KOMPLETTE NUMMER

Klikk eller trykk på Eksempel kretsene nedenfor for å påkalle TINACloud og velg Interaktiv DC-modus for å analysere dem på nettet.
Få billig tilgang til TINACloud for å redigere eksemplene eller opprette dine egne kretser

I dette og de følgende kapitlene presenterer vi et svært viktig tema: AC, eller vekselstrøm. Navnet vekselstrøm er ikke veldig presis og dekker normalt kretser med sinusformede spenninger og strømmer; Vekselstrøm kan imidlertid også bety enhver vilkårlig strømbølgeform. Betydningen av vekselstrøm er at denne typen spenning brukes til hovedstrømkilden i hjem og industri over hele verden. Det er også grunnlaget for mange elektronikk, telekommunikasjon og industrielle applikasjoner.

For å håndtere sinusformede bølgeformer og kretsene som er forbundet med dem, vil vi bruke en enkel og elegant metode kalt metoden for fasorer. Fasorer er basert på egenskapene til komplekse tall, som er ideelle for å representere sinusformede mengder. I dette kapittelet vil vi oppsummere de viktigste fakta om komplekse tall og deres drift. Vi vil også vise hvordan TINAs tolk gjør det enkelt å gjøre beregninger med komplekse tall.

Komplekse tall består av to deler, a ekte del (x), som er et reelt tall, og en såkalt imaginær del (y), som er et reelt tall multiplisert med , den imaginære enheten. Det komplekse tallet zkan derfor beskrives som:

z = x + jy

hvor .

Eksempler på komplekse tall:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Komplekse tall ble opprinnelig introdusert i det syttende århundre for å representere røttene til polynomer som ikke kunne representeres med reelle tall alene. For eksempel røttene til ligningen x² + 2x + 2 = 0 kan bare beskrives som og , eller bruk notasjonen , z₁= 1 + j og z₂= 1- j. Ved å bruke den nye notasjonen for å undersøke egenskapene til uttrykk, kunne matematikere bevise teoremer og løse problemer som til da hadde vært vanskelig, om ikke umulig å løse. Dette førte til utdyping av komplekse algebra og komplekse funksjoner, som nå er mye brukt i matematikk og ingeniørfag.

Geometrisk representasjon av komplekse tall

Rektangulær form

Fordi et komplekst antall alltid kan skilles opp i dets virkelige og komplekse deler, kan vi representere et komplekst tall som et punkt på et todimensjonalt plan. Den virkelige delen av et komplekst tall er projeksjonen av punktet på den virkelige aksen, og den imaginære delen av tallet er projeksjonen på den imaginære aksen. Når et komplekst tall er representert som summen av virkelige og imaginære deler, sier vi at det er i rektangulær or algebraisk form.

Følgende figur viser det komplekse tallet z = 2 + 4j

Polar og eksponensiell form

Som du ser av figuren over, kan punktet A også være representert med pilens lengde, r (også kalt den absolutte verdien, størrelsen eller amplituden) og dens vinkel (eller fase), φ relativt i moturs retning til den positive horisontale aksen. Dette er polar form av et komplekst tall. Det er betegnet som r ∠ φ.

Det neste trinnet er veldig viktig. Et komplekst tall i polarform kan også skrives inn eksponentiell form:

Dette enkle uttrykket er særegent ved at det har et tenkt nummer i eksponenten i stedet for det vanlige reelle tallet. Dette komplekse eksponentielle oppfører seg veldig forskjellig fra eksponentiell funksjon med et reelt argument. Mens e^x vokser raskt i størrelse for å øke x> 0 og reduseres for x <0, funksjonen har samme størrelse (z = 1) for alle φ. Videre ligger dens komplekse verdier på enhetssirkelen.

Eulers formel gir en forening mellom de rektangulære, polare og eksponentielle former for komplekse tall:

z = x + jy = re ^jφ = r (cos φ + j synd φ )

hvor

og φ = tan^-1 (Y / x).

For vårt eksempel ovenfor, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1 (4 / 2) = 63.4 °

derfor .

Eller vice versa:

Du må være dyktig til å bruke begge skjemaene, avhengig av søknad. For eksempel er tillegg eller subtraksjon åpenbart lettere å gjøre når tallene er i rektangulær form, mens multiplikasjon og inndeling er lettere å gjøre når tallene er i eksponentiell form.

Operasjoner med komplekse tall

Operasjonene som kan utføres med komplekse tall, ligner de som for reelle tall. Reglene og noen nye definisjoner er oppsummert nedenfor.

Operasjoner med j

Operasjonene med j bare følg fra definisjonen av den imaginære enheten,

For å kunne jobbe raskt og nøyaktig, bør du huske disse reglene:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Kompleks konjugat

Det komplekse konjugatet av et komplekst tall er lett avledet og er ganske viktig. For å oppnå det komplekse konjugatet av et komplekst tall i rektangulær form, endre bare tegnet på den imaginære delen. For å gjøre det for et tall i eksponentiell form, endre tegnet på vinkelen til det komplekse tallet samtidig som dets absolutte verdi blir det samme.

Det komplekse konjugatet av et komplekst tall z er ofte betegnet av z^*.

Gitt det komplekse tallet z= A + jb, dens komplekse konjugat er z^*= a- jb.

If z er gitt i eksponentiell form, , dens komplekse konjugat er

Ved å bruke definisjonene ovenfor er det lett å se at et komplekst tall multiplisert med dets komplekse konjugat gir kvadratet av den absolutte verdien av det komplekse tallet:

zz^* = r² = a^{2 +} b²

Også, ved å legge til eller subtrahere noe komplekst tall og dets konjugat, får vi følgende relasjoner:

z + z ^* = 2a

derfor

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

På samme måte:

z - z ^* =j2b

derfor

Jeg er(z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Numeriske eksempler:

I rektangulær form:

z = + 3 j4

z^* = 3- j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

I polar form

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠ - 53.13 °

I eksponentiell form:

Addisjon og subtraksjon

Tilsetning og subtraksjon av komplekse tall er grei - vi trenger bare å legge de virkelige og imaginære delene hver for seg. For eksempel, hvis

z₁ = 3 - 4j og z₂ = 2 + 3j

deretter

z₁ + z₂ = 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂ = 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Det er klart at vi bør bruke den rektangulære formen for disse operasjonene. Hvis tallene er gitt i eksponentiell eller polar form, bør vi transformere dem først til rektangulær form ved å bruke Eulers formel, som gitt tidligere.

Multiplikasjon

Det er to metoder for multiplikasjon av komplekse tall -

Multiplikasjon av komplekse tall gitt i rektangulær form

For å utføre operasjonen, multipliser ganske enkelt de virkelige og imaginære delene av det ene tallet etter tur med de reelle og imaginære delene av det andre nummeret og bruk identiteten j² = -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂ + j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Når de komplekse tallene er oppgitt numerisk, er det ikke nødvendig å bruke formelen ovenfor. For eksempel, la

z₁ = 3 - 4j og z₂ = 2 + 3j

Med direkte multiplikasjon av komponentene:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6-8j +9j + 12 = 18 + j

eller bruke formelen: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂ + j(b₁a₂+ B₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Vi tror du er mer sannsynlig å lage en feil hvis du bruker formelen enn hvis du multipliserer komponentene direkte.

Multiplikasjon av komplekse tall gitt i polar eller eksponentiell form

For å utføre denne operasjonen multipliserer du de absolutte verdiene og legger vinklene til de to komplekse tallene. La:

Deretter bruker du regelen for multiplikasjon av eksponentielle funksjoner:

eller i polar form

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ φ₁ + φ₂

Merk: Vi har allerede brukt denne regelen når vi har beregnet zz ^*ovenfor. Siden konjugatets vinkel har det motsatte tegnet på den opprinnelige vinkelen, er et komplekst tall multiplisert med sitt eget konjugat alltid et reelt tall; nemlig kvadratet med dens absolutte verdi: zz ^* = r²

For eksempel, la:

z₁ = 5 ∠ 30 ° og z₂ = 4 ∠ -60 °

deretter

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

eller i eksponentiell form

Multiplikasjon er åpenbart enklere når tallene er i polar eller eksponentiell form.

Imidlertid, hvis de komplekse tallene er gitt i rektangulær form, bør du vurdere å utføre multiplikasjonen direkte som vist ovenfor, siden det er flere trinn hvis du konverterer tallene til polarform før du multipliserer dem. En annen faktor å vurdere er om du vil at svarene skal være i rektangulær form eller i polar / eksponentiell form. For eksempel, hvis de to tallene er i rektangulær form, men du vil at produktene deres i polar form, er det fornuftig å konvertere dem umiddelbart og deretter multiplisere dem.

Divisjon

Det er to metoder for deling av komplekse tall -

Divisjon av komplekse tall gitt i rektangulær form

For å utføre operasjonen multipliserer du telleren og nevneren med konjugatet til nevneren. Nevneren blir et reelt tall og divisjonen reduseres til multiplikasjon av to komplekse tall og en divisjon med et reelt tall, kvadratet for den absolutte verdien til nevneren.

For eksempel la:

z₁ = 3 - 4j og z₂ = 2 + 3j

La oss sjekke dette resultatet med TINAs tolk:

Divisjon av komplekse tall gitt i polar eller eksponentiell form

For å utføre operasjonen, del opp de absolutte verdiene (størrelser) og trekk vinkelen til nevnen fra tellerens vinkel. La:

Deretter bruker du regelen for deling av eksponentielle funksjoner

eller i polar form

z ₁ / z₂ = r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

For eksempel, la:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° og z ₂ = 2 ∠ -60 °

deretter

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

eller i eksponentielle og rektangulære former

La oss sjekke dette resultatet med TINAs tolk:

Inndeling er åpenbart enklere når tallene er i polar eller eksponentiell form.

Imidlertid, hvis de komplekse tallene er gitt i rektangulær form, bør du vurdere å utføre delingen direkte ved å bruke den komplekse konjugerte metoden som vist ovenfor, siden det er flere trinn hvis du konverterer tallene til polarform før du deler dem. En annen faktor å vurdere er om du vil at svarene skal være i rektangulær form eller i polar / eksponentiell form. For eksempel, hvis de to tallene er i rektangulær form, men du vil at kvotienten deres i polar form, er det fornuftig å konvertere dem umiddelbart og deretter dele dem.

La oss nå illustrere bruken av komplekse tall ved flere numeriske problemer. Som vanlig vil vi sjekke våre løsninger ved hjelp av TINAs tolk. Tolken fungerer med radianer, men den har standardfunksjoner for konvertering av radianer til grader eller omvendt.

Eksempel 1 Finn polarrepresentasjonen:

z = 12 - j 48

eller 49.48 ∠ - 75.96 °

Eksempel 2 Finn den rektangulære representasjonen:

z = 25 e ^{j 125 °}

Eksempel 3 Finn polarrepresentasjonen av følgende komplekse tall:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

De absolutte verdiene for alle fire tallene er de samme fordi den absolutte verdien er uavhengig av tegnene. Bare vinklene er forskjellige.

TINAs bue () -funksjon bestemmer vinkelen til et hvilket som helst komplekst tall, og plasserer det automatisk riktig i en av de fire kvadrantene.

Vær forsiktig, men bruk brunfargen^-1 funksjon for å finne vinkelen, siden den bare er begrenset til returvinkler i første og fjerde kvadrant (–90 °φ<90 °).

Siden z₁ ligger i den første kvadranten til koordinatsystemet, er beregningen:

α ₁ = tan^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

Siden z₄ ligger i den tredje kvadranten av koordinatsystemet, brunfarge^-1vinkler ikke vinkelen riktig. Vinkelberegningen er:

α ₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° eller -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, som er det samme som beregnet av TINA.

z₂ ligger i den fjerde kvadranten av koordinatsystemet Vinkelsberegningen er:

α ₂ = tan^-1(-48 / 12) = tan^-1(-4) = -75.96 °

z_3, Det er imidlertid i 2nd-kvadranten i koordinatsystemet, så brun^-1 Vinkelen vender ikke riktig. Vinkelberegningen er:

α ₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Eksempel 4 Vi har to komplekse tall: z₁= 4 - j 6 og z₂ = 5 e^{j45 °} .

Finn z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Først løser vi problemet ved å bruke TINAs tolk

Legg merke til hvordan TINA enkelt håndterer de to komplekse tallene gitt i ulike former.

Løsningen er mer komplisert uten tolk. Slik at vi kan sammenligne de forskjellige metodene for multiplikasjon og deling, vil vi først bestemme den polare formen for z₁ og den rektangulære formen av z₂ .

Deretter finner vi de fire løsningene som bruker de enkleste formene først: rektangulære for addisjon og subtraksjon, og eksponentiell for multiplikasjon og deling:

z ₃ = z₁ + z₂ = 4 - j 6 + 3.535 + j 3.535 = 7.535 - j2.465

z ₄ = z₁ - z₂ = 4 - j 6 - 3.535 - j 3.535 = 0.465 - j9.535

z ₅ = z₁ * z₂ = 7.21 * 5 * e^{j(-56.31 ° + 45 °)} = 36.05 e ^{-j11.31 °} = 36.03 * (cos (-11.31 °) +j* synd (-11.31 °))

z ₅ = 35.33 - j 7.07

z ₆ = z₁/z₂= (7.21 / 5) * e ^{j (-56.31 ° -45 °)} = 1.442 e ^{- j 101.31 °} = 1.442 (cos (-101.31 °) +j* synd (-101.31 °))

z ₆ = -0.2828 - j 1.414

som er enige med resultatene som er oppnådd med TINA-tolken.

Multiplikasjonen utføres i rektangulær form:

z ₅ =z₁*z₂ = (4-j6) * 3.535 * (1 +j) = 7.07 * (2-j3) * (1 +j) = 7.07 * (2-j3+j2 + 3) = 7.07 * (5-j) = 35.35-j7.07

Endelig utført divisjonen i rektangulær form:

som er enig med de tidligere resultatene.