KIRCHHOFF'S LOVER

Klikk eller trykk på Eksempel kretsene nedenfor for å påkalle TINACloud og velg Interaktiv DC-modus for å analysere dem på nettet.
Få billig tilgang til TINACloud for å redigere eksemplene eller opprette dine egne kretser

SUPERPOSITION THEOREM

NODE POTENTIAL METODE

Mange kretsløp er for kompliserte til å løses ved å bruke reglene for serie- eller parallelle kretsløp eller teknikkene for konvertering til enklere kretsløp beskrevet i tidligere kapitler. For disse kretsløpene trenger vi mer generelle løsningsmetoder. Den mest generelle metoden er gitt av Kirchhoffs lover, som tillater beregning av alle kretsspenninger og strømninger i kretsløp ved en løsning av et system med lineære ligninger.

Det er to Kirchhoff lover, spenningsloven og dagens lov. Disse to lovene kan brukes til å bestemme alle spenninger og strømmer i kretsløp.

Kirchhoffs spenningslov (KVL) sier at den algebraiske summen av spenningen stiger og spenningen faller rundt en sløyfe må være null.

En sløyfe i definisjonen ovenfor betyr en stengt bane i kretsen; det vil si en bane som etterlater en node i en retning og går tilbake til den samme noden fra en annen retning.

I eksemplene våre vil vi bruke medurs retning for løkker; Imidlertid oppnås de samme resultatene hvis retning mot klokken brukes.

For å bruke KVL uten feil, må vi definere den såkalte referanseretningen. Referanseretningen til de ukjente spenningene peker fra + til - tegnet for antatte spenninger. Se for deg å bruke et voltmeter. Du plasserer voltmeter-positiv sonde (vanligvis rød) på komponentens referanse + terminal. Hvis den virkelige spenningen er positiv, er den i samme retning som vi antok, og både løsningen vår og voltmeteret vil vise en positiv verdi.

Når vi avleder den algebraiske summen av spenningene, må vi tilordne et plussignal til de spenningene der referanseretningen stemmer overens med retningen på løkken, og negative tegn i motsatt tilfelle.

En annen måte å oppgi Kirchhoffs spenningslov er: den påførte spenningen til en seriekrets tilsvarer summen av spenningsfallene over serieelementene.

Følgende korte eksempel viser bruken av Kirchhoffs spenningslov.

Finn spenningen over motstand R_2, gitt at kildespenningen, V_S = 100 V og at spenningen over motstand R₁er V₁ = 40 V.

Figuren nedenfor kan opprettes med TINA Pro versjon 6 og over, der tegneverktøy er tilgjengelige i den skjematiske redigereren.

Løsningen ved å bruke Kirchhoffs spenningslov: -V_S + V₁ + V₂= 0, eller V_S = V₁ + V₂

dermed: V₂ = V_S - V₁ = 100-40 = 60V

Legg merke til at vi vanligvis ikke kjenner spenningen til motstandene (med mindre vi måler dem), og vi må bruke begge Kirchhoffs lover for løsningen.

Kirchhoffs gjeldende lov (KCL) sier at den algebraiske summen av alle strømmer som kommer inn og forlater en hvilken som helst nod i en krets, er null.

I det følgende gir vi et + tegn til strømmer som forlater en node og a - tegn til strømmer som kommer inn i en node.

Her er et grunnleggende eksempel som demonstrerer Kirchhoffs gjeldende lov.

Finn den nåværende I₂ hvis kilden er nåværende I_S = 12 A, og jeg₁ = 8 A.

Bruke Kirchhoffs nåværende lov ved kretsnoden: -I_S + I₁ + I₂ = 0, derfor: I₂= I_S - JEG₁ = 12 - 8 = 4 A, som du kan sjekke med TINA (neste figur).

I neste eksempel vil vi bruke både Kirchhoffs lover pluss Ohms lov for å beregne strømmen og spenningen over motstandene.

I figuren nedenfor vil du merke deg Spennings pil over motstander. Dette er en ny komponent tilgjengelig i Versjon 6 av TINA og fungerer som et voltmeter. Hvis du kobler den på tvers av en komponent, bestemmer pilen referanseretningen (for å sammenligne med et voltmeter, kan du tenke deg å plassere den røde sonden ved pilens hale og den sorte sonden på spissen). Når du kjører DC-analyse, vil den faktiske spenningen på komponenten vises på pilen.

Klikk / trykk på kretsen ovenfor for å analysere on-line eller klikk denne lenken for å lagre under Windows

For å begynne å bruke Kirchhoffs gjeldende lovverk, ser vi at strømningene gjennom alle komponentene er de samme, så la oss betegne den strømmen av jeg.

I følge Kirchhoffs spenningslov: V_S = V₁+V₂+V₃

Nå bruker Ohms lov: V_S= I * R₁+ I * R₂+ I * R₃

Og herfra strømmen til kretsen:

I = V_S/ (R₁+R₂+R₃) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Til slutt spenningene til motstandene:

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = Jeg * R₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = Jeg * R₃ = 2 * 30 = 60 V

De samme resultatene vil bli sett på Voltage Arrows ved å bare kjøre TINAs interaktive DC-analyse.

I denne neste, mer komplekse kretsen, bruker vi også både Kirchhoffs lover og Ohms lov, men vi opplever at vi mest løser et lineært ligningssystem.

Det totale antallet uavhengige anvendelser av Kirchhoffs lover i en krets er antall kretsgrener, mens det totale antallet ukjente (strømmen og spenningen til hver gren) er det dobbelte av det. Ved å også bruke Ohms lov ved hver motstand og de enkle ligningene som definerer de påførte spenninger og strømmer, får vi et ligningssystem hvor antallet ukjente er det samme som antall ligninger.

Finn grenstrømmene I1, I2, I3 i kretsen nedenfor.

Klikk / trykk på kretsen ovenfor for å analysere on-line eller klikk denne lenken for å lagre under Windows

Settet av ligninger følger:

Nodal ligningen for den sirklede knutepunktet:

- I₁- I₂- JEG₃ = 0

eller multiplisere med -1

I₁+ I₂+ I₃ = 0

Løkkeekvipasjene (ved bruk av retning med urviseren) for løkken L1, som inneholder V₁, R₁ og R₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

og for kretsen L2, som inneholder V₂, R₂ og R₃

I₃*R₃ - JEG₂*R₂ +V₂ = 0

Ved å erstatte komponentverdiene:

I₁+ I₂+ I₃ = 0 -8 + 40 * Jeg₁ - 40 * I₃ = 0 40 * Jeg₃ -20 * Jeg₂ + 16 = 0

Uttrykk jeg₁ bruker nodal ligningen: I₁ = -I₂ - JEG₃

deretter erstatte den inn i den andre ligningen:

-V₁- (JEG₂ + I₃) * R₁ -JEG₃*R₃ = 0 or -8- (I₂ + I₃) * 40 - I₃* 40 = 0

Uttrykk jeg₂ og erstatte den i den tredje ligningen, hvorfra du allerede kan beregne I₃:

I₂ = - (V.₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ or I₂ = - (8 + I₃* 80) / 40

I₃*R₃ + R₂* (V₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + I₃* 80) / 40 + 16 = 0

Og: I₃ = - (V.₂ + V₁*R₂/R₁) / (R₃+ (R₁+R₃) * R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Derfor I₃ = - 0.25 A; I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A og I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 A.

Eller: I₁ = -50 mA; I₂ = 300 mA; I₃ = -250 mA.

La oss nå løse de samme likningene med TINAs tolk:

{Løsning av TINAs tolk}
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
ende;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

#Løsning av Python
importer numpy som np,sympy som s
#Vi har et lineært system av
#ligninger som vi ønsker å løse:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
print (sol)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
print(“I1= %.3f”%x[0])
#I2
print(“I2= %.3f”%x[1])
#I3
print(“I3= %.3f”%x[2])

La oss endelig sjekke resultater ved hjelp av TINA:

La oss deretter analysere følgende enda mer komplekse krets og bestemme grenstrømmer og spenninger.

Klikk / trykk på kretsen ovenfor for å analysere on-line eller klikk denne lenken for å lagre under Windows

La oss betegne de ukjente spenningene og strømningene ved å legge til spennings- og strømpiler til komponenter, og også vise løkkene (L1, L2, L3) og nodene (N1, N2) der vi vil bruke Kirchhoffs ligninger.

Klikk / trykk på kretsen ovenfor for å analysere on-line eller klikk denne lenken for å lagre under Windows

Her er settet av Kirchhoff-ligninger for løkkene (ved hjelp av retning med urviseren) og nodene.

-I_L+ I_R1- JEG_s= 0(for N1)

- JEG_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (for N2)

-V_s1- V_R3+ V_Is+ V_L = 0 (for L1)

-V_Is+ V_s2 +V_R2+V_R1 = 0 (for L2)

-V_R2- V_s2+ V_s3 = 0 (for L3)

Bruke Ohms lov:

V_L= I_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = I_R2*R₂

V_R3 = - Jeg_L*R₃

Dette er 9 ukjente og 9 ligninger. Den enkleste måten å løse dette på er å bruke TINA-er

tolk. Imidlertid, hvis vi blir presset til å bruke håndberegninger, legger vi merke til at dette settet med ligninger lett kan reduseres til et system med 5 ukjente ved å erstatte de siste 4 ligningene i L1, L2, L3 loop ligninger. Ved å legge til ligninger (L1) og (L2), kan vi eliminere V_Is, reduserer problemet til et system med 4-ligninger for 4 ukjente (I_L,I_R1 I_R2,I_s3). Når vi har funnet disse strømningene, kan vi enkelt bestemme V_L, V_R1, V_R2, og V_R3 ved hjelp av de fire siste ligningene (Ohms lov).

Å erstatte V_L,V_R1,V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ I_R1- JEG_s= 0(for N1)

- JEG_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (for N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ V_Is+ I_L*R_L = 0 (for L1)

-V_Is+ V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (For L2)

- JEG_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (for L3)

Legge til (L1) og (L2) vi får

-I_L+ I_R1- JEG_s= 0(for N1)

- JEG_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (for N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ I_L*R_L + V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

- JEG_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (for L3)

Etter å ha erstattet komponentverdiene, kommer løsningen på disse ligningene lett.

-I_L+I_R1- 2 = 0 (for N1)

-I_R1 + I_R2 + I_S3 = 0 (for N2)

-120 - + I_L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0 (L₁) + (L.₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 (for L₃)

fra L₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

fra N₂ I_S3 - JEG_R1 = - 5.25 (II)

fra L₁+L₂ 110 jeg_L + 30 I_R1 = -150 (III)

og for N₁ I_R1 - JEG_L = 2 (IV)

Multipliserer (IV) med -30 og legger til (III) 140 jeg_L = -210 derav I_L = - 1.5 A.

Erstatter I_L inn i (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

og jeg_R1 inn (II) I_S3 = -5.25 + I_R1 = -4,75 A

Og spenningene: V_R1 = I_R1*R₁ = 15 V; V_R2 = I_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = - Jeg_L*R₃= 135 V; V_L = I_L*R_L = - 30 V; V_Is = V_S1+V_R3-V_L = 285 V

{Løsning av de opprinnelige ligningene av TINAs tolk}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-Il-Er + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -il * R3
VL = IL * RL
ende;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VI'er = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#Løsning av Python
#Ax=b
importer numpy som np,sympy som s
#Symbolisk løsning med numpy.solve
#ligninger:
#IL=-Er+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Løs for:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Er+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
print (sol)

#En annen metode for å løse ved å bruke numpy.linalg
A=np.array(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print(“IL= %.3f”%x[0])
print(“IR1= %.3f”%x[1])
print(“IR2= %.3f”%x[2])
print(“Is3= %.3f”%x[3])
print(“Vis= %.3f”%x[4])
print(“VL= %.3f”%x[5])
print(“VR1= %.3f”%x[6])
print(“VR2= %.3f”%x[8])
print(“VR3= %.3f”%x[7])

Løsning av det reduserte settet av ligninger ved bruk av tolk:

{Løsning av det reduserte settet med ligninger av TINAs tolk}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
ende;
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

Vi kan også legge inn uttrykk for spenningene og få TINAs tolk til å beregne dem:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Vl: = Il * RL;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
VI'er: = Vs1-Vl + Vr3;
Vl = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VI'er = [285]

Vi kan sjekke resultatet med TINA ved å bare slå på TINAs DC interaktive modus eller bruke Analyse / DC Analyse / Nodalspenninger

SUPERPOSITION THEOREM

NODE POTENTIAL METODE