RESONANTE CIRCUITS

Een typische serie resonantiecircuit wordt getoond in de onderstaande figuur.

De totale impedantie:

In veel gevallen vertegenwoordigt R de verliesweerstand van de inductor, wat in het geval van luchtkernspoelen eenvoudigweg de weerstand van de wikkeling betekent. De bij de condensator behorende weerstanden zijn vaak te verwaarlozen.

De impedanties van de condensator en inductor zijn denkbeeldig en hebben een tegengesteld teken. Op de frequentie w₀ L = 1 /w₀C, het totale denkbeeldige deel is nul en daarom is de totale impedantie R, met een minimum bij de w₀frequentie. Deze frequentie wordt de serie resonantiefrequentie.

De typische impedantiekarakteristiek van het circuit wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Van de w₀L = 1 /w₀Cequation, de hoekfrequentie van de serieresonantie: of voor de frequentie in Hz:

f₀

Dit is de zogenaamde Thomson-formule.

Als R klein is in vergelijking met de X_L, X_C reactantie rond de resonantiefrequentie, verandert de impedantie scherp bij de serie resonantiefrequentieIn dit geval zeggen we dat het circuit goed is selectiviteit.

De selectiviteit kan worden gemeten door de kwaliteitsfactor Q Als de hoekfrequentie in de formule gelijk is aan de hoekfrequentie van resonantie, krijgen we de resonante kwaliteitsfactor Er is een meer algemene definitie van de kwaliteitsfactor:

De spanning over de inductor of condensator kan veel hoger zijn dan de spanning van het totale circuit. Bij de resonantiefrequentie is de totale impedantie van de schakeling:

Z = R

Ervan uitgaande dat de stroom door het circuit I is, is de totale spanning op het circuit

V_peuter= I * R

Echter de spanning op de inductor en de condensator

Daarom

Dit betekent dat bij de resonantiefrequentie de spanningen op de inductor en de condensator Q zijn₀ keer groter dan de totale spanning van de resonantiekring.

De typische run van de V_L, V_C spanningen worden weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Laten we dit demonstreren aan de hand van een concreet voorbeeld.

Voorbeeld 1

Zoek de frequentie van resonantie (f₀) en de resonante kwaliteitsfactor (Q₀) in het serieschakeling hieronder, als C = 200nF, L = 0.2H, R = 200 ohm en R = 5 ohm. Teken het fasordiagram en de frequentierespons van de spanningen.

Voor R = 200 ohm

Dit is een vrij lage waarde voor praktische resonantiecircuits, die normaal gesproken kwaliteitsfactoren hebben van meer dan 100. We hebben een lage waarde gebruikt om de werking gemakkelijker te demonstreren op een fasordiagram.

De stroom op de resonantiefrequentie I = V_s/ R = 5m>

De spanningen bij stroom van 5mA: V_R = V_s = 1 V

ondertussen: V_L = V_C = I *w₀L = 5 * 10^{-3 *}5000 * 0.2 = 5V

Laten we nu het fasordiagram bekijken door het te bellen vanuit het AC-analysemenu van TINA.

We gebruikten het Auto Label-hulpmiddel van het diagramvenster om de afbeelding te annoteren.

Het fasordiagram laat mooi zien hoe de spanningen van de condensator en inductor elkaar opheffen bij de resonantiefrequentie.

Laten we nu eens kijken naar V_Len V_Cversus frequentie.

Merk op dat V_L start vanaf nulspanning (omdat de reactantie nul is bij een frequentie nul) terwijl V_C begint bij 1 V (omdat de reactantie oneindig is bij een frequentie van nul). Op dezelfde manier V_L neigt naar 1V en V_Cnaar 0V op hoge frequenties.

Nu voor R = 5 ohms is de kwaliteitsfactor veel groter:

Dit is een relatief hoge kwaliteitsfactor, dicht bij de praktisch haalbare waarden.

De stroom op de resonantiefrequentie I = V_s/ R = 0.2A

ondertussen: V_L = V_C = I *w₀L = 0.2 * 5000 * 0.2 = 200

Wederom is de verhouding tussen de spanningen gelijk aan de kwaliteitsfactor!

Laten we nu gewoon V tekenen_L en V_C spanningen versus frequentie. Op het fasordiagram V_R zou te klein zijn in vergelijking met V_Len V_C

Zoals we kunnen zien, is de curve erg scherp en moesten we 10,000 punten plotten om de maximale waarde nauwkeurig te krijgen. Met behulp van een smallere bandbreedte op de lineaire schaal op de frequentie-as, krijgen we de meer gedetailleerde curve hieronder.

Laten we tot slot kijken naar de impedantiekarakteristiek van het circuit: voor verschillende kwaliteitsfactoren.

De onderstaande afbeelding is gemaakt met TINA door de spanningsgenerator te vervangen door een impedantiemeter. Stel ook een parameterstappenlijst in voor R = 5, 200 en 1000 ohm. Om parameterstappen in te stellen, selecteert u Besturingsobject in het menu Analyse, verplaatst u de cursor (die is veranderd in een weerstandssymbool) naar de weerstand in het schema en klikt u met de linkermuisknop. Om een ​​logaritmische schaal op de impedantie-as in te stellen, hebben we dubbel geklikt op de verticale as en schaal op logaritmisch ingesteld en de limieten op 1 en 10k.

PARALLE RESONANCE

Het zuivere parallelle resonantiecircuit wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Als we de verliesweerstand van de inductor negeren, vertegenwoordigt R de lekweerstand van de condensator. Zoals we hieronder zullen zien, kan de verliesweerstand van de inductor in deze weerstand worden omgezet.

De totale toelating:

De admittances (susceptances genoemd) van de condensator en inductor zijn imaginair en hebben een tegengesteld teken. Op de frequentie w₀C = 1 /w₀Lhet totale imaginaire deel is nul, dus de totale admittantie is 1 / R-zijn minimumwaarde en de totale impedantie heeft zijn maximale waarde. Deze frequentie wordt de parallelle resonantiefrequentie.

De totale impedantiekarakteristiek van de zuivere parallelle resonantieschakeling wordt weergegeven in de onderstaande figuur:

Merk op dat de impedantie verandert erg snel rond de resonantiefrequentie, ook al gebruikten we een logaritmische impedantie-as voor een betere resolutie. Dezelfde curve met een lineaire impedantieas wordt hieronder weergegeven. Merk op dat, gezien met deze as, de impedantie nog sneller lijkt te veranderen in de buurt van resonantie.

De susceptanties van de inductantie en capaciteit zijn gelijk, maar hebben een tegengesteld teken bij resonantie: B_L = B_C, 1 /w₀L = w₀C, vandaar de hoekfrequentie van de parallelle resonantie:

opnieuw bepaald door de Thomson-formule.

Oplossen voor de resonantiefrequentie in Hz:

Bij deze frequentie is de toegang Y = 1 / R = G en is deze minimaal (dwz de impedantie is maximaal). De stromingen door de inductie en capaciteit kan veel hoger zijn dan de actueel van het totale circuit. Als R relatief groot is, veranderen de spanning en toegang sterk rond de resonantiefrequentie. In dit geval zeggen we dat het circuit goed is selectiviteit.

Selectiviteit kan worden gemeten door de kwaliteitsfactor Q

Wanneer de hoekfrequentie gelijk is aan de hoekfrequentie van resonantie, krijgen we de resonante kwaliteitsfactor

Er is ook een meer algemene definitie van de kwaliteitsfactor:

Een andere belangrijke eigenschap van het parallelle resonantiecircuit is het bandbreedte. De bandbreedte is het verschil tussen de twee afsnijfrequenties, waarbij de impedantie daalt van zijn maximale waarde naar het maximum.

Aangetoond kan worden dat de Δf bandbreedte wordt bepaald door de volgende eenvoudige formule:

Deze formule is ook van toepassing op serieresonante circuits.

Laten we de theorie demonstreren aan de hand van enkele voorbeelden.

Voorbeeld 2

Vind de resonantiefrequentie en de resonantiekwaliteitsfactor van een zuivere parallelle resonantieschakeling waarbij R = 5 kohm, L = 0.2 H, C = 200 nF.

De resonantiefrequentie:

en de resonante kwaliteitsfactor:

Overigens is deze kwaliteitsfactor gelijk aan I_L /I_R bij de resonantiefrequentie.

Laten we nu het impedantiediagram van het circuit tekenen:

De eenvoudigste manier is om de huidige bron te vervangen door een impedantiemeter en een AC Transfer-analyse uit te voeren.

<

De "zuivere" parallelle schakeling hierboven was heel gemakkelijk te onderzoeken aangezien alle componenten parallel waren. Dit is vooral belangrijk wanneer het circuit is verbonden met andere onderdelen.

In dit circuit werd echter niet rekening gehouden met de serieverliesweerstand van de spoel.

Laten we nu eens kijken naar het volgende zogenaamde "echte parallelle resonantiecircuit", met de serieverliesweerstand van de spoel aanwezig, en leren hoe we deze kunnen transformeren in een "puur" parallel circuit.

De equivalente impedantie:

Laten we deze impedantie onderzoeken bij de resonantiefrequentie waar 1-w₀²LC = 0

We gaan er ook van uit dat de kwaliteitsfactor Q_o = w_oL / R_L>> 1.

Sinds bij resonante frequentiew₀L = 1 /w₀C

Z_eq=Q_o² R_L

Omdat in de pure parallelle resonantiecircuit op de resonantiefrequentie Z_eq = R, het echte parallelle resonantiecircuit kan worden vervangen door een puur parallel resonantiecircuit, waarbij:

R = Q_o² R_L

Voorbeeld 3

Vergelijk de impedantiediagrammen van een echte parallel en zijn equivalent zuivere parallelle resonantiecircuit.

De resonante (Thomson) frequentie:

Het impedantiediagram is als volgt:

De equivalente parallelle weerstand: R_eq = Q_o² R_L = 625 ohm

Het equivalente parallelle circuit:

Het impedantiediagram:

Als we tenslotte kopiëren en plakken gebruiken om beide curven in één diagram te zien, krijgen we de volgende afbeelding waar de twee curven samenvallen.

De berekende waarde:

Z_max = 625 ohm. De impedantielimieten die de afsnijfrequenties definiëren, zijn:

Het verschil tussen de AB-cursors is 63.44 Hz, wat in zeer goede overeenstemming is met het theoretische resultaat van 63.8 Hz, zelfs rekening houdend met de onnauwkeurigheid van de grafische procedure.