COMPLEXE GETALLEN

Klik of Tik op de onderstaande Voorbeeldcircuits om TINACloud op te roepen en selecteer de interactieve DC-modus om ze online te analyseren.
Krijg een goedkope toegang tot TINACloud om de voorbeelden te bewerken of om uw eigen circuits te maken

HUIDIGE METHODES VOOR MESH EN LUS

PRINCIPES VAN ALTERNATIEVE HUIDIGE

In deze en de volgende hoofdstukken zullen we een zeer belangrijk onderwerp presenteren: AC, of wisselstroom. De naam wisselstroom is niet erg nauwkeurig en bestrijkt normaal circuits met sinusvormige spanningen en stromen; Wisselstroom kan echter ook elke willekeurige huidige golfvorm betekenen. Het belang van wisselspanning is dat dit soort spanning wordt gebruikt voor de belangrijkste elektrische stroombron in huizen en industrie over de hele wereld. Het is ook de basis voor vele elektronica-, telecommunicatie- en industriële toepassingen.

Om sinusoïdale golfvormen en de bijbehorende circuits te verwerken, zullen we een eenvoudige en elegante methode gebruiken, de methode van phasors. Phasors zijn gebaseerd op de eigenschappen van complexe getallen, die ideaal zijn voor het weergeven van sinusoïdale hoeveelheden. In dit hoofdstuk zullen we de belangrijkste feiten over complexe getallen en hun operaties samenvatten. We laten ook zien hoe TINA's Interpreter het gemakkelijk maakt om berekeningen met complexe getallen uit te voeren.

Complexe getallen bestaan uit twee delen, een echt deel (x), wat een reëel getal is, en een zogenaamde denkbeeldige deel (y), wat een reëel getal is vermenigvuldigd met , de denkbeeldige eenheid. Het complexe nummer zkan daarom worden beschreven als:

z = x + jy

WAAR .

Voorbeelden van complexe getallen:

z ₁ = 1 + j

z ₂ =-4 2 j

z ₃ = 3- 5j

Complexe getallen werden oorspronkelijk geïntroduceerd in de zeventiende eeuw om de wortels van veeltermen weer te geven die niet alleen met echte getallen konden worden weergegeven. Bijvoorbeeld de wortels van de vergelijking x²+ 2x + 2 = 0 kan alleen beschreven worden als en of gebruik de notatie , z₁= 1 + j en z₂= 1- j. Met behulp van de nieuwe notatie om de eigenschappen van uitdrukkingen te onderzoeken, konden wiskundigen stellingen bewijzen en problemen oplossen die tot dan toe moeilijk, zo niet onmogelijk, waren op te lossen. Dit leidde tot de uitwerking van complexe algebra en complexe functies, die nu veel worden gebruikt in de wiskunde en techniek.

Geometrische weergave van complexe getallen

Rechthoekige vorm

Omdat een complex getal altijd gescheiden kan worden in zijn reële en complexe delen, kunnen we een complex getal representeren als een punt op een tweedimensionaal vlak. Het echte deel van een complex getal is de projectie van het punt op de echte as, en het imaginaire deel van het getal is de projectie op de imaginaire as. Wanneer een complex getal wordt weergegeven als de som van echte en imaginaire delen, zeggen we dat het binnen is rechthoekig or algebraïsche vorm.

De volgende afbeelding toont het complexe aantal z = 2 + 4j

Polaire en exponentiële vorm

Zoals je kunt zien in de bovenstaande afbeelding, kan het punt A ook worden weergegeven door de lengte van de pijl, r (ook wel de absolute waarde, magnitude of amplitude genoemd) en de hoek (of fase), φ relatief tegen de klok in ten opzichte van de positieve horizontale as. Dit is de polair vorm van een complex getal. Het wordt aangeduid als r ∠ φ.

De volgende stap is erg belangrijk. Een complex getal in polaire vorm kan ook worden geschreven exponentiële het formulier:

Deze eenvoudige uitdrukking onderscheidt zich doordat het een imaginair getal in de exponent heeft in plaats van het gebruikelijke reële getal. Deze complexe exponentieel gedraagt zich heel anders dan de exponentiële functie met een reëel argument. Terwijl e^x groeit snel in grootte voor toenemende x> 0 en neemt af voor x <0, de functie heeft dezelfde grootte (z = 1) voor elke φ. Bovendien liggen de complexe waarden op de eenheidscirkel.

De formule van Euler biedt een verbindende schakel tussen de rechthoekige, polaire en exponentiële vormen van complexe getallen:

z = x + jy = re ^jφ = r (cos φ + j zonde φ )

WAAR

en φ = tan^-1(Y / x).

Voor ons voorbeeld hierboven, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1(4 / 2) = 63.4 °

daarom .

Of vice versa:

Afhankelijk van de toepassing moet u bedreven zijn in het gebruik van beide formulieren. Optellen of aftrekken is bijvoorbeeld duidelijk gemakkelijker te doen als de getallen in rechthoekige vorm zijn, terwijl vermenigvuldigen en delen gemakkelijker te doen zijn als de getallen in exponentiële vorm zijn.

Bewerkingen met complexe getallen

De bewerkingen die kunnen worden gedaan met complexe getallen zijn vergelijkbaar met die voor echte getallen. De regels en enkele nieuwe definities worden hieronder samengevat.

Operaties met j

De operaties met j volg eenvoudig de definitie van de imaginaire eenheid,

Om snel en nauwkeurig te kunnen werken, moet je deze regels onthouden:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Bewijs:

j² = -1 volgt eenvoudig uit de definitie van aangezien

Voor 1 /j, vermenigvuldigen we 1 /jby j / j = 1 en krijgen j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Complex conjugaat

Het complexe conjugaat van een complex getal kan gemakkelijk worden afgeleid en is vrij belangrijk. Om het complexe conjugaat van een complex getal in rechthoekige vorm te verkrijgen, verandert u eenvoudigweg het teken van het imaginaire deel. Om dit voor een getal in exponentiële vorm te doen, verandert u het teken van de hoek van het complexe getal terwijl u de absolute waarde ervan hetzelfde houdt.

Het complexe conjugaat van een complex getal z wordt vaak aangeduid met z^*.

Gezien het complexe aantal z= A + jb, het complexe conjugaat is z^*= a- jb.

If z wordt gegeven in exponentiële vorm, , zijn complexe geconjugeerde is

Met behulp van de bovenstaande definities is het gemakkelijk om te zien dat een complex getal vermenigvuldigd met zijn complexe geconjugeerde het kwadraat geeft van de absolute waarde van het complexe getal:

zz^* = r²= a^{2 +}b²

Ook krijgen we door het optellen of aftrekken van een complex getal en zijn geconjugeerde, de volgende relaties:

z + z ^* = 2a

daarom

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Op dezelfde manier:

z - z ^* =j2b

daarom

Im(z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Bewijs:

of vermenigvuldig de echte en imaginaire delen en gebruik j²= -1

zz^* = (A + jb) (a - jb) = a²+a jb - een jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = A + jb + a - jb = 2a

z - z^*= A + jb - een + jb =j2b

Numerieke voorbeelden:

In rechthoekige vorm:

z = + 3 j4

z^* = 3- j4

zz ^* = 9 16 + = 25

In polaire vorm

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ° - 53.13 °

In exponentiële vorm:

Optellen en aftrekken

Optellen en aftrekken van complexe getallen is eenvoudig - we hoeven alleen de echte en imaginaire delen afzonderlijk toe te voegen. Bijvoorbeeld als

z₁ = 3 - 4j en z₂= 2 + 3j

harte

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2-4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Het is duidelijk dat we voor deze bewerkingen de rechthoekige vorm moeten gebruiken. Als de getallen in exponentiële of polaire vorm worden gegeven, moeten we ze eerst omzetten in een rechthoekige vorm met de formule van Euler, zoals eerder vermeld.

Vermenigvuldiging

Er zijn twee methoden voor het vermenigvuldigen van complexe getallen:

Vermenigvuldiging van complexe getallen gegeven in een rechthoekige vorm

Om de bewerking uit te voeren, vermenigvuldigt u eenvoudig de echte en imaginaire delen van het ene nummer met de echte en imaginaire delen van het andere nummer en gebruikt u de identiteit j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (een₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Wanneer de complexe getallen numeriek worden gegeven, is het niet nodig om de bovenstaande formule te gebruiken. Laten we bijvoorbeeld

z₁ = 3 - 4j en z₂= 2 + 3j

Met directe vermenigvuldiging van de componenten:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

of met behulp van de formule: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ B₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

We denken dat u een grotere kans maakt om een fout te maken als u de formule gebruikt dan wanneer u de componenten rechtstreeks vermenigvuldigt.

{Oplossing door de tolk van TINA}
z1: =-3 4 * j
z2: = 2 3 + j *
z1 * z2 = [18 1 * + j]

#Oplossing door Python:
importeer wiskunde als m
importeer cmath als c

z1=complex('3-4j')
z2=complex('2+3j')
afdrukken(“z1*z2=”,z1*z2)

Vermenigvuldiging van complexe getallen gegeven in polaire of exponentiële vorm

Om deze bewerking uit te voeren, vermenigvuldigt u de absolute waarden en voegt u de hoeken van de twee complexe getallen toe. Laat:

Gebruik vervolgens de regel van vermenigvuldiging van exponentiële functies:

of in polaire vorm

z₁ z₂ = r₁ r₂ φ₁+ φ₂

Opmerking: we hebben deze regel al gebruikt toen we berekenden zz ^*bovenstaande. Aangezien de hoek van het conjugaat het tegenovergestelde teken heeft van de oorspronkelijke hoek, is een complex getal vermenigvuldigd met zijn eigen conjugaat altijd een reëel getal; namelijk het kwadraat van zijn absolute waarde: zz ^*= r²

Laat bijvoorbeeld:

z₁ = 5 ∠ 30 ° en z₂ = 4 ∠ -60 °

harte

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

of in exponentiële vorm

Vermenigvuldiging is duidelijk eenvoudiger wanneer de getallen in polaire of exponentiële vorm zijn.

Als de complexe getallen echter in rechthoekige vorm worden gegeven, moet u overwegen om de vermenigvuldiging rechtstreeks uit te voeren zoals hierboven weergegeven, aangezien er extra stappen zijn als u de getallen converteert naar een polaire vorm voordat u ze vermenigvuldigt. Een andere factor die u moet overwegen, is of u de antwoorden in rechthoekige vorm of in polaire / exponentiële vorm wilt hebben. Als de twee cijfers bijvoorbeeld een rechthoekige vorm hebben maar u wilt dat hun product in polaire vorm is, is het logisch om ze onmiddellijk om te zetten en ze vervolgens te vermenigvuldigen.

Divisie

Er zijn twee methoden voor het delen van complexe getallen:

Verdeling van complexe getallen gegeven in een rechthoekige vorm

Om de bewerking uit te voeren, vermenigvuldigt u de teller en de noemer met het conjugaat van de noemer. De noemer wordt een reëel getal en de deling wordt teruggebracht tot de vermenigvuldiging van twee complexe getallen en een deling door een reëel getal, het kwadraat van de absolute waarde van de noemer.

Laat bijvoorbeeld:

z₁ = 3 - 4j en z₂= 2 + 3j

Laten we dit resultaat controleren met TINA's Interpreter:

{Oplossing door de tolk van TINA}
z1: =-3 4 * j
z2: = 2 3 + j *
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Oplossing door Python:
importeer wiskunde als m
importeer cmath als c

z1=complex('3-4j')
z2=complex('2+3j')
print(“z1/z2=”,z1/z2)

Verdeling van complexe getallen gegeven in polaire of exponentiële vorm

Om de bewerking uit te voeren, deelt u de absolute waarden (magnitudes) en trekt u de hoek van de noemer af van de hoek van de teller. Laat:

dan met behulp van de regel van verdeling van exponentiële functies

of in polaire vorm

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Laat bijvoorbeeld:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° en z ₂ = 2 ∠ -60 °

harte

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

of in exponentiële en rechthoekige vormen

Laten we dit resultaat controleren met TINA's Interpreter:

{Oplossing door de tolk van TINA}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 2.5 * + j]

#Oplossing door Python:
importeer wiskunde als m
importeer cmath als c

z1=5*(c.exp(complex(0,m.radialen(30))))
z2=2*(c.exp(complex(0,m.radialen(-60))))
print(“z1/z2=”,z1/z2)

Verdeling is duidelijk eenvoudiger als de getallen in polaire of exponentiële vorm zijn.

Als de complexe getallen echter in rechthoekige vorm worden gegeven, kunt u overwegen om de deling rechtstreeks uit te voeren met behulp van de complexe geconjugeerde methode zoals hierboven weergegeven, aangezien er extra stappen zijn als u de getallen converteert naar een polaire vorm voordat u ze deelt. Een andere factor die u moet overwegen, is of u de antwoorden in rechthoekige vorm of in polaire / exponentiële vorm wilt hebben. Als de twee getallen bijvoorbeeld een rechthoekige vorm hebben, maar u wilt hun quotiënt in polaire vorm, is het logisch om ze onmiddellijk om te zetten en vervolgens te verdelen.

Laten we nu het gebruik van complexe getallen illustreren door meer numerieke problemen. Zoals gewoonlijk zullen we onze oplossingen controleren met behulp van TINA's Interpreter. De tolk werkt met radialen, maar heeft standaardfuncties voor de conversie van radialen naar graden of omgekeerd.

Voorbeeld 1 Zoek de polaire weergave:

z = 12 - j 48

of 49.48 - 75.96 °

{Oplossing door de tolk van TINA}
z: = 12 48-j *;
abs (z) = [49.4773]
arc (z) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z)) = [- 75.9638]

#Oplossing door Python:
importeer wiskunde als m
importeer cmath als c

z=12-complex(48j)
print(“abs(z)=”,abs(z))
print(“arc(z)=”,c.fase(z))
print(“graden(boog(z))=”,m.graden(c.fase(z)))

Voorbeeld 2 Zoek de rechthoekige afbeelding:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{Oplossing door de tolk van TINA}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 20.4788 + * j]
Re (Z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Oplossing door Python:
importeer wiskunde als m
importeer cmath als c

z=25*c.exp(complex(0,m.radialen(125)))
afdrukken(“z=”,z)
print(“real(z)=”,z.real)
print(“imag(z)=”,z.imag)

Voorbeeld 3 Zoek de polaire weergave van de volgende complexe getallen:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

De absolute waarden van alle vier de getallen zijn hetzelfde omdat de absolute waarde onafhankelijk is van de tekens. Alleen de hoeken zijn anders.

{Oplossing door de tolk van TINA}
z1: = 12 48 + j *;
abs (z1) = [49.4773]
arc (z1) = [1.3258]
radtodeg (arc (z1)) = [75.9638]

z2: = 12 48-j *;
abs (z2) = [49.4773]
arc (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 48 + j *;
abs (z3) = [49.4773]
arc (z3) = [1.8158]
radtodeg (arc (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
arc (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (arc (z4)) = [- 104.0362]

#Oplossing door Python:
importeer wiskunde als m
importeer cmath als c

z1=complex('12+48j')
print(“abs(z1)=”,abs(z1))
print(“arc(z1)=”,c.fase(z1))
print(“graden(boog(z1))=”,m.graden(c.fase(z1)))

z2=complex('12-48j')
print(“abs(z2)=”,abs(z2))
print(“arc(z2)=”,c.fase(z2))
print(“graden(boog(z2))=”,m.graden(c.fase(z2)))

z3=complex('-12+48j')
print(“abs(z3)=”,abs(z3))
print(“arc(z3)=”,c.fase(z3))
print(“graden(boog(z3))=”,m.graden(c.fase(z3)))

z4=complex('-12-48j')
print(“abs(z4)=”,abs(z4))
print(“arc(z4)=”,c.fase(z4))
print(“graden(boog(z4))=”,m.graden(c.fase(z4)))

De TINA-functie arc () bepaalt de hoek van een willekeurig complex getal en plaatst deze automatisch correct in een van de vier kwadranten.

Wees echter voorzichtig met het gebruik van de kleurtint^-1 functie om de hoek te vinden, aangezien deze beperkt is tot alleen terugkerende hoeken in het eerste en vierde kwadrant (–90 °φ<90 °).

Sinds z₁bevindt zich in het eerste kwadrant van het coördinatensysteem, de berekening is:

α₁ = tan^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

Sinds z₄bevindt zich in het derde kwadrant van het coördinatensysteem, tan^-1retourneert de hoek niet correct. De hoekberekening is:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° of -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, wat hetzelfde is als berekend door TINA.

z₂bevindt zich in het vierde kwadrant van het coördinatensysteem. De hoekberekening is:

α₂ = tan^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3,bevindt zich echter in het 2nd-kwadrant van het coördinatensysteem, dus tan^-1retourneert de hoek niet correct. De hoekberekening is:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Voorbeeld 4 We hebben twee complexe nummers: z₁= 4 - j 6 en z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

VIND DE PLEK DIE PERFECT VOOR JOU IS z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Eerst lossen we het probleem op met TINA's Interpreter

{Oplossing door de tolk van TINA}
z1: = 4 6-j *;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [-7.5355 2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [-35.3553 7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Merk op hoe TINA moeiteloos omgaat met de twee complexe getallen die in verschillende vormen worden gegeven.

De oplossing is ingewikkelder zonder de tolk. Om de verschillende methoden van vermenigvuldiging en deling te kunnen vergelijken, zullen we eerst de polaire vorm bepalen z₁ en de rechthoekige vorm van z₂.

Vervolgens vinden we eerst de vier oplossingen met de gemakkelijkste vormen: rechthoekig voor optellen en aftrekken, en exponentieel voor vermenigvuldigen en delen: