KOMPLEKSINIAI NUMERIAI

Spustelėkite arba Bakstelėkite toliau pateikiamas pavyzdžių grandines, kad galėtumėte naudoti TINACloud ir pasirinkti interaktyvųjį DC režimą, kad juos analizuotumėte internete.
Gaukite prieinamą prieigą prie „TINACloud“, kad galėtumėte redaguoti pavyzdžius arba sukurti savo grandines

Šiame ir tolesniuose skyriuose pristatysime labai svarbią temą: AC arba kintamąją srovę. Pakaitinės srovės pavadinimas nėra labai tikslus ir paprastai apima grandines su sinusoidinėmis įtampomis ir srovėmis; tačiau kintama srovė taip pat gali reikšti bet kokią savavališką srovės bangą. Kintamosios srovės įtampa yra tokia, kad tokia įtampa naudojama pagrindiniam elektros energijos šaltiniui namuose ir pramonėje visame pasaulyje. Jis taip pat yra pagrindas daugeliui elektronikos, telekomunikacijų ir pramonės sričių.

Norėdami valdyti sinusoidines bangas ir su jais susijusias grandines, naudosime paprastą ir elegantišką metodą, vadinamą fazorių metodu. Fasoriai yra pagrįsti sudėtingų skaičių savybėmis, kurios idealiai tinka sinusoidiniams kiekiams. Šiame skyriuje apibendrinsime pagrindinius faktus apie sudėtingus skaičius ir jų operacijas. Taip pat parodysime, kaip „TINA“ vertėjas leidžia lengvai atlikti skaičiavimus su sudėtingais skaičiais.

Sudėtingus numerius sudaro dvi dalys: a tikra dalis (x), kuris yra tikrasis skaičius ir vadinamasis įsivaizduojama dalis (y), kuris yra realus skaičius, padaugintas iš , įsivaizduojamas vienetas. Komplekso numeris ztodėl galima apibūdinti kaip:

z = x + jy

kur .

Kompleksinių skaičių pavyzdžiai:

z 1 = 1 + j

z 2 = 4-2 j

z 3 = 3- 5j

Kompleksiniai skaičiai iš pradžių buvo įvesti XVII amžiuje, kad atspindėtų polinomų šaknis, kurios negali būti pateikiamos tik realiais skaičiais. Pavyzdžiui, x lygties šaknys2 + 2x + 2 = 0 galima apibūdinti tik kaip ir , arba naudodami žymėjimą , z1= 1 + j ir z2= 1- j. Naudojant naują žymėjimą ištirti išraiškų savybes, matematikai sugebėjo įrodyti teoremas ir išspręsti problemas, kurios iki šiol buvo sunkios ar neįmanoma išspręsti. Dėl to buvo sukurtos sudėtingos algebros ir sudėtingos funkcijos, kurios dabar plačiai naudojamos matematikos ir inžinerijos srityse.

Kompleksinių skaičių geometrinis atvaizdavimas

Stačiakampė forma

Kadangi sudėtingas skaičius visada gali būti atskirtas į tikras ir sudėtingas dalis, mes galime atstovauti kompleksinį skaičių kaip tašką dvimatėje plokštumoje. Tikroji komplekso numerio dalis yra taško projekcija į tikrąją ašį, o įsivaizduojama skaičiaus dalis yra projekcija į vaizdinę ašį. Kai komplekso numeris yra pateikiamas kaip tikros ir įsivaizduojamos dalys, mes sakome, kad jis yra stačiakampio formos or algebrinė forma.


Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta komplekso numeris z = 2 + 4j

Poliarinė ir eksponentinė forma

Kaip matote iš aukščiau pateikto paveikslėlio, taškas A taip pat gali būti rodomas rodyklės ilgiu, r (taip pat vadinama absoliučia verte, dydžiu arba amplitude) ir jo kampu (arba faze), φ priešinga kryptimi teigiamai horizontaliai ašiai. Tai yra poliarinis sudėtinio numerio forma. Jis žymimas kaip r ∠ φ.

Kitas žingsnis yra labai svarbus. Taip pat gali būti įrašytas kompleksinis skaičius poliarine forma eksponentinis forma:

Ši paprasta išraiška pasižymi skiriamuoju požymiu, nes eksponente yra įsivaizduojamas skaičius, o ne įprastas realus skaičius. Šis kompleksinis eksponentinis vaidmuo labai skiriasi nuo eksponentinės funkcijos ir tikro argumento. Nors ex sparčiai didėja, kad padidėtų x> 0 ir sumažėtų x <0, funkcija bet kuris φ yra toks pat (z = 1). Be to, jos sudėtingos vertės yra vieneto apskritime.

Eulerio formulė suteikia vieningą sąsają tarp kompleksinių skaičių stačiakampių, polinių ir eksponentinių formų:

z = x + jy = re jφ = r (cos φ + j nuodėmė φ )

kur

ir φ = įdegis-1 (y / x).

Mūsų pavyzdys z = 2 + 4j:

φ = įdegis-1 (4 / 2) = 63.4 °

todėl .

Arba atvirkščiai:

Priklausomai nuo programos, jums reikės abiejų formų. Pavyzdžiui, papildymas ar atėmimas yra lengviau padaryti, kai numeriai yra stačiakampio formos, o dauginimas ir skaidymas yra lengviau padaryti, kai numeriai yra eksponentinės formos.

Operacijos su sudėtingais skaičiais

Operacijos, kurias galima atlikti su sudėtingais skaičiais, yra panašios į realaus skaičiaus operacijas. Toliau pateikiamos taisyklės ir kai kurios naujos apibrėžtys.

Operacijos su j

Operacijos su j tiesiog vadovaukitės įsivaizduojamo vieneto apibrėžimu,

Kad galėtumėte dirbti greitai ir tiksliai, turėtumėte įsiminti šias taisykles:

j 2 = -1

j 3 =-j

j 4 =1

1/j = -j

Įrodymas:

j2 = -1 tiesiog išplaukia iš , nuo

1 /j, dauginame 1 /jby j / j = 1 ir gauti j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Sudėtingas konjugatas

Kompleksinio skaičiaus sudėtingas konjugatas yra lengvai gaunamas ir gana svarbus. Norėdami gauti kompleksinio skaičiaus kompleksinį konjugatą stačiakampėje formoje, tiesiog pakeiskite įsivaizduojamos dalies ženklą. Norėdami tai padaryti skaičiui eksponentine forma, pakeiskite komplekso skaičiaus kampo ženklą, išlaikant jo absoliučią vertę.

Kompleksinio skaičiaus kompleksinis konjugatas z dažnai žymima z*.

Atsižvelgiant į sudėtingą numerį z= a + jb, jo kompleksinis konjugatas yra z*= a– jb.

If z pateikiama eksponentine forma, , jo kompleksinis konjugatas yra

Naudojant aukščiau pateiktus apibrėžimus, lengva matyti, kad sudėtingas skaičius, padaugintas iš kompleksinio konjugato, suteikia kompleksinio numerio absoliučios vertės kvadratą:

zz* = r2 = a2 + b2

Be to, pridedant ar atimant bet kurį sudėtingą skaičių ir jo konjugatą, mes gauname tokius santykius:

z + z * = 2a

todėl

Re (z) = a = ( z + z * ) / 2

Panašiai:

z - z * =j2b

todėl

Aš(z) = b = ( z -z * ) / 2j

Įrodymas:

ar dauginti realias ir įsivaizduojamas dalis ir naudoti j2= -1

zz* = (a + jb) (a - jb) = a2+a jb - a jb - jbjb = a2j2 = a2 + b2

z + z* = a + jb + a - jb = 2a

z - z*= a + jb - a + jb =j2b

Skaitiniai pavyzdžiai:

Stačiakampio formos:

z = 3 + j4

z* = 3– j4

zz * = 9 + 16 = 25

Poliarine forma

z = 5 ∠ 53.13 °

z * = 5 ∠- 53.13 °

Eksponentine forma:

Papildymas ir atimtis

Sudėtingų skaičių papildymas ir atėmimas yra paprastas - mes tik turime pridėti tikras ir įsivaizduojamas dalis atskirai. Pavyzdžiui, jei

z1 = 3 - 4j ir z2 = 2 + 3j

tada

z1 + z2 = 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z1 - z2 = 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Akivaizdu, kad šioms operacijoms turėtume naudoti stačiakampę formą. Jei numeriai pateikiami eksponentine arba poline forma, pirmiausia turėtume juos paversti stačiakampiais, naudojant Euler formulę, kaip nurodyta anksčiau.

Daugyba

Yra du sudėtingų skaičių daugybos metodai -

Sudėtinių skaičių, gautų stačiakampiais, dauginimas

Norėdami atlikti operaciją, paprasčiausiai padauginkite realių ir įsivaizduojamų vieno numerio dalių iš tikrųjų ir įsivaizduojamų kito numerio dalių ir naudokite tapatybę j2 = -1.

z1z2 = (a1 + jb1) (a2 + jb2) = a1 a2 + jb1a2+ jb2a1 - b1b2 = a1 a2- b1b2 + j(b1a2+ jb2a1)

Kai sudėtiniai skaičiai pateikiami skaičiais, nebūtina naudoti pirmiau pateiktos formulės. Pavyzdžiui, leiskite

z1 = 3 - 4j ir z2 = 2 + 3j

Su tiesioginiu komponentų dauginimu:

z1z2 = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6-8j +9j + 12 = 18 + j

arba naudojant formulę: z1z2 = a1 a2- b1b2 + j(b1a2+ b2a1)

z1z2 = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Manome, kad, jei naudosite formulę, greičiausiai padarysite klaidą, nei jei tiesiogiai padauginsite komponentus.

{TINA vertėjo sprendimas}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

Sudėtinių skaičių, gautų poline arba eksponentine forma, dauginimas

Kad atliktumėte šią operaciją, padauginkite absoliučių verčių ir pridėkite abiejų sudėtinių skaičių kampus. Leisti:

Tada naudokite eksponentinių funkcijų dauginimo taisyklę:

arba poliarine forma

z1 z2 = r1 r2 ∠ φ1 + φ2

Pastaba: mes jau naudojome šią taisyklę apskaičiuojant zz *aukščiau. Kadangi konjugato kampas turi priešingą pradinio kampo ženklą, kompleksinis skaičius, padaugintas iš savo konjugato, visada yra tikrasis skaičius; būtent jo absoliučios vertės kvadratas: zz * = r2

Pavyzdžiui, leiskite:

z1 = 5 ∠ 30 ° ir z2 = 4 ∠ -60 °

tada

z1z2 = 20 ∠ -30 °

arba eksponentine forma

Dauginimas akivaizdžiai yra paprastesnis, kai numeriai yra poliariniai arba eksponentiniai.

Tačiau, jei sudėtiniai skaičiai pateikiami stačiakampio formos, turėtumėte apsvarstyti galimybę dauginti tiesiogiai, kaip parodyta aukščiau, nes yra papildomų veiksmų, jei prieš dauginant juos į poliarinę formą. Kitas veiksnys, į kurį reikia atsižvelgti, yra tai, ar norite, kad atsakymai būtų stačiakampiai, ar poliariniai / eksponentiniai. Pvz., Jei abu numeriai yra stačiakampio formos, bet norėtumėte, kad jų produktas būtų poliarinis, tikslinga juos nedelsiant konvertuoti ir juos dauginti.

skyrius

Yra du sudėtingų skaičių padalijimo būdai -

Sudėtingų numerių padalijimas stačiakampiu pavidalu

Norėdami atlikti operaciją, skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš vardiklio konjugato. Pavaduotojas tampa tikruoju skaičiumi, o suskirstymas sumažinamas iki dviejų sudėtingų skaičių dauginimo ir padalijimo iš realaus skaičiaus, vardiklio absoliučios vertės kvadrato.


Pavyzdžiui, leiskite:

z1 = 3 - 4j ir z2 = 2 + 3j

Patikrinkime šį rezultatą su TINA vertėjais:

{TINA vertėjo sprendimas}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

Kompleksinių numerių, pateiktų poline arba eksponentine forma, padalijimas

Norėdami atlikti operaciją, suskirstykite absoliučias reikšmes (dydžius) ir atimkite vardiklio kampą nuo skaitytuvo kampo. Leisti:

tada naudojant eksponentinių funkcijų pasidalijimo taisyklę

arba poliarine forma

z 1 / z2 = r1 / r2 φ 1- φ 2

Pavyzdžiui, leiskite:

z 1 = 5 N 30 ° ir z 2 = 2 ∠ -60 °

tada

z 1 / z2 = 2.5 ∠ 90 °

arba eksponentinėmis ir stačiakampėmis formomis

Patikrinkime šį rezultatą su TINA vertėjais:

{TINA vertėjo sprendimas}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

Skyrius akivaizdžiai paprastesnis, kai numeriai yra poliariniai ar eksponentiniai.

Tačiau, jei sudėtiniai skaičiai pateikiami stačiakampio formos, turėtumėte apsvarstyti galimybę atlikti padalijimą tiesiogiai naudojant kompleksinį konjugato metodą, kaip parodyta aukščiau, nes yra papildomų veiksmų, jei numerius pakeisite prieš poliarinę formą prieš juos padalijus. Kitas veiksnys, į kurį reikia atsižvelgti, yra tai, ar norite, kad atsakymai būtų stačiakampiai, ar poliariniai / eksponentiniai. Pavyzdžiui, jei abu numeriai yra stačiakampio formos, bet norėtumėte, kad jų koeficientas būtų poliarinis, prasminga juos konvertuoti iš karto ir tada juos padalinti.

Dabar leiskite mums iliustruoti sudėtingesnių skaičių naudojimą pagal daugiau skaitmeninių problemų. Kaip įprasta, mes patikrinsime savo sprendimus naudojant „TINA“ interpretatorių. Vertėjas dirba su radianais, tačiau turi standartines funkcijas radianams konvertuoti į laipsnius arba atvirkščiai.

Pavyzdys 1 Raskite polinį vaizdą:

z = 12 - j 48

arba 49.48 ∠ - 75.96 °

{TINA vertėjo sprendimas}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
lankas (z) = [- 1.3258]
radtodeg (lankas (z)) = [- 75.9638]

Pavyzdys 2 Raskite stačiakampį vaizdą:

z = 25 e j 125 °

{TINA vertėjo sprendimas}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

Pavyzdys 3 Raskite šių sudėtingų skaičių poliarinį vaizdą:

z 1 = 12 + j 48 z2 = 12 - j48 z3= -12 + j 48 z4= -12 - j 48

Visų keturių skaičių absoliučios vertės yra vienodos, nes absoliuti vertė nepriklauso nuo žymenų. Tik skirtingi kampai.

{TINA vertėjo sprendimas}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
lankas (z1) = [1.3258]
radtodeg (lankas (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
lankas (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (lankas (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
lankas (z3) = [1.8158]
radtodeg (lankas (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
lankas (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (lankas (z4)) = [- 104.0362]

TINA lanko () funkcija nustato bet kurio komplekso skaičiaus kampą, automatiškai jį teisingai įdedant į vieną iš keturių kvadrantų.

Būkite atsargūs, naudodami įdegį-1 funkcija, kad būtų galima rasti kampą, nes jis apsiriboja tik pirmojo ir ketvirtojo ketvirčio grįžimo kampais (–90 ° <φ<90 °).

Nuo z1 yra pirmajame koordinačių sistemos kvadrante, apskaičiavimas yra:

α 1 = įdegis-1(48 / 12) = įdegis-1(4) = 75.96 °

Nuo z4 yra trečiojoje koordinačių sistemos kvadrate, įdegis-1neteisingai grąžina kampą. Kampo skaičiavimas yra:

α 4 = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° arba -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, tai yra tas pats, kurį apskaičiavo TINA.

z2 yra ketvirtame koordinačių sistemos kvadrante. Kampo skaičiavimas yra:

α 2 = įdegis-1(-48 / 12) = įdegis-1(-4) = -75.96 °

z3, tačiau yra koordinačių sistemos „2nd“ kvadrante, todėl įdegis-1 neteisingai grąžina kampą. Kampo skaičiavimas yra:

α 3 = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Pavyzdys 4 Turime du sudėtingus numerius: z1= 4 - j 6 ir z2 = 5 ej45 ° .

rasti z3 = z1 + z2; z4 = z1 - z2; z5 = z1 * z2; z6 = z1 / z2

Pirmiausia išsprendžiame problemą naudojant „TINA“ interpretatorių

{TINA vertėjo sprendimas}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Atkreipkite dėmesį į tai, kaip TINA lengvai valdo du skirtingų formų sudėtinius numerius.

Sprendimas yra sudėtingesnis be vertėjo. Kad galėtume palyginti skirtingus dauginimo ir pasidalijimo metodus, pirmiausia nustatysime polinę formą z1 ir stačiakampio formos z2 .

Toliau surandame keturis sprendimus, naudodami pirmiausia lengviausias formas: stačiakampius, kad pridėtumėte ir atimkite, ir dauginant ir dalinant:

z 3 = z1 + z2 = 4 - j 6 + 3.535 + j 3.535 = 7.535 - j2.465

z 4 = z1 - z2 = 4 - j 6 - 3.535 - j 3.535 = 0.465 - j9.535

z 5 = z1 * z2 = 7.21 * 5 * ej(-56.31 ° + 45 °) = 36.05 e -j11.31 ° = 36.03 * (cos (-11.31 °) +)j* nuodėmė (-11.31 °))

z 5 = 35.33 - j 7.07

z 6 = z1/z2= (7.21 / 5) * e j (-56.31 ° -45 °) = 1.442 e - j 101.31 ° = 1.442 (cos (-101.31 °) +)j* nuodėmė (-101.31 °))

z 6 = -0.2828 - j 1.414

kurie sutinka su TINA vertėjo gautais rezultatais.

Dauginimas atliekamas stačiakampio formos:

z 5 =z1*z2 = (4-j6) * 3.535 * (1 +j) = 7.07 * (2-j3) * (1 +j) = 7.07 * (2-j3+j2 + 3) = 7.07 * (5-j) = 35.35-j7.07

Galiausiai padalinys atliekamas stačiakampio formos:

kurie sutinka su ankstesniais rezultatais.

X
Sveiki atvykę į „DesignSoft“
Leidžia kalbėtis, jei reikia pagalbos ieškant tinkamo produkto ar reikia palaikymo.
„wpChatIcon“