m.degrees(c.phase(z1)))

z2=복소수('12-48j')
print("abs(z2)=",abs(z2))
print("arc(z2)=",c.phase(z2))
print("도(arc(z2))=",m.degrees(c.phase(z2)))

z3=복소수('-12+48j')
print("abs(z3)=",abs(z3))
print("arc(z3)=",c.phase(z3))
print("도(arc(z3))=",m.degrees(c.phase(z3)))

z4=복소수('-12-48j')
print("abs(z4)=",abs(z4))
print("arc(z4)=",c.phase(z4))
print("도(arc(z4))=",m.degrees(c.phase(z4)))

TINA의 arc () 함수는 복소수의 각도를 결정하여 자동으로 XNUMX 사분면 중 하나에 정확하게 배치합니다.

그러나 황갈색을 사용하여 조심하십시오.^-1 각도를 찾는 함수입니다. 90 사분면과 XNUMX 사분면에서만 각도를 반환하도록 제한되어 있습니다 (–XNUMX °φ<90 °).

이후 z₁좌표계의 첫 번째 사분면에있는 경우 계산은 다음과 같습니다.

α₁ = 황갈색^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

이후 z₄좌표계의 제 3 사분면에 위치하고, tan^-1각도를 올바르게 반환하지 않습니다. 각도 계산은 다음과 같습니다.

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° 또는 -360 ° + 255.96 ° = – 104.04 °, TINA에서 계산 한 것과 동일합니다.

z₂좌표계의 네 번째 상한에 위치 각도 계산 :

α₂ = 황갈색^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3,그러나 좌표계의 2nd 사분면에 있으므로 tan^-1각도를 올바르게 반환하지 않습니다. 각도 계산은 다음과 같습니다.

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

예제 4 두 개의 복소수가 있습니다. z₁= 4 - j 6 및 z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

Find z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

먼저 TINA의 인터프리터를 사용하여 문제를 해결합니다.

{TINA 통역사의 솔루션}
z1 : = 4-j * 6;
z2 : = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3 : = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4 : = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5 : = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6 : = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

TINA가 다른 형태로 주어진 두 개의 복소수를 어떻게 쉽게 처리하는지 확인하십시오.

해석기가 없으면 해결책이 더 복잡합니다. 서로 다른 곱셈과 나눗셈 방법을 비교할 수 있도록 먼저 z₁ 직사각형의 z₂.