COMPLEX NUMBERS

TINACloud-ыг дуудахын тулд Доор жишээ үсгийг товшоод, Интерактив Десктоп руу Интерактив DC горимыг сонгоно уу.
Жишээ засах буюу өөрийн хэлхээ үүсгэхийн тулд TINACloud-д хямд өртөгтэй хандах

MESH ба LOOP CURRENT арга

АЖИЛЛАГААНЫ АЖЛЫН ЗАРЧМУУД

Энэ болон дараах бүлгүүдэд бид маш чухал сэдвийг танилцуулах болно. Хувьсах гүйдэл нэр нь маш нарийн биш бөгөөд голдуу sinusoidal хүчдэл ба гүйдэлтэй хэлхээг хамардаг; Гэхдээ ороомгийн гүйдэл нь дурын гүйдлийн долгионыг хэлнэ. АС хүчдэлийн ач холбогдол нь энэ төрлийн хүчдэлийг дэлхий даяар байрлах орон сууц, үйлдвэрлэлийн гол цахилгааны эх үүсвэрт ашигладаг. Энэ нь олон тооны электроник, харилцаа холбоо, аж үйлдвэрийн хэрэглээний үндэс суурь юм.

Синусоид долгион ба тэдгээртэй холбоотой хэлхээтэй ажиллахын тулд бид фазорын аргыг хэрэглэдэг энгийн, дэгжин арга хэрэглэнэ. Phasors нь нарийвчлалтай тоонуудын шинж чанар дээр тулгуурладаг бөгөөд энэ нь sinusoidal тоо хэмжээг илэрхийлэхэд тохиромжтой. Энэ бүлэгт цогцолбор тоо болон тэдгээрийн үйл ажиллагааны талаарх үндсэн баримтуудыг товчхон харуулах болно. Мөн TINA-ийн тайлбарлагч нь нарийн тооны тоогоор тооцоолоход хялбар байх болно.

Complex numbers нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ бодит хэсэг (x), Энэ нь бодит тоонууд, мөн ийм нэртэй төсөөлөлтэй хэсэг (y), бодит тоогоор үржүүлсэн тоо , төсөөлөлтэй нэгж. Цогцолбор тоо zТиймээс дараахь байдлаар тодорхойлж болно:

z = x + jy

хаана .

Тооцоолсон тооны жишээ:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Нийлмэл тоонууд нь XVII зуунд анх бодит тоонуудаар илэрхийлэгдэх боломжгүй олон тооны үндэстнүүдийн үндэсийг анх танилцуулж байжээ. Жишээлбэл, х тэгшитгэлийн үндэс²+ 2x + 2 = 0 нь зөвхөн болон , эсвэл тэмдэглэгээг ашиглана уу , z₁= 1 + j болон z₂= 1- j. Өргөтгөлийн шинж чанарыг судлахын тулд шинэ тэмдэглэгээг ашиглан математикчид онолын нотолгоо гаргаж, тэр үед шийдэх боломжгүй байсан бол хэцүү байсан асуудлыг шийдэж чадсан. Энэ нь одоо математик, инженерчлэлд өргөн хэрэглэгддэг нарийн төвөгтэй алгебр, нарийн төвөгтэй функцийг боловсруулахад хүргэсэн.

Төгссөн тооны геометрийн дүрслэл

Тэгш өнцөгтийн хэлбэр

Цогц тоог үргэлж бодит, нарийн хэсгүүдэд нь салгаж чаддаг тул бид хоёр хэмжээст хавтгайд цэг болгон цогцолбор тоог илэрхийлж чадна. Цогцолбор тооны бодит хэсэг нь цэгийн бодит тэнхлэгт, проекцийн тэнхлэг дээрх төсөөлөл нь хуурамч тэнхлэг дээрх төсөөлөл юм. Хэрэв цогц тоог бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийн нийлбэрээр илэрхийлэх юм бол бид дотор байна гэж хэлдэг тэгш өнцөгт or алгебрийн хэлбэр.

Дараах зураг нь цогц тоог харуулж байна z = 2 + 4j

Цагаан ба экспоненциал хэлбэр

Дээрх зурагнаас харахад А цэгийг сумны уртаар илэрхийлж болно. r (мөн үнэмлэхүй утга, хэмжээ эсвэл далайц гэж нэрлэдэг) ба түүний өнцөг (эсвэл үе шат), φ харьцангуйгаар цагийн зүүний эсрэг чиглэлд эерэг хэвтээ тэнхлэгт байрлуулна. Энэ бол туйлын нийлмэл тооны хэлбэр. Үүнийг r ∠ гэж тэмдэглэнэ φ.

Дараагийн алхам нь маш чухал юм. Цагаан туйлын төвөгтэй тоог бичиж болно экспоненциал хэлбэр:

Энгийн бодит илэрхийлэл нь ердийн бодит тооноос биш экспонент дотор төсөөллийн тоотой байдаг нь онцлог юм. Энэхүү нарийн төвөгтэй экспоненциал зан нь экспоненциал функцээс бодит аргументыас эрс өөр юм. Байхад e^x x> 0-ийг нэмэгдүүлэхийн тулд хурдтай өсч, функц болох x <0-ийн хувьд буурдаг ямар ч φ хувьд ижил хэмжээтэй (z = 1) байна. Цаашилбал, түүний цогц утгууд нь нэгжийн тойрог дээр байрладаг.

Euler-ийн томьёолол нь тэгш тоонууд, туйлт, дэлгэрэнгүй хэлбэрийн нийлмэл хэлбэрүүдийн хоорондын холбоосыг нэгтгэдэг.

z = x + jy = дахин ^jφ = r (cos φ + j ямар ч φ )

хаана

болон φ = tan^-1(y / x).

Дээрх жишээний хувьд, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1(4 / 2) = 63.4 °

Тиймээс .

Эсвэл эсрэгээр:

Өргөдөлөөс хамааран та хоёуланг нь хоёуланг нь ашиглаж байхдаа сайшаалтай байх хэрэгтэй. Жишээлбэл, тоонууд нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байх тохиолдолд нэмэх, хасах нь илүү хялбар байдаг бол тоонууд экспоненциал хэлбэрээр байх тохиолдолд үржүүлэх, хуваах нь илүү хялбар байдаг.

Нарийн тоо бүхий үйл ажиллагаа

Цогц тоогоор хийж болох үйлдлүүд нь бодит тоонуудтай ижил төстэй юм. Дүрэм болон зарим шинэ тодорхойлолтыг доор харуулав.

Ж

Үйл ажиллагаа j зүгээр л төсөөллийн нэгжийн тодорхойлолтоос,

Хурдан, үнэн зөв ажиллах чадвартай байхын тулд дараах дүрмийг цээжлэх хэрэгтэй:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Баталгаа:

j² = -1 нь зөвхөн хойш

1 /j, бид 1 /jby j / j = 1 ба get j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Complex conjugate

Нарийн төвөгтэй тооны нийлмэл холбоо нь амархан үүсдэг бөгөөд маш чухал юм. Тэгш өнцөгт хэлбэртэй нарийн төвөгтэй тооны холимог хавтгайг олж авахын тулд зөвхөн төсөөллийн хэсгийг тэмдэглэ. Экспоненцийн хэлбэрээр тоогоор хийхийн тулд туйлын утгыг хэвээр байлгахын тулд төвөгтэй тооны өнцгийн тэмдэгийг өөрчлөх хэрэгтэй.

Нарийн төвөгтэй тооны нарийн төвөгтэй холбоос z нь ихэвчлэн z^*.

Тооцоолсон тоогоороо z= a + jб, түүний нийлмэл конвеци нь z^*= a- jb.

If z экспоненциал хэлбэрээр, , түүний цогцолбор холбоо нь

Дээрх тодорхойлолтуудыг ашиглах нь нарийн төвөгтэй тоо нь нарийн төвөгтэй контактаар үржүүлж байгаа нь төвөгтэй тооны абсолют тоон утгын квадратыг харуулж байна:

zz^* = r²= a^{2 +}b²

Түүнчлэн, ямар нэгэн нарийн төвөгтэй тоо болон түүний холбоосыг нэмж эсвэл хасах замаар дараах харилцааг авна.

z + z ^* = 2a

Тиймээс

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Үүний нэгэн адил:

z - z ^* =j2b

Тиймээс

Im (z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Баталгаа:

эсвэл бодит болон төсөөлөн хэсгүүдийг үржүүлж, ашиглах j²= -1

zz^* = (a + jb) (a - jb) = a²+a jб - а jб - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = a + jb + a - jb = 2a

z - z^*= a + jb - a + jb =j2b

Тоон үлгэр жишээ:

Тэгш өнцөгт хэлбэрээр:

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

Цагаан туйл хэлбэрээр

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠- 53.13 °

Экспоненциал хэлбэрээр:

Нэмэлт ба хасах зүйл

Цогц тоонуудыг нэмэх, хасах нь шууд юм - бид зөвхөн бодит болон төсөөлөлтэй хэсгийг тусад нь нэмэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, хэрэв

z₁ = 3 - 4j болон z₂= 2 + 3j

дараа нь

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Мэдээжийн хэрэг бид эдгээр үйлдлүүдэд тэгш өнцөгт хэлбэрийг ашиглах хэрэгтэй. Хэрэв тоонууд экспоненциаль буюу туйлширсан хэлбэрээр өгөгдсөн бол бид өмнө нь өгсний дагуу Эйлерийн томъёог ашиглан тэгш өнцөгт хэлбэртэй болгож хувиргах хэрэгтэй.

Үржүүлэх

Нийлмэл тоог үржүүлэх хоёр арга байдаг -

Тэгш өнцөгт хэлбэрээр өгөгдсөн нарийн тооны тоог олшруулах

Үйл ажиллагааг гүйцэтгэхийн тулд зөвхөн нэг тооны бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг өөр тооны бодит болон төсөөллийн хэсгүүдээр сольж үржингээ ашиглана уу j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - б₁b₂ = a₁ a₂- б₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Тооцоолсон тоог тоон дээр өгөгдсөн тохиолдолд дээрх томъёог ашиглах шаардлагагүй. Жишээ нь:

z₁ = 3 - 4j болон z₂= 2 + 3j

Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн шууд үржлээр:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

эсвэл томъёог ашиглана: z₁z₂ = a₁ a₂- б₁b₂+ j(b₁a₂+ b₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Хэрэв та томъёог ашиглан томъёог шууд үржүүлснээс илүү томъёог ашиглах бол алдаа гаргах магадлалтай гэж бид боддог.

{TINA-ийн Орчуулагчийн шийдэл}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Python-ийн шийдэл:
математикийг m болгон импортлох
c

z1=цогцолбор('3-4j')
z2=цогцолбор('2+3j')
хэвлэх(“z1*z2=”,z1*z2)

Цагаан туйл эсвэл экспоненциал хэлбэрээр өгөгдсөн цогц тоонуудын давтамжийг үржүүлэх

Энэ үйлдлийг гүйцэтгэхийн тулд үнэмлэхүй утгыг үржүүлэх ба хоёр цогц тооны өнцгийг нэмнэ. Бодол:

Дараа нь экспоненциал функцын үржүүлгийн дүрмийг ашиглана:

эсвэл туйлын хэлбэрээр

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ φ₁+ φ₂

Тайлбар: Бид тооцоолж байх үед энэ дүрмийг аль хэдийн хэрэглэж байсан zz ^*дээрх. Конюгатын өнцөг нь анхны өнцгийн эсрэг тэмдэгтэй байдаг тул өөрийн коньюгатын тоогоор үржүүлсэн цогц тоо нь үргэлж бодит тоо байх болно; тухайлбал, үнэмлэхүй утгын квадрат нь: zz ^*= r²

Жишээ нь:

z₁ = 5 ∠ 30 ° ба z₂ = 4 ∠ -60 °

дараа нь

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

эсвэл экспоненциал хэлбэрээр

Тоо нь туйл эсвэл экспоненциал хэлбэрээр байгаа үед үржих нь илэрхий хялбар байдаг.

Гэхдээ цогц тоонуудыг тэгш өнцөгт хэлбэрээр өгвөл та үржвэрийг шууд харуулсны дагуу шууд авч үзэх хэрэгтэй. Учир нь тоонуудыг үржүүлэхээс өмнө туйлширсан хэлбэрт хөрвүүлбэл нэмэлт алхамууд байдаг. Өөр нэг анхаарах зүйл бол хариултыг тэгш өнцөгт хэлбэрээр эсвэл поляр / экспоненциал хэлбэрээр өгөхийг хүсч байгаа юм. Жишээлбэл, хэрэв хоёр тоо тэгш өнцөгт хэлбэртэй боловч та тэдгээрийн бүтээгдэхүүнийг туйл хэлбэртэй байлгахыг хүсч байвал тэдгээрийг шууд хөрвүүлээд дараа нь үржүүлэх нь утга учиртай болно.

хэлтэс

Нийлмэл тоонуудыг хуваах хоёр арга байдаг -

Тэгш өнцөгт хэлбэрээр нарийн төвөгтэй тоог хуваах

Үйл ажиллагааг гүйцэтгэхийн тулд тоологч ба нэршүүлэгчийг дүрмийн нийлбэрээр үржүүлнэ. Нэр бол бодит тоо болж хуваагдлыг хоёр цогц тоогоор үржүүлэх ба хуваагчийг үнэмлэхүй үнэ цэнийн квадрат болгон бодит тоогоор үржүүлнэ.

Жишээ нь:

z₁ = 3 - 4j болон z₂= 2 + 3j

TINA-ийн орчуулагчийн үр дүнг шалгая:

{TINA-ийн Орчуулагчийн шийдэл}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Python-ийн шийдэл:
математикийг m болгон импортлох
c

z1=цогцолбор('3-4j')
z2=цогцолбор('2+3j')
хэвлэх(“z1/z2=”,z1/z2)

Цагаан туйл болон экспоненциал хэлбэрээр нарийн төвөгтэй тоог хуваах

Үйл ажиллагааг гүйцэтгэхийн тулд абсолют утгыг (томьёо) хуваагаад тоон утгын өнцөгөөс хуваарилагчийн өнцгийг хасна. Бодол:

дараа нь экспоненциал функцуудыг хуваах дүрмийг ашиглана

эсвэл туйлын хэлбэрээр

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Жишээ нь:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° ба z ₂ = 2 ∠ -60 °

дараа нь

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

эсвэл экспоненциал болон тэгш өнцөгт хэлбэрээр

TINA-ийн орчуулагчийн үр дүнг шалгая:

{TINA-ийн Орчуулагчийн шийдэл}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Python-ийн шийдэл:
математикийг m болгон импортлох
c

z1=5*(c.exp(комплекс(0,м.радиан(30))))
z2=2*(c.exp(комплекс(0,м.радиан(-60))))
хэвлэх(“z1/z2=”,z1/z2)

Тоонууд нь туйлширсан эсвэл экспоненциал хэлбэртэй байвал хэлтэс нь илүү хялбар байдаг.

Гэхдээ цогц тоонуудыг тэгш өнцөгт хэлбэрээр өгвөл та хуваагдлыг нарийн төвөгтэй конюгатын аргыг ашиглан дээр нь харуулсны дагуу шууд хийх хэрэгтэй. Учир нь тоонуудыг хуваахаасаа өмнө туйлширсан хэлбэрт хөрвүүлбэл нэмэлт алхамууд хийгдэх болно. Өөр нэг анхаарах зүйл бол хариултыг тэгш өнцөгт хэлбэрээр эсвэл поляр / экспоненциал хэлбэрээр өгөхийг хүсч байгаа юм. Жишээлбэл, хэрэв хоёр тоо тэгш өнцөгт хэлбэртэй байгаа бол та тэдгээрийн тоон утгыг туйлширмаар байвал тэдгээрийг шууд хөрвүүлээд дараа нь хуваах нь утга учиртай болно.

Одоо илүү нарийн тооны асуудлаар цогц тоонуудын хэрэглээг тайлбарлая. Ердийн үед бид TINA-ийн орчуулагч ашиглан бидний шийдлийг шалгана. Орчуулагч нь радиануудтай ажилладаг боловч радиусыг градусыг градус эсвэл зэрэглэлд шилжүүлэх стандарт функцтай байдаг.

Жишээ 1 Цагаан тугийн төлөөллийг олох нь:

z = 12 - j 48

эсвэл 49.48 ∠ - 75.96 °

{TINA-ийн Орчуулагчийн шийдэл}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
Arc (z) = [- 1.3258]
radtodeg (нуман (z)) = [75.9638]

#Python-ийн шийдэл:
математикийг m болгон импортлох
c

z=12-цогцолбор(48j)
хэвлэх(“abs(z)=”,abs(z))
хэвлэх(“arc(z)=”,c.phase(z))
хэвлэх(“зэрэг(нуман(z))=”,м.зэрэг(c.үе(z))))

Жишээ 2 Тэгш өнцөгт дүрслэлийг олно уу:

z = 25 е ^j¹²⁵ ^°

{TINA-ийн Орчуулагчийн шийдэл}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Python-ийн шийдэл:
математикийг m болгон импортлох
c

z=25*c.exp(комплекс(0,м.радиан(125)))
хэвлэх(“z=”,z)
хэвлэх("real(z)=",z.real)
хэвлэх("imag(z)=",z.imag)

Жишээ 3 Дараах цогц тоонуудын туйлт төлөөллийг олох нь:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Абсолют утга нь тэмдгээс хамааралгүй тул бүх дөрвөн тооны үнэмлэхүй утга ижил байна. Зөвхөн өнцгүүд нь ялгаатай.

{TINA-ийн Орчуулагчийн шийдэл}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
Arc (z1) = [1.3258]
radtodeg (нуман (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
нуман (z2) = [1.3258]
radtodeg (нуман (z2)) = [75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
Arc (z3) = [1.8158]
radtodeg (нуман (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
нуман (z4) = [1.8158]
radtodeg (нуман (z4)) = [104.0362]

#Python-ийн шийдэл:
математикийг m болгон импортлох
c

z1=цогцолбор('12+48j')
хэвлэх(“abs(z1)=”,abs(z1))
хэвлэх(“arc(z1)=”,c.phase(z1))
хэвлэх(“зэрэг(нуман(z1))=”,м.зэрэг(c.үе(z1)))

z2=цогцолбор('12-48j')
хэвлэх(“abs(z2)=”,abs(z2))
хэвлэх(“arc(z2)=”,c.phase(z2))
хэвлэх(“зэрэг(нуман(z2))=”,м.зэрэг(c.үе(z2)))

z3=цогцолбор('-12+48j')
хэвлэх(“abs(z3)=”,abs(z3))
хэвлэх(“arc(z3)=”,c.phase(z3))
хэвлэх(“зэрэг(нуман(z3))=”,м.зэрэг(c.үе(z3)))

z4=цогцолбор('-12-48j')
хэвлэх(“abs(z4)=”,abs(z4))
хэвлэх(“arc(z4)=”,c.phase(z4))
хэвлэх(“зэрэг(нуман(z4))=”,м.зэрэг(c.үе(z4)))

TINA-ийн нуман () функц нь ямар ч нарийн төвөгтэй тооны өнцгийг тодорхойлж, дөрвөн квадрататын аль нэгэнд автоматаар зөв байрлуулна.

Гэхдээ tan ашиглах нь болгоомжтой байгаарай^-1 өнцгийг олох функц, учир нь зөвхөн эхний ба дөрөвдүгээр квадратад буцаах өнцөг хязгаарлагдана (–90 °)φ<90 °).

оноос хойш z₁координатын системийн эхний квадратад байрлана. Тооцоолол нь:

α₁ = tan^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

оноос хойш z₄нь координатын системийн гурав дахь квартанд байрладаг^-1өнцөгийг зөвөөр буцаахгүй. Тойргийн тооцоо нь:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° эсвэл -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, энэ нь TINA-ийн тооцоолсонтой ижил байна.

z₂координатын системийн дөрөв дэх квадратад байрладаг өнцгийн тооцоо:

α₂ = tan^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3,Гэсэн хэдий ч координатын 2 квадратад байдаг, тиймээс^-1зөв өнцгөөр буцаахгүй. Тойргийн тооцоо нь:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Жишээ 4 Бид хоёр цогц тоонуудтай: z₁= 4 - j 6 ба z₂ = 5 е^j⁴⁵ ^° .

хай z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Эхлээд бид TINA-ийн орчуулагчийг ашиглан асуудлыг шийдсэн

{TINA-ийн Орчуулагчийн шийдэл}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

TINA өөр өөр хэлбэрээр өгсөн нарийн төвөгтэй хоёр тооны асуудлыг хэрхэн яаж зохицуулж байгааг ажиглаарай.

Шийдэл нь орчуулагчгүйгээр илүү төвөгтэй байдаг. Үржүүлэх, хуваах янз бүрийн аргуудыг харьцуулж үзэхийн тулд бид эхлээд туйлын хэлбэрийг тодорхойлно z₁ болон тэгш өнцөгт хэлбэр z₂.