HUIDIGE METHODES VOOR MESH EN LUS

Klik of Tik op de onderstaande Voorbeeldcircuits om TINACloud op te roepen en selecteer de interactieve DC-modus om ze online te analyseren.
Krijg een goedkope toegang tot TINACloud om de voorbeelden te bewerken of om uw eigen circuits te maken

Een andere manier om de volledige set Kirchhoff-vergelijkingen te vereenvoudigen, is de mesh- of lusstroommethode. Met deze methode wordt automatisch voldaan aan de huidige wet van Kirchhoff en voldoen de lusvergelijkingen die we schrijven ook aan de spanningswet van Kirchhoff. Het voldoen aan de huidige wet van Kirchhoff wordt bereikt door aan elke onafhankelijke lus van het circuit gesloten stroomlussen, mesh- of lusstromen, toe te wijzen en deze stromen te gebruiken om alle andere grootheden van het circuit uit te drukken. Aangezien de lusstromen gesloten zijn, moet de stroom die in een knooppunt stroomt ook uit het knooppunt stromen; dus het schrijven van knooppuntvergelijkingen met deze stromen leidt tot identiteit.

Laten we eerst eens kijken naar de methode van mesh-stromen.

We merken allereerst op dat de mesh-stroommethode alleen van toepassing is op "vlakke" circuits. Planaire circuits hebben geen kruisende draden wanneer ze op een vlak worden getekend. Door een circuit opnieuw te tekenen dat niet vlak lijkt te zijn, kun je vaak vaststellen dat het in feite vlak is. Gebruik voor niet-vlakke circuits de lus huidige methode later in dit hoofdstuk beschreven.

Om het idee van maasstromen uit te leggen, stel je de takken van het circuit voor als 'visnet' en wijs je een maasstroom toe aan elke maas van het net. (Soms wordt ook gezegd dat in elk "venster" van het circuit een gesloten stroomlus wordt toegewezen.)

Het schematische diagram Het "visnet" of de grafiek van het circuit

De techniek om het circuit weer te geven door middel van een eenvoudige tekening, genaamd a diagram, is behoorlijk krachtig. Sinds De wetten van Kirchhoff zijn niet afhankelijk van de aard van de componenten, u kunt de betonnen componenten negeren en ze vervangen door eenvoudige lijnsegmenten, de zogenaamde takken van de grafiek. Door circuits door grafieken weer te geven, kunnen we de wiskundige technieken gebruiken grafiek theorie. Dit helpt ons de topologische aard van een circuit te verkennen en de onafhankelijke lussen te bepalen. Kom later terug naar deze site om meer over dit onderwerp te lezen.

De stappen van mesh-stroomanalyse:

1. Wijs een mesh-stroom toe aan elke mesh. Hoewel de richting willekeurig is, is het gebruikelijk om de richting met de klok mee te gebruiken.
   

2. Pas de spanningswet (KVL) van Kirchhoff toe rond elk gaas, in dezelfde richting als de gaasstromen. Als een weerstand twee of meer mesh-stromen heeft, wordt de totale stroom door de weerstand berekend als de algebraïsche som van de mesh-stromen. Met andere woorden, als een stroom die door de weerstand vloeit dezelfde richting heeft als de mesh-stroom van de lus, heeft deze een positief teken, anders een negatief teken in de som. Met spanningsbronnen wordt zoals gewoonlijk rekening gehouden.Als hun richting hetzelfde is als de mesh-stroom, wordt hun spanning in de KVL-vergelijkingen als positief, anders negatief beschouwd. Gewoonlijk stroomt er voor stroombronnen slechts één mesh-stroom door de bron en die stroom heeft dezelfde richting als de stroom van de bron. Als dit niet het geval is, gebruik dan de meer algemene lusstroommethode, die verderop in deze paragraaf wordt beschreven. Het is niet nodig om KVL-vergelijkingen te schrijven voor lussen die mesh-stromen bevatten die zijn toegewezen aan huidige bronnen.
   

3. Los de resulterende lusvergelijkingen op voor de maasstromen.
   

4. Bepaal de gevraagde stroom of spanning in het circuit met behulp van de mesh-stromen.

Laten we het illustreren de methode door het volgende voorbeeld:

Zoek de huidige I in het onderstaande circuit.

We zien dat er in dit circuit twee meshes (of een linker- en rechtervenster) zijn. Laten we de meshstromen J met de klok mee toewijzen₁ en J₂ aan de mazen. Vervolgens schrijven we de KVL-vergelijkingen, waarbij we de spanningen over de weerstanden uitdrukken volgens de wet van Ohm:

-V₁ + J₁* (R_i1+R₁) - J₂*R₁ = 0

V₂ - J₁*R₁ + J₂* (R + R₁) = 0

Numeriek:

-12 + J₁* 17 - J₂* 2 = 0

6 - J₁* 2 + J₂* 14 = 0

Express J₁ uit de eerste vergelijking: J₁ = en vervang dan in de tweede vergelijking: 6 - 2 * + * J 14₂ = 0

vermenigvuldig met 17: 102 - 24 + 4 * J₂ + 238 * J₂ = 0 Vandaar J₂ =

en J₁ =

Eindelijk, de vereiste stroom:

Laten we de resultaten controleren met TINA:

Laten we vervolgens het vorige voorbeeld opnieuw oplossen, maar met de meer algemene methode van lusstromen. Met behulp van deze methode worden de gesloten stroomlussen, genaamd lusstromen, worden niet noodzakelijkerwijs toegewezen aan de mazen van het circuit, maar aan willekeurig onafhankelijke loops. U kunt ervoor zorgen dat de lussen onafhankelijk zijn door ten minste één component in elke lus te hebben die niet in een andere lus zit. Voor planaire circuits is het aantal onafhankelijke lussen hetzelfde als het aantal meshes, wat gemakkelijk te zien is.

Een meer precieze manier om het aantal onafhankelijke lussen te bepalen is als volgt.

Gezien een circuit met b takken en N knooppunten. Het aantal onafhankelijke lussen l is:

l = b - N + 1

Dit volgt uit het feit dat het aantal onafhankelijke Kirchhoff-vergelijkingen gelijk moet zijn aan de vertakkingen in het circuit, en we weten al dat er alleen zijn N-1 onafhankelijke knooppuntvergelijkingen. Daarom is het totale aantal vergelijkingen van de Kirchhoff

b = N-1 + l en daarom l = b - N + 1

Deze vergelijking volgt ook uit de fundamentele stelling van de grafentheorie die later op deze site zal worden beschreven.

Laten we nu het vorige voorbeeld opnieuw oplossen, maar eenvoudiger door de lusstroommethode te gebruiken. Met deze methode zijn we vrij om lussen in meshes of andere lussen te gebruiken, maar laten we de lus met J behouden₁ in de linker mesh van het circuit. Voor de tweede lus kiezen we echter de lus met J_2, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding. Het voordeel van deze keuze is dat J₁ zal gelijk zijn aan de gevraagde stroom I, omdat dit de enige lusstroom is die door R1 gaat. Dit betekent dat we J2 niet hoeven te berekenen at all. Merk op dat, in tegenstelling tot "echte" stromen, de fysieke betekenis van lusstromen afhankelijk is van hoe we ze aan het circuit toewijzen.

De KVL-vergelijkingen:

J1 * (R₁+R_i1) + J2 * R _i1 - V₁ = 0

-V₁+ * R J1_i1+ J2 * (R + R_i) + V₂ = 0

en de vereiste stroom: I = J₁

Numerically: J1*(15+2)+J2*15-12 = 0

-12 + J1 * 15 + J2 * (15 + 12) + 6 = 0

Express J2 uit de tweede vergelijking:

Vervang in de eerste vergelijking:

Vandaar: J1 = I = 1 A

Verdere voorbeelden.

Voorbeeld 1

Zoek de huidige I in het onderstaande circuit.

Merk op dat de richting van deze lusstroom is niet met de klok mee omdat de richting wordt bepaald door de huidige bron. Aangezien deze lusstroom echter al bekend is, is het niet nodig om de KVL-vergelijking te schrijven voor de lus waar I_S1 is bezet.

Daarom is de enige vergelijking die moet worden opgelost:

-V₁ + I * R₂ + R₁ * (Ik - ik_S1) = 0

Vandaar

I = (V₁ + R₁ *I_S1) / (R₁ + R₂)

Numeriek

I=(10+20*4)/(20+10)=3 A

U kunt dit resultaat ook genereren door de symbolische analyse van TINA aan te roepen vanuit het menu Analyse / Symbolische analyse / DC-resultaat:

Of u kunt de KVL-vergelijking oplossen door de tolk:

Het volgende voorbeeld heeft 3 stroombronnen en is zeer eenvoudig op te lossen door middel van lusstromen.

Voorbeeld 2

Zoek de spanning V.

In dit voorbeeld kunnen we drie lusstromen kiezen, zodat elk door slechts één stroombron gaat. Daarom zijn alle drie lusstromen bekend en hoeven we alleen de onbekende spanning, V, uit te drukken.

De algebraïsche som van de stromen door R maken₃:

V = (I_S3 - Ik_S2) * R₃= (10-5) * 30 = 150 V. U kunt dit verifiëren met TINA :.

Klik / tik op het bovenstaande circuit om online te analyseren of klik op deze link om op te slaan onder Windows

Laten we vervolgens opnieuw een probleem aanpakken dat we al hebben opgelost in de De wetten van Kirchhoff en Knoop potentiële methode hoofdstukken.

Voorbeeld 3

Zoek de spanning V van de weerstand R₄.

Klik / tik op het bovenstaande circuit om online te analyseren of klik op deze link om op te slaan onder Windows

R₁ = R₃ = 100 ohm, R₂ = R₄ = 50 ohm, R₅ = 20 ohm, R₆ = 40 ohm, R₇ = 75 ohm.

Voor dit probleem waren in de voorgaande hoofdstukken minimaal 4 vergelijkingen nodig.

We lossen dit probleem op met de methode van lusstromen, we hebben vier onafhankelijke lussen, maar met de juiste keuze van lusstromen, zal een van de lusstromen gelijk zijn aan de bronstroom Is.

Op basis van de lusstromen in de bovenstaande afbeelding zijn de lusvergelijkingen:

V_S1+I₄* (R₅+R₆+R₇) - Ik_S*R₆ -IK₃* (R₅ + R₆) = 0

V_S2 - Ik₃* (R₁+R₂) - Ik_S*R₂ + I₂* (R₁ + R₂) = 0

-V_S1 + I₃* (R₁ + R₂ + R₃ + R₄ + R₅ + R₆) + I_S* (R₂ +R₄ + R₆) - Ik₄* (R₅ + R₆) - Ik₂* (R₁ + R₂) = 0

De onbekende spanning V kan worden uitgedrukt door de lusstromen:

V = R₄ * (I₂ + I₃)

Numeriek:

100 + I₄* 135-2 * 40-I₃* 60 = 0

150 + I₂* 150-2 * 50-I₃* 150 = 0

-100 + I₃* 360 + 2 * 140-I₄* 60-I₂* 150 = 0

V = 50 * (2 + I₃)

We kunnen de regel van Cramer gebruiken om dit systeem van vergelijkingen op te lossen:

I₄ = D₃/D

waar D de bepalende factor is voor het systeem. D_4, de determinant voor I_4, wordt gevormd door het vervangen van de rechterkant van het systeem wordt geplaatst voor de kolom van I₄'s coëfficiënten.

Het systeem van vergelijkingen in geordende vorm:

- 60 * ik₃ + 135 * I₄= -20

150 * I₂-150 * I₃ = - 50

-150 * I₂+ 360 * I₃ - 60 * I₄= - 180

Dus de bepalend D:

De oplossing van dit stelsel van vergelijkingen is:

V = R₄* (2 + I₃) = 34.8485 V

U kunt het antwoord bevestigen via het door TINA berekende resultaat.

Klik / tik op het bovenstaande circuit om online te analyseren of klik op deze link om op te slaan onder Windows

In dit voorbeeld is elke onbekende lusstroom een ​​vertakkingsstroom (I1, I3 en I4); dus het is gemakkelijk om het resultaat te controleren in vergelijking met de DC-analyseresultaten van TINA.