Klik of Tik op de onderstaande Voorbeeldcircuits om TINACloud op te roepen en selecteer de interactieve DC-modus om ze online te analyseren. Krijg een goedkope toegang tot TINACloud om de voorbeelden te bewerken of om uw eigen circuits te maken
Veel circuits zijn te complex om op te lossen met de regels voor serieschakelingen of parallelle circuits of met de technieken voor conversie naar eenvoudiger circuits die in eerdere hoofdstukken zijn beschreven. Voor deze circuits hebben we meer algemene oplossingsmethoden nodig. De meest algemene methode wordt gegeven door de wetten van Kirchhoff, die de berekening van alle circuitspanningen en stromen van circuits mogelijk maken door een oplossing van een systeem van lineaire vergelijkingen.
Er zijn er twee Kirchhoff-wetten, de spanningswet En de huidige wet. Deze twee wetten kunnen worden gebruikt om alle spanningen en stromen van circuits te bepalen.
De spanningswet van Kirchhoff (KVL) stelt dat de algebraïsche som van de spanning stijgt en de spanning daalt rond een lus nul moet zijn.
Een lus in de bovenstaande definitie betekent een gesloten pad in het circuit; dat wil zeggen een pad dat een knooppunt in de ene richting verlaat en vanuit een andere richting terugkeert naar datzelfde knooppunt.
In onze voorbeelden gebruiken we de richting met de klok mee voor lussen; dezelfde resultaten worden echter verkregen als de richting tegen de klok in wordt gebruikt.
Om KVL foutloos toe te passen, moeten we de zogenaamde referentierichting definiëren. De referentierichting van de onbekende spanningen wijst van het + naar het - teken van de aangenomen spanningen. Stel je voor dat je een voltmeter gebruikt. U plaatst de positieve meter van de voltmeter (meestal rood) op de referentie + aansluiting van de component. Als de echte spanning positief is, is het in dezelfde richting als we veronderstelden, en zowel onze oplossing als de voltmeter zullen een positieve waarde tonen.
Bij het afleiden van de algebraïsche som van de spanningen, moeten we een plusteken toekennen aan die spanningen waar de referentierichting overeenkomt met de richting van de lus, en negatieve tekens in het tegenovergestelde geval.
Een andere manier om de spanningswet van Kirchhoff vast te stellen is: de aangelegde spanning van een serieschakeling is gelijk aan de som van de spanningsdalingen over de serie-elementen.
Het volgende korte voorbeeld toont het gebruik van de spanningswet van Kirchhoff.
Zoek de spanning over weerstand R2, gegeven dat de bronspanning, VS = 100 V en dat de spanning over weerstand R1 is V1 = 40 V.
De onderstaande afbeelding kan worden gemaakt met TINA Pro versie 6 en hoger, waarin tekenhulpmiddelen beschikbaar zijn in de schematische editor.
De oplossing met behulp van de spanningswet van Kirchhoff: -VS + V1 + V2 = 0 of VS = V1 + V2
Vandaar: V2 = VS - V1 = 100-40 = 60V
Merk op dat we normaal gesproken de spanningen van de weerstanden niet kennen (tenzij we ze meten), en we moeten beide Kirchhoff-wetten gebruiken voor de oplossing.
De huidige wet van Kirchhoff (KCL) stelt dat de algebraïsche som van alle stromen die een knooppunt binnenkomen en verlaten in een circuit nul is.
In het volgende geven we een + teken aan stromen die een knooppunt verlaten en een - teken aan stromen die een knooppunt binnenkomen.
Hier is een eenvoudig voorbeeld dat de huidige wet van Kirchhoff demonstreert.
Zoek de huidige I2 als de bronstroom IS = 12 A, en ik1 = 8 A.
De huidige wet van Kirchhoff gebruiken op de omcirkelde knoop: -IS + I1 + I2 = 0, vandaar: I2= IkS - Ik1 = 12 - 8 = 4 A, zoals je kunt controleren met TINA (volgende afbeelding).
In het volgende voorbeeld gebruiken we zowel de wetten van Kirchhoff als de wet van Ohm om de stroom en de spanning over de weerstanden te berekenen.
In de onderstaande afbeelding ziet u de Spanningspijl bovenstaande weerstanden. Dit is een nieuw component beschikbaar in Versie 6 van TINA en werkt als een voltmeter. Als je het over een component verbindt, bepaalt de pijl de referentierichting (om te vergelijken met een voltmeter, stel je voor dat je de rode sonde aan de staart van de pijl plaatst en de zwarte sonde aan de punt). Wanneer u DC-analyse uitvoert, wordt de werkelijke spanning op het onderdeel weergegeven op de pijl.
Om de huidige wet van Kirchhoff te gaan gebruiken, zien we dat de stromen door alle componenten hetzelfde zijn, dus laten we die stroom aanduiden door I.
Volgens de spanningswet van Kirchhoff: VS = V1+V2+V3
Gebruik nu de wet van Ohm: VS= I * R1+ I * R2+ I * R3
En vanaf hier de stroom van het circuit:
I = VS / (R1+R2+R3) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A
Tenslotte de spanningen van de weerstanden:
V1= I * R1 = 2 * 10 = 20 V; V2 = I * R2 = 2 * 20 = 40 V; V3 = I * R3 = 2 * 30 = 60 V
Dezelfde resultaten zullen worden gezien op de spanningspijlen door simpelweg de interactieve DC-analyse van TINA uit te voeren.
In dit volgende, complexere circuit gebruiken we ook zowel de wetten van Kirchhoff als die van Ohm, maar we vinden dat we het meest een lineair systeem van vergelijkingen oplossen.
Het totale aantal onafhankelijke toepassingen van de wetten van Kirchhoff in een circuit is het aantal circuittakken, terwijl het totale aantal onbekenden (de stroom en spanning van elke tak) het dubbele is. Door echter ook de wet van Ohm te gebruiken bij elke weerstand en de eenvoudige vergelijkingen die de toegepaste spanningen en stromen definiëren, krijgen we een systeem van vergelijking waarbij het aantal onbekenden hetzelfde is als het aantal vergelijkingen.
Vind de takstromen I1, I2, I3 in het circuit hieronder.
De reeks vergelijkingen volgt:
De nodale vergelijking voor het omcirkelde knooppunt:
- I1 - I2 - Ik3 = 0
of vermenigvuldigen met -1
I1 + I2 + I3 = 0
De lusvergelijkingen (met de klok mee) voor de lus L1, die V bevat1, R1 en R3
-V1+I1*R1-I3*R3 = 0
en voor de lus L2, die V bevat2, R2 en R3
I3*R3 - Ik2*R2 +V2 = 0
De componentwaarden substitueren:
I1+ I2+ I3 = 0 -8 + 40 * I1 - 40 * I3 = 0 40 * I3 -20 * I2 + 16 = 0
Express I1 gebruikmakend van de nodale vergelijking: I1 = -I2 - Ik3
vervang het dan in de tweede vergelijking:
-V1 - (ik2 + I3) * R1 -IK3*R3 = 0 or -8- (I2 + I3) * 40 - I3* 40 = 0
Express I2 en vervang het door de derde vergelijking, waaruit je al I kunt berekenen3:
I2 = - (V1 + I3* (R1+R3)) / R1 or I2 = - (8 + I3* 80) / 40
I3*R3 + R2* (V1 + I3* (R1+R3)) / R1 +V2 = 0 or I3* 40 + 20 * (8 + I3* 80) / 40 + 16 = 0
En: I3 = - (V2 + V1*R2/R1) / (R3+ (R1+R3) * R2/R1) or I3 = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)
Daarom I3 = - 0.25 A; I2 = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A en I1 = - (0.3-0.25) = - 0.05 A
Of: I1 = -50 mA; I2 = 300 mA; I3 = -250 mA.
Laten we nu dezelfde vergelijkingen oplossen met de TINA-tolk:
Sys I1, I2, I3
I1 I2 + + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
einde te maken;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]
importeer numpy als np,sympy als s
#We hebben een lineair systeem van
#vergelijkingen die we willen oplossen:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0
I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
afdrukken(sol)
A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])
b= np.matrix([0,V1,-V2])
x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
print(“I1= %.3f”%x[0])
#I2
print(“I2= %.3f”%x[1])
#I3
print(“I3= %.3f”%x[2])
Laten we tenslotte de resultaten met TINA:
Laten we vervolgens het volgende nog complexere circuit analyseren en de vertakkingsstromen en spanningen ervan bepalen.
Laten we de onbekende spanningen en stromen aanduiden door spanning en stroompijlen toe te voegen aan componenten, en ook de lussen (L1, L2, L3) en de knooppunten (N1, N2) te tonen waar we de Kirchhoff-vergelijkingen zullen gebruiken.
 |
Hier is de set van Kirchhoff-vergelijkingen voor de lussen (met de klok mee) en de knooppunten.
-IL + IR1 - Iks = 0 (voor N1)
- IkR1 + IR2 + Is3 = 0 (voor N2)
-Vs1 - VR3 + VIs + VL = 0 (voor L1)
-VIs + Vs2 +VR2 +VR1 = 0 (voor L2)
-VR2 - Vs2 + Vs3 = 0 (voor L3)
De wet van Ohm toepassen:
VL = IkL*RL
VR1 =IR1*R1
VR2 = IkR2*R2
VR3 = - ikL*R3
Dit zijn 9 onbekenden en 9 vergelijkingen. De eenvoudigste manier om dit op te lossen is door TINA's te gebruiken
tolk. Als we echter worden ingedrukt om handberekeningen te gebruiken, merken we op dat deze reeks vergelijkingen gemakkelijk kan worden teruggebracht tot een systeem van 5 onbekenden door de laatste 4 vergelijkingen te vervangen door de L1-, L2-, L3-lusvergelijkingen. Ook door vergelijkingen (L1) en toe te voegen (L2), we kunnen V eliminerenIs , het probleem reduceren tot een systeem van 4-vergelijkingen voor 4-onbekenden (I.L, IR1 IR2, Is3). Wanneer we deze stromen hebben gevonden, kunnen we gemakkelijk V bepalenL, VR1, VR2, en VR3 de laatste vier vergelijkingen gebruiken (wet van Ohm).
Vervanging van VL ,VR1,VR2 ,VR3 :
-IL + IR1 - Iks = 0 (voor N1)
- IkR1 + IR2 + Is3 = 0 (voor N2)
-Vs1 + IL*R3 + VIs + IL*RL = 0 (voor L1)
-VIs + Vs2 + IR2*R2 + IR1*R1 = 0 (Voor L2)
- IkR2*R2 - Vs2 + Vs3 = 0 (voor L3)
Toevoegen (L1) en (L2) krijgen we
-IL + IR1 - Iks = 0 (voor N1)
- IkR1 + IR2 + Is3 = 0 (voor N2)
-Vs1 + IL*R3 + IL*RL + Vs2 + IR2*R2 + IR1*R1 = 0 (L1) + (L2)
- IkR2*R2 - Vs2 + Vs3 = 0 (voor L3)
Na vervanging van de componentwaarden komt de oplossing voor deze vergelijkingen gemakkelijk.
-IL+IR1 - 2 = 0 (voor N1)
-IR1 + IR2 + IS3 = 0 (voor N2)
-120 - + IL* 90 + IL* 20 + 60 + IR2* 40 + IR1* 30 = 0 (L1) + (L.2)
-IR2* 40 - 60 + 270 = 0 (voor L3)
van L3 IR2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)
van N2 IS3 - IkR1 = - 5.25 (II)
van L1+L2 110 IL + 30 IR1 = -150 (III)
en voor N1 IR1 - IkL = 2 (IV)
Vermenigvuldig (IV) door -30 en voeg toe aan (III) 140 IL = -210 Vandaar IL = - 1.5 A
Plaatsvervanger IL in (IV) IR1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A
en ikR1 in (II) IS3 = -5.25 + IR1 = -4,75 A
En de spanningen: VR1 = IkR1*R1 = 15 V; VR2 = IkR2*R2 = 210 V;
VR3 = - ikL*R3= 135 V; VL = IkL*RL = - 30 V; VIs = VS1+VR3-VL = 285 V
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-Is + IR1 = 0
-IR1 IR2 + + Is3 = 0
-Vs1 + + VR3 Vis-VL = 0
-Vis VR1 + + + VR2 Vs2 = 0
-Vs3 VR2 + + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
einde te maken;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VI = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]
#Ax=b
importeer numpy als np,sympy als s
#Symbolische oplossing met numpy.solve
#Vergelijkingen:
#IL=-Is+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Oplossen voor:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1,VR3,VR2
IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Is+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
afdrukken(sol)
#Een andere methode om op te lossen met numpy.linalg
A=np.matrix(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])
b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])
x=np.linalg.solve(A,b)
#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print(“IL= %.3f”%x[0])
print(“IR1= %.3f”%x[1])
print(“IR2= %.3f”%x[2])
print(“Is3= %.3f”%x[3])
print(“Vis= %.3f”%x[4])
print(“VL= %.3f”%x[5])
afdrukken(“VR1= %.3f”%x[6])
afdrukken(“VR2= %.3f”%x[8])
afdrukken(“VR3= %.3f”%x[7])
Oplossing van de gereduceerde reeks vergelijkingen met behulp van de tolk:
| {Oplossing van de gereduceerde set vergelijkingen door TINA's Interpreter} Sys Il, Ir1, Ir2, Is3 -Il + Ir1-= 2 0 -Ir1 Ir2 + + Is3 = 0 -120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0 -40 * Ir2 + = 210 0 einde te maken; Il = [- 1.5] Ir1 = [500m] Ir2 = [5.25] Is3 = [- 4.75] |
We kunnen ook uitdrukkingen invoeren voor de spanningen en deze laten interpreteren door TINA's Interpreter:
| Il: = - 1.5; Ir1: = 0.5; Ir2: = 5.25; Is3: = - 4.75; Vl: = Il * RL; Vr1: = Ir1 * R1 Vr2: = Ir2 * R2; Vr3: = - Il * R3; VI: = Vs1-Vl + Vr3; Vl = [- 30] Vr1 = [15] Vr2 = [210] Vr3 = [135] VI = [285] |
 |
We kunnen het resultaat met TINA controleren door simpelweg de interactieve DC-modus van TINA in te schakelen of analyse / DC-analyse / knoopspanningen te gebruiken
English
English
German
French
Spanish
Portuguese
Russian
Chinese (Simplified)
Chinese (Traditional)
Japanese
Korean
Hungarian