KOMPLEKSINIAI NUMERIAI

Spustelėkite arba Bakstelėkite toliau pateikiamas pavyzdžių grandines, kad galėtumėte naudoti TINACloud ir pasirinkti interaktyvųjį DC režimą, kad juos analizuotumėte internete.
Gaukite prieinamą prieigą prie „TINACloud“, kad galėtumėte redaguoti pavyzdžius arba sukurti savo grandines

MESH IR LOOP METODAI

PAPILDOMOSIOS ATIDARYMO PRINCIPAI

Šiame ir tolesniuose skyriuose pristatysime labai svarbią temą: AC arba kintamąją srovę. Pakaitinės srovės pavadinimas nėra labai tikslus ir paprastai apima grandines su sinusoidinėmis įtampomis ir srovėmis; tačiau kintama srovė taip pat gali reikšti bet kokią savavališką srovės bangą. Kintamosios srovės įtampa yra tokia, kad tokia įtampa naudojama pagrindiniam elektros energijos šaltiniui namuose ir pramonėje visame pasaulyje. Jis taip pat yra pagrindas daugeliui elektronikos, telekomunikacijų ir pramonės sričių.

Norėdami valdyti sinusoidines bangas ir su jais susijusias grandines, naudosime paprastą ir elegantišką metodą, vadinamą fazorių metodu. Fasoriai yra pagrįsti sudėtingų skaičių savybėmis, kurios idealiai tinka sinusoidiniams kiekiams. Šiame skyriuje apibendrinsime pagrindinius faktus apie sudėtingus skaičius ir jų operacijas. Taip pat parodysime, kaip „TINA“ vertėjas leidžia lengvai atlikti skaičiavimus su sudėtingais skaičiais.

Sudėtingus numerius sudaro dvi dalys: a tikra dalis (x), kuris yra tikrasis skaičius ir vadinamasis įsivaizduojama dalis (y), kuris yra realus skaičius, padaugintas iš , įsivaizduojamas vienetas. Komplekso numeris ztodėl galima apibūdinti kaip:

z = x + jy

kur .

Kompleksinių skaičių pavyzdžiai:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Kompleksiniai skaičiai iš pradžių buvo įvesti septynioliktame amžiuje, kad parodytų polinomų, kurie negalėjo būti pavaizduoti vien tikraisiais skaičiais, šaknis. Pavyzdžiui, lygties x šaknys²+ 2x + 2 = 0 galima apibūdinti tik kaip ir , arba naudodami žymėjimą , z₁= 1 + j ir z₂= 1- j. Naudodami naują žymėjimą išraiškų savybėms ištirti, matematikai sugebėjo įrodyti teoremas ir išspręsti problemas, kurias iki tol buvo sunku, o gal net neįmanoma išspręsti. Tai paskatino sukurti sudėtingas algebras ir sudėtingas funkcijas, kurios dabar plačiai naudojamos matematikoje ir inžinerijoje.

Kompleksinių skaičių geometrinis atvaizdavimas

Stačiakampė forma

Kadangi sudėtingas skaičius visada gali būti padalintas į tikrąsias ir sudėtines dalis, kompleksinį skaičių galime pavaizduoti kaip tašką dvimatėje plokštumoje. Realioji komplekso skaičiaus dalis yra taško projekcija į tikrąją ašį, o įsivaizduojama skaičiaus dalis yra projekcija į įsivaizduojamą ašį. Kai sudėtingas skaičius vaizduojamas kaip realiųjų ir įsivaizduojamųjų dalių suma, sakome, kad jis yra stačiakampio formos or algebrinė forma.

Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta komplekso numeris z = 2 + 4j

Poliarinė ir eksponentinė forma

Kaip matote iš aukščiau pateikto paveikslo, taškas A taip pat gali būti pavaizduotas rodyklės ilgiu, r (dar vadinama absoliučiąja verte, dydžiu ar amplitude) ir jo kampu (arba faze), φ santykinai prieš laikrodžio rodyklę teigiamos horizontaliosios ašies atžvilgiu. Tai yra poliarinis kompleksinio skaičiaus forma. Ji žymima kaip r ∠ φ.

Kitas žingsnis yra labai svarbus. Taip pat gali būti įrašytas kompleksinis skaičius poliarine forma eksponentinis forma:

Šis paprastas posakis išsiskiria tuo, kad eksponente jis turi įsivaizduojamą skaičių, o ne įprastą tikrąjį skaičių. Šis sudėtingas eksponentas su realiu argumentu elgiasi labai skirtingai nuo eksponentinės funkcijos. Kol e^x sparčiai auga didėjant x> 0, o x <0, funkcija mažėja turi tą patį dydį (z = 1) bet kuriam φ. Be to, sudėtingos jo vertės yra vieneto apskritime.

Eulerio formulė suteikia vieningą sąsają tarp kompleksinių skaičių stačiakampių, polinių ir eksponentinių formų:

z = x + jy = re ^jφ = r (cos φ + j nuodėmė φ )

kur

ir φ = įdegis^-1(y / x).

Mūsų pavyzdys z = 2 + 4j:

φ = įdegis^-1(4 / 2) = 63.4 °

todėl .

Arba atvirkščiai:

Priklausomai nuo programos, turėsite mokėti mokėti abi formas. Pavyzdžiui, sudėti ar atimti akivaizdžiai lengviau tai padaryti, kai skaičiai yra stačiakampio formos, tuo tarpu dauginti ir dalinti lengviau, kai skaičiai yra eksponentinės formos.

Operacijos su sudėtingais skaičiais

Operacijos, kurias galima atlikti naudojant sudėtingus skaičius, yra panašios į realiųjų skaičių operacijas. Toliau apibendrinamos taisyklės ir kai kurie nauji apibrėžimai.

Operacijos su j

Operacijos su j tiesiog vadovaukitės įsivaizduojamo vieneto apibrėžimu,

Kad galėtumėte dirbti greitai ir tiksliai, turėtumėte įsiminti šias taisykles:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Įrodymas:

j² = -1 tiesiog išplaukia iš , nuo

1 /j, dauginame 1 /jby j / j = 1 ir gauti j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Sudėtingas konjugatas

Kompleksinio skaičiaus sudėtingas konjugatas yra lengvai gaunamas ir gana svarbus. Norėdami gauti kompleksinio skaičiaus kompleksinį konjugatą stačiakampėje formoje, tiesiog pakeiskite įsivaizduojamos dalies ženklą. Norėdami tai padaryti skaičiui eksponentine forma, pakeiskite komplekso skaičiaus kampo ženklą, išlaikant jo absoliučią vertę.

Kompleksinio skaičiaus kompleksinis konjugatas z dažnai žymima z^*.

Atsižvelgiant į sudėtingą numerį z= a + jb, jo kompleksinis konjugatas yra z^*= a– jb.

If z pateikiama eksponentine forma, , jo kompleksinis konjugatas yra

Naudojant aukščiau pateiktus apibrėžimus, lengva matyti, kad sudėtingas skaičius, padaugintas iš kompleksinio konjugato, suteikia kompleksinio numerio absoliučios vertės kvadratą:

zz^* = r²= a^{2 +}b²

Be to, pridedant ar atimant bet kurį sudėtingą skaičių ir jo konjugatą, mes gauname tokius santykius:

z + z ^* = 2a

todėl

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Panašiai:

z - z ^* =j2b

todėl

Aš(z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Įrodymas:

ar dauginti realias ir įsivaizduojamas dalis ir naudoti j²= -1

zz^* = (a + jb) (a - jb) = a²+a jb - a jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = a + jb + a - jb = 2a

z - z^*= a + jb - a + jb =j2b

Skaitiniai pavyzdžiai:

Stačiakampio formos:

z = 3 + j4

z^* = 3– j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

Poliarine forma

z = 5 = 53.13 °

z ^* = 5 ~ 53.13 °

Eksponentine forma:

Sudėjimas ir atėmimas

Sudėtingų skaičių sudėjimas ir atėmimas yra paprastas - realias ir įsivaizduojamas dalis reikia sudėti tik atskirai. Pavyzdžiui, jei

z₁ = 3 - 4j ir z₂= 2 + 3j

tada

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Akivaizdu, kad šioms operacijoms turėtume naudoti stačiakampę formą. Jei skaičiai pateikiami eksponentine ar poliarine forma, pirmiausia turėtume juos paversti stačiakampiu, naudodami Eulerio formulę, kaip nurodyta anksčiau.

Daugyba

Yra du kompleksinių skaičių dauginimo metodai -

Sudėtinių skaičių, gautų stačiakampiais, dauginimas

Norėdami atlikti operaciją, tiesiog padauginkite realias ir įsivaizduojamas vieno skaičiaus dalis paeiliui iš realaus ir įsivaizduojamo kito skaičiaus ir naudokite tapatybę j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Kai sudėtiniai skaičiai pateikiami skaičiais, nebūtina naudoti pirmiau pateiktos formulės. Pavyzdžiui, leiskite

z₁ = 3 - 4j ir z₂= 2 + 3j

Su tiesioginiu komponentų dauginimu:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6-8j +9j + 12 = 18 + j

arba naudojant formulę: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ b₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Manome, kad, jei naudosite formulę, greičiausiai padarysite klaidą, nei jei tiesiogiai padauginsite komponentus.

{TINA vertėjo sprendimas}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Python sprendimas:
importuoti matematiką kaip m
importuoti cmath kaip c

z1 = kompleksas ('3-4j')
z2 = kompleksas ('2+3j')
spausdinti (“z1*z2=”,z1*z2)

Sudėtinių skaičių, gautų poline arba eksponentine forma, dauginimas

Kad atliktumėte šią operaciją, padauginkite absoliučių verčių ir pridėkite abiejų sudėtinių skaičių kampus. Leisti:

Tada naudokite eksponentinių funkcijų dauginimo taisyklę:

arba poliarine forma

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ φ₁+ φ₂

Pastaba: mes jau naudojome šią taisyklę apskaičiuojant zz ^*aukščiau. Kadangi konjugato kampas turi priešingą pradinio kampo ženklą, sudėtingas skaičius, padaugintas iš jo paties konjugato, visada yra realusis skaičius; būtent jos absoliučios vertės kvadratas: zz ^*= r²

Pavyzdžiui, leiskite:

z₁ = 5 ∠ 30 ° ir z₂ = 4 ∠ -60 °

tada

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

arba eksponentine forma

Dauginimas akivaizdžiai yra paprastesnis, kai numeriai yra poliariniai arba eksponentiniai.

Tačiau jei sudėtingieji skaičiai pateikiami stačiakampio pavidalu, turėtumėte apsvarstyti galimybę dauginti tiesiogiai, kaip parodyta aukščiau, nes prieš tai padauginus, skaičius į polinę formą konvertuoti reikia papildomų žingsnių. Kitas veiksnys, į kurį reikia atsižvelgti, yra tai, ar norite, kad atsakymai būtų stačiakampio ar polinio / eksponentinio pavidalo. Pvz., Jei du skaičiai yra stačiakampio formos, bet norėtumėte, kad jų produktas būtų poliarinės formos, prasminga juos nedelsiant konvertuoti ir padauginti.

skyrius

Yra du kompleksinių skaičių padalijimo metodai:

Sudėtingų numerių padalijimas stačiakampiu pavidalu

Norėdami atlikti operaciją, dauginkite skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio konjugato. Vardiklis tampa realiuoju skaičiumi, o padalijimas sumažinamas padauginus iš dviejų sudėtingų skaičių ir padalijus iš realaus skaičiaus, vardiklio absoliučiosios vertės kvadratas.

Pavyzdžiui, leiskite:

z₁ = 3 - 4j ir z₂= 2 + 3j

Patikrinkime šį rezultatą su TINA vertėjais:

{TINA vertėjo sprendimas}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Python sprendimas:
importuoti matematiką kaip m
importuoti cmath kaip c

z1 = kompleksas ('3-4j')
z2 = kompleksas ('2+3j')
spausdinti (“z1/z2=”,z1/z2)

Kompleksinių numerių, pateiktų poline arba eksponentine forma, padalijimas

Norėdami atlikti operaciją, suskirstykite absoliučias reikšmes (dydžius) ir atimkite vardiklio kampą nuo skaitytuvo kampo. Leisti:

tada naudojant eksponentinių funkcijų pasidalijimo taisyklę

arba poliarine forma

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Pavyzdžiui, leiskite:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° ir z ₂ = 2 ~ 60 °

tada

z ₁ / z₂ = 2.5 = 90 °

arba eksponentinėmis ir stačiakampėmis formomis

Patikrinkime šį rezultatą su TINA vertėjais:

{TINA vertėjo sprendimas}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Python sprendimas:
importuoti matematiką kaip m
importuoti cmath kaip c

z1=5*(c.exp(kompleksas(0,m.radianai(30))))
z2=2*(c.exp(kompleksas(0,m.radianai(-60))))
spausdinti (“z1/z2=”,z1/z2)

Padalinimas akivaizdžiai paprastesnis, kai skaičiai yra poliariniai arba eksponentiniai.

Tačiau jei kompleksiniai skaičiai pateikiami stačiakampio forma, turėtumėte apsvarstyti padalijimą tiesiogiai, naudodami kompleksinio konjugato metodą, kaip parodyta aukščiau, nes yra papildomų žingsnių, jei prieš padalijant skaičius į polinę formą, reikia atlikti papildomus veiksmus. Kitas veiksnys, į kurį reikia atsižvelgti, yra tai, ar norite, kad atsakymai būtų stačiakampio ar polinio / eksponentinio pavidalo. Pvz., Jei du skaičiai yra stačiakampio formos, bet norėtumėte, kad jų santykis būtų polinės formos, prasminga juos iškart konvertuoti ir tada padalyti.

Dabar leiskite mums iliustruoti sudėtingesnių skaičių naudojimą pagal daugiau skaitmeninių problemų. Kaip įprasta, mes patikrinsime savo sprendimus naudojant „TINA“ interpretatorių. Vertėjas dirba su radianais, tačiau turi standartines funkcijas radianams konvertuoti į laipsnius arba atvirkščiai.

Pavyzdys 1 Raskite polinį vaizdą:

z = 12 - j 48

arba 49.48 ∠ - 75.96 °

{TINA vertėjo sprendimas}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
lankas (z) = [- 1.3258]
radtodeg (lankas (z)) = [- 75.9638]

#Python sprendimas:
importuoti matematiką kaip m
importuoti cmath kaip c

z = 12 kompleksas (48j)
spausdinti („abs(z)=“,abs(z))
spausdinti ("arc(z)=",c.phase(z))
print(“laipsniai(arc(z))=”,m.degrees(c.phase(z)))

Pavyzdys 2 Raskite stačiakampį vaizdą:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{TINA vertėjo sprendimas}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Python sprendimas:
importuoti matematiką kaip m
importuoti cmath kaip c

z=25*c.exp(kompleksas(0,m.radianai(125)))
spausdinti („z=“,z)
spausdinti(“real(z)=”,z.real)
spausdinti (“imag(z)=”,z.imag)

Pavyzdys 3 Raskite šių sudėtingų skaičių poliarinį vaizdą:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Visų keturių skaičių absoliučiosios vertės yra vienodos, nes absoliuti reikšmė nepriklauso nuo ženklų. Tik kampai skiriasi.

{TINA vertėjo sprendimas}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
lankas (z1) = [1.3258]
radtodeg (lankas (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
lankas (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (lankas (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
lankas (z3) = [1.8158]
radtodeg (lankas (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
lankas (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (lankas (z4)) = [- 104.0362]

#Python sprendimas:
importuoti matematiką kaip m
importuoti cmath kaip c

z1 = kompleksas ('12+48j')
spausdinti („abs(z1)=“,abs(z1))
spausdinti("arc(z1)=",c.phase(z1))
print(“laipsniai(arc(z1))=”,m.degrees(c.phase(z1)))

z2 = sudėtingas ('12-48j')
spausdinti („abs(z2)=“,abs(z2))
spausdinti("arc(z2)=",c.phase(z2))
print(“laipsniai(arc(z2))=”,m.degrees(c.phase(z2)))

z3 = sudėtingas ('-12 + 48j')
spausdinti („abs(z3)=“,abs(z3))
spausdinti("arc(z3)=",c.phase(z3))
print(“laipsniai(arc(z3))=”,m.degrees(c.phase(z3)))

z4 = sudėtingas ('-12-48j')
spausdinti („abs(z4)=“,abs(z4))
spausdinti("arc(z4)=",c.phase(z4))
print(“laipsniai(arc(z4))=”,m.degrees(c.phase(z4)))

TINA lanko () funkcija nustato bet kokio sudėtingo skaičiaus kampą, automatiškai teisingai jį įvedant į vieną iš keturių kvadrantų.

Būkite atsargūs, naudodami įdegį^-1 funkcija kampui surasti, nes jis apsiriboja grįžtamaisiais kampais tik pirmame ir ketvirtame kvadrantuose (–90 °φ<90 °).

Nuo z₁yra pirmajame koordinačių sistemos kvadrante, apskaičiavimas yra:

α₁ = įdegis^-1(48 / 12) = įdegis^-1(4) = 75.96 °

Nuo z₄yra trečiojoje koordinačių sistemos kvadrate, įdegis^-1neteisingai grąžina kampą. Kampo skaičiavimas yra:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° arba -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, o tai yra tas pats, kaip apskaičiavo TINA.

z₂yra ketvirtame koordinačių sistemos kvadrante. Kampo skaičiavimas yra:

α₂ = įdegis^-1(-48 / 12) = įdegis^-1(-4) = -75.96 °

z_3,tačiau yra koordinačių sistemos „2nd“ kvadrante, todėl įdegis^-1neteisingai grąžina kampą. Kampo skaičiavimas yra:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Pavyzdys 4 Turime du sudėtingus numerius: z₁= 4 - j 6 ir z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

rasti z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Pirmiausia išsprendžiame problemą naudojant „TINA“ interpretatorių

{TINA vertėjo sprendimas}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Atkreipkite dėmesį į tai, kaip TINA lengvai valdo du skirtingų formų sudėtinius numerius.

Be vertėjo sprendimas yra sudėtingesnis. Kad galėtume palyginti skirtingus daugybos ir padalijimo metodus, pirmiausia nustatysime polinę formą z₁ ir stačiakampio formos z₂.