NOMBOR KOMPLEKS

Klik atau Ketik litar Contoh di bawah untuk memanggil TINACloud dan pilih mod Interaktif DC untuk Menganalisisnya dalam Talian.
Dapatkan akses kos rendah ke TINACloud untuk mengedit contoh atau membuat litar anda sendiri

KAEDAH MESH DAN LOOP KAEDAH SEMASA

PRINSIP ALAMAT ALTERNATIF

Dalam bab ini dan bab-bab berikut, kami akan membentangkan topik yang sangat penting: AC, atau Alternating Current. Nama arus berselang tidak tepat dan biasanya meliputi litar dengan voltan sinusoidal dan arus; Walau bagaimanapun, arus bolak balik juga boleh bermakna sebarang bentuk gelombang arus sewenang-wenangnya. Pentingnya voltan AC ialah voltan jenis ini digunakan untuk sumber kuasa elektrik utama di rumah dan industri di seluruh dunia. Ia juga menjadi asas bagi banyak aplikasi elektronik, telekomunikasi, dan perindustrian.

Untuk mengendalikan bentuk sinusoidal dan litar yang berkaitan dengannya, kami akan menggunakan kaedah yang ringkas dan elegan yang dikenali sebagai kaedah phasors. Phasors adalah berdasarkan sifat-sifat nombor kompleks, yang sesuai untuk mewakili kuantiti sinusoidal. Dalam bab ini, kita akan merumuskan fakta-fakta utama mengenai nombor kompleks dan operasi mereka. Kami juga akan menunjukkan bagaimana Interpreter TINA memudahkan pengiraan dengan nombor kompleks.

Nombor kompleks terdiri daripada dua bahagian, a bahagian sebenar (x), yang merupakan nombor sebenar, dan yang dipanggil bahagian khayalan (y), yang merupakan bilangan sebenar yang didarab dengan , unit khayalan. Nombor kompleks z, oleh itu, boleh digambarkan sebagai:

z = x + jy

di mana .

Contoh nombor kompleks:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Nombor kompleks pada awalnya diperkenalkan pada abad ketujuh belas untuk mewakili akar polinomial yang tidak dapat diwakili dengan nombor nyata sahaja. Contohnya, punca persamaan x²+ 2x + 2 = 0 hanya boleh digambarkan sebagai and , atau menggunakan notasi itu , z₁= 1 + j and z₂= 1- j. Dengan menggunakan notasi baru untuk menyiasat sifat-sifat ungkapan, ahli matematik dapat membuktikan teorema dan menyelesaikan masalah yang hingga saat itu sukar atau tidak mustahil untuk diselesaikan. Ini menyebabkan penjelasan algebra kompleks dan fungsi kompleks, yang kini banyak digunakan dalam matematik dan kejuruteraan.

Perwakilan geometri nombor kompleks

Bentuk segi empat

Oleh kerana nombor kompleks selalu dapat dipisahkan menjadi bahagiannya yang nyata dan kompleks, kita dapat mewakili nombor kompleks sebagai titik pada satah dua dimensi. Bahagian sebenar nombor kompleks adalah unjuran titik ke paksi sebenar, dan bahagian khayalan nombor adalah unjuran ke paksi khayalan. Apabila nombor kompleks dilambangkan sebagai jumlah bahagian nyata dan khayalan, kita mengatakannya ada segi empat tepat or bentuk algebra.

Angka berikut menunjukkan nombor kompleks z = 2 + 4j

Bentuk kutub dan eksponen

Seperti yang anda lihat dari gambar di atas, titik A juga dapat ditunjukkan dengan panjang anak panah, r (juga disebut nilai mutlak, magnitud, atau amplitud), dan sudut (atau fasa), φ relatif dalam arah lawan jam ke paksi mendatar positif. Ini adalah kutub bentuk nombor kompleks. Ia dilambangkan sebagai r ∠ φ.

Langkah seterusnya adalah sangat penting. Nombor kompleks dalam bentuk kutub juga boleh ditulis dalam eksponen bentuk:

Ungkapan sederhana ini khas kerana ia mempunyai nombor khayalan dalam eksponen dan bukan nombor nyata yang biasa. Eksponen kompleks ini berperilaku sangat berbeza dengan fungsi eksponensial dengan hujah yang nyata. Semasa e^x tumbuh dengan cepat dalam magnitud untuk peningkatan x> 0 dan penurunan untuk x <0, fungsi mempunyai magnitud yang sama (z = 1) untuk sebarang φ. Tambahan pula, nilai kompleksnya terletak pada bulatan unit.

Formula Euler menyediakan pautan pemersatu antara bentuk kompleks segi empat, kutub, dan eksponen yang kompleks:

z = x + jy = semula ^jφ = r (cos φ + j tanpa φ )

di mana

and φ = tan^-1(y / x).

Untuk contoh kami di atas, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1(4 / 2) = 63.4 °

Oleh itu .

Atau sebaliknya:

Anda perlu mahir menggunakan kedua-dua borang, bergantung pada permohonannya. Sebagai contoh, penambahan atau pengurangan jelas lebih mudah dilakukan apabila nombor dalam bentuk segi empat tepat, sementara pendaraban dan pembahagian lebih mudah dilakukan apabila nombor dalam bentuk eksponensial.

Operasi dengan nombor kompleks

Operasi yang boleh dilakukan dengan nombor kompleks adalah serupa dengan nombor nyata. Peraturan dan beberapa definisi baru diringkaskan di bawah.

Operasi dengan j

Operasi dengan j hanya ikut dari takrif unit khayalan,

Untuk dapat bekerja dengan pantas dan tepat, anda harus menghafal peraturan ini:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Bukti:

j² = -1 hanya berikut dari definisi , sejak

Untuk 1 /j, kami melipatgandakan 1 /jby j / j = 1 dan dapatkan j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Konjugasi kompleks

Konjugasi kompleks nombor kompleks mudah diperoleh dan sangat penting. Untuk mendapatkan conjugate kompleks nombor kompleks dalam bentuk segi empat tepat, hanya menukar tanda bahagian khayalan. Untuk berbuat demikian untuk nombor dalam bentuk eksponen, ubah tanda sudut nombor kompleks sambil mengekalkan nilai mutlaknya sama.

Konjugasi kompleks nombor kompleks z sering dilambangkan oleh z^*.

Memandangkan nombor kompleks z= a + jb, konjugat kompleksnya adalah z^*= a- jb.

If z diberikan dalam bentuk eksponen, , konjugat kompleksnya adalah

Menggunakan definisi di atas, mudah untuk melihat bahawa bilangan kompleks yang didarab dengan konjugat kompleksnya memberikan kuadrat nilai mutlak nombor kompleks:

zz^* = r²= a^{2 +}b²

Juga, dengan menambahkan atau menolak mana-mana nombor kompleks dan konjugatnya, kita akan mendapat hubungan berikut:

z + z ^* = 2a

Oleh itu

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Begitu juga:

z - z ^* =j2b

Oleh itu

Im (z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Bukti:

atau mengalikan bahagian nyata dan khayalan dan menggunakan j²= -1

zz^* = (a + jb) (a - jb) = a²+a jb - a jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = a + jb + a - jb = 2a

z - z^*= a + jb - a + jb =j2b

Contoh berangka:

Dalam bentuk segiempat tepat:

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

Dalam bentuk kutub

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠- 53.13 °

Dalam bentuk eksponen:

Penambahan dan penolakan

Penambahan dan pengurangan nombor kompleks adalah mudah - kita hanya perlu menambahkan bahagian nyata dan khayalan secara berasingan. Contohnya, jika

z₁ = 3 - 4j and z₂= 2 + 3j

kemudian

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Jelas sekali, kita harus menggunakan bentuk segi empat tepat untuk operasi ini. Sekiranya nombor diberikan dalam bentuk eksponensial atau kutub, kita harus mengubahnya terlebih dahulu menjadi bentuk segi empat tepat menggunakan formula Euler, seperti yang diberikan sebelumnya.

Pendaraban

Terdapat dua kaedah untuk pendaraban nombor kompleks–

Pendaraban bilangan kompleks yang diberikan dalam bentuk segi empat tepat

Untuk menjalankan operasi, gandakan bahagian nyata dan khayalan dari satu nombor secara bergantian dengan bahagian nyata dan khayalan dari nombor lain dan gunakan identiti j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Apabila bilangan kompleks diberikan secara berangka, tidak perlu menggunakan formula di atas. Contohnya, mari

z₁ = 3 - 4j and z₂= 2 + 3j

Dengan pendaraban langsung komponen:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

atau menggunakan formula: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ b₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Kami fikir anda lebih cenderung untuk membuat kesilapan jika anda menggunakan formula daripada jika anda membiak komponen secara langsung.

{Penyelesaian oleh Jurubahasa TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Solution oleh Python:
import matematik sebagai m
import cmath sebagai c

z1=kompleks('3-4j')
z2=kompleks('2+3j')
cetak(“z1*z2=”,z1*z2)

Pendaraban bilangan kompleks yang diberikan dalam bentuk kutub atau eksponen

Untuk menjalankan operasi ini, darab nilai mutlak dan tambahkan sudut kedua nombor kompleks. Katakanlah:

Kemudian menggunakan kaedah pendaraban fungsi eksponen:

atau dalam bentuk kutub

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ φ₁+ φ₂

Nota: Kami telah menggunakan peraturan ini apabila kami mengira zz ^*di atas. Oleh kerana sudut konjugasi mempunyai tanda bertentangan dengan sudut asal, nombor kompleks yang didarabkan dengan konjugatnya sendiri selalu nombor nyata; iaitu, kuasa dua nilai mutlaknya: zz ^*= r²

Sebagai contoh, biarkan:

z₁ = 5 ∠ 30 ° dan z₂ = 4 ∠ -60 °

kemudian

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

atau dalam bentuk eksponen

Pendaraban jelas mudah apabila nombor dalam bentuk polar atau eksponen.

Walau bagaimanapun, jika nombor kompleks diberikan dalam bentuk segi empat tepat, anda harus mempertimbangkan untuk melakukan pendaraban secara langsung seperti yang ditunjukkan di atas, kerana ada langkah tambahan jika anda menukar nombor menjadi bentuk kutub sebelum mengalikannya. Faktor lain yang perlu dipertimbangkan adalah sama ada anda mahukan jawapannya dalam bentuk segi empat tepat atau dalam bentuk kutub / eksponen. Contohnya, jika kedua-dua nombor itu dalam bentuk segi empat tetapi anda mahukan produknya dalam bentuk kutub, masuk akal untuk menukarnya dengan segera dan kemudian mengalikannya.

Bahagian

Terdapat dua kaedah untuk pembahagian nombor kompleks–

Bahagian nombor kompleks yang diberikan dalam bentuk segi empat tepat

Untuk menjalankan operasi, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan konjugasi penyebut. Penyebut menjadi nombor nyata dan pembahagi dikurangkan menjadi pendaraban dua nombor kompleks dan pembahagian dengan nombor nyata, kuadrat dari nilai mutlak penyebut.

Sebagai contoh, mari:

z₁ = 3 - 4j and z₂= 2 + 3j

Mari kita periksa keputusan ini dengan TINA's Interpreter:

{Penyelesaian oleh Jurubahasa TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Solution oleh Python:
import matematik sebagai m
import cmath sebagai c

z1=kompleks('3-4j')
z2=kompleks('2+3j')
cetak(“z1/z2=”,z1/z2)

Bahagian nombor kompleks yang diberikan dalam bentuk kutub atau eksponen

Untuk menjalankan operasi, bahagikan nilai mutlak (magnitud) dan tolak sudut penyebut dari sudut pengangka. Katakanlah:

kemudian menggunakan peraturan pembahagian fungsi eksponen

atau dalam bentuk kutub

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Sebagai contoh, biarkan:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° dan z ₂ = 2 ∠ -60 °

kemudian

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

atau dalam bentuk eksponen dan segi empat tepat

Mari kita periksa keputusan ini dengan TINA's Interpreter:

{Penyelesaian oleh Jurubahasa TINA}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Solution oleh Python:
import matematik sebagai m
import cmath sebagai c

z1=5*(c.exp(kompleks(0,m.radian(30))))
z2=2*(c.exp(kompleks(0,m.radian(-60))))
cetak(“z1/z2=”,z1/z2)

Pembahagian jelas lebih mudah apabila nombor dalam bentuk kutub atau eksponen.

Walau bagaimanapun, jika nombor kompleks diberikan dalam bentuk segi empat tepat, anda harus mempertimbangkan untuk melakukan pembahagian secara langsung menggunakan kaedah konjugat kompleks seperti yang ditunjukkan di atas, kerana ada langkah tambahan jika anda menukar nombor menjadi bentuk kutub sebelum membaginya. Faktor lain yang perlu dipertimbangkan adalah sama ada anda mahukan jawapannya dalam bentuk segi empat tepat atau dalam bentuk kutub / eksponen. Sebagai contoh, jika kedua-dua nombor itu dalam bentuk segi empat tepat, tetapi anda ingin hasilnya dalam bentuk kutub, masuk akal untuk menukarnya dengan segera dan kemudian membaginya.

Sekarang mari kita gambarkan penggunaan nombor kompleks dengan masalah berangka. Seperti biasa, kami akan menyemak penyelesaian kami menggunakan TINA's Interpreter. Jurubahasa ini berfungsi dengan radians, tetapi ia mempunyai fungsi standard untuk penukaran radians kepada darjah atau sebaliknya.

1 Contoh Cari perwakilan kutub:

z = 12 - j 48

atau 49.48 ∠ - 75.96 °

{Penyelesaian oleh Jurubahasa TINA}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
arka (z) = [- 1.3258]
radtodeg (arka (z)) = [- 75.9638]

#Solution oleh Python:
import matematik sebagai m
import cmath sebagai c

z=12-kompleks(48j)
print(“abs(z)=”,abs(z))
print(“arka(z)=”,c.fasa(z))
print(“darjah(arka(z))=”,m.darjah(c.fasa(z)))

2 Contoh Cari perwakilan segiempat tepat:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{Penyelesaian oleh Jurubahasa TINA}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Solution oleh Python:
import matematik sebagai m
import cmath sebagai c

z=25*c.exp(kompleks(0,m.radian(125)))
cetak(“z=”,z)
print("real(z)="",z.real)
print(“imag(z)=”,z.imag)

3 Contoh Cari representasi kutub nombor kompleks berikut:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Nilai mutlak dari keempat-empat nombor adalah sama kerana nilai mutlak tidak bergantung pada tanda-tanda. Cuma sudut berbeza.

{Penyelesaian oleh Jurubahasa TINA}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
arka (z1) = [1.3258]
radtodeg (arka (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
busur (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (arka (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
arka (z3) = [1.8158]
radtodeg (arka (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
busur (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (arka (z4)) = [- 104.0362]

#Solution oleh Python:
import matematik sebagai m
import cmath sebagai c

z1=kompleks('12+48j')
print(“abs(z1)=”,abs(z1))
print(“arka(z1)=”,c.fasa(z1))
print(“darjah(arka(z1))=”,m.darjah(c.fasa(z1)))

z2=kompleks('12-48j')
print(“abs(z2)=”,abs(z2))
print(“arka(z2)=”,c.fasa(z2))
print(“darjah(arka(z2))=”,m.darjah(c.fasa(z2)))

z3=kompleks('-12+48j')
print(“abs(z3)=”,abs(z3))
print(“arka(z3)=”,c.fasa(z3))
print(“darjah(arka(z3))=”,m.darjah(c.fasa(z3)))

z4=kompleks('-12-48j')
print(“abs(z4)=”,abs(z4))
print(“arka(z4)=”,c.fasa(z4))
print(“darjah(arka(z4))=”,m.darjah(c.fasa(z4)))

Fungsi arka TINA () menentukan sudut nombor kompleks apa pun, secara automatik meletakkannya dengan betul di salah satu daripada empat kuadran.

Berhati-hati, bagaimanapun, menggunakan tan^-1 berfungsi untuk mencari sudut, kerana dibatasi untuk mengembalikan sudut hanya pada kuadran pertama dan keempat (–90 °)φ<90 °).

Sejak z₁terletak di kuadran pertama sistem koordinat, pengiraan adalah:

α₁ = tan^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

Sejak z₄terletak di kuadran ketiga sistem koordinat, tan^-1tidak mengembalikan sudut dengan betul. Pengiraan sudut adalah:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° atau -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, yang sama seperti yang dikira oleh TINA.

z₂terletak di kuadran keempat sistem koordinat Pengiraan sudut adalah:

α₂ = tan^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3,Walau bagaimanapun, terdapat dalam kuadran 2nd sistem koordinat, jadi tan^-1tidak mengembalikan sudut dengan betul. Pengiraan sudut adalah:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

4 Contoh Kami mempunyai dua nombor kompleks: z₁= 4 - j 6 dan z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

Cari z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Mula-mula kita selesaikan masalah ini dengan menggunakan TINA's Interpreter

{Penyelesaian oleh Jurubahasa TINA}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Perhatikan bagaimana TINA dengan mudah mengendalikan dua nombor kompleks yang diberikan dalam bentuk yang berbeza.

Penyelesaiannya lebih rumit tanpa jurubahasa. Supaya kita dapat membandingkan kaedah pendaraban dan pembahagian yang berbeza, pertama kita akan menentukan bentuk kutub z₁ dan bentuk segi empat tepat z₂.

Seterusnya, kita dapati empat penyelesaian menggunakan bentuk termudah pertama: segi empat tepat untuk penambahan dan pengurangan, dan eksponensial untuk pendaraban dan pembahagian: