LICZBY ZESPOLONE

Kliknij lub dotknij poniższych obwodów, aby wywołać TINACloud i wybierz tryb Interaktywny DC, aby przeanalizować je online.
Uzyskaj niski koszt dostępu do TINACloud, aby edytować przykłady lub tworzyć własne obwody

METODY BIEŻĄCE I PĘTLI

ZASADY ZMIANY BIEŻĄCEJ

W tym i kolejnych rozdziałach przedstawimy bardzo ważny temat: prąd zmienny lub prąd przemienny. Nazwa prąd przemienny nie jest zbyt precyzyjna i zwykle obejmuje obwody o sinusoidalnych napięciach i prądach; jednak prąd przemienny może również oznaczać dowolny przebieg prądu arbitralnego. Znaczenie napięcia przemiennego polega na tym, że ten rodzaj napięcia jest wykorzystywany w głównym źródle energii elektrycznej w domach i przemyśle na całym świecie. Jest także podstawą wielu zastosowań elektronicznych, telekomunikacyjnych i przemysłowych.

Do obsługi przebiegów sinusoidalnych i związanych z nimi obwodów wykorzystamy prostą i elegancką metodę zwaną fazorami. Wskaźniki są oparte na właściwościach liczb zespolonych, które są idealne do reprezentowania wielkości sinusoidalnych. W tym rozdziale podsumujemy główne fakty dotyczące liczb zespolonych i ich operacji. Pokażemy również, jak Interpreter TINA ułatwia wykonywanie obliczeń z liczbami zespolonymi.

Liczby złożone składają się z dwóch części, a prawdziwa część (x), która jest liczbą rzeczywistą i tzw część wyobrażona (y), która jest liczbą rzeczywistą pomnożoną przez , jednostka urojona. Liczba zespolona zdlatego można opisać jako:

z = x + jy

gdzie .

Przykłady liczb zespolonych:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Liczby zespolone zostały pierwotnie wprowadzone w XVII wieku, aby przedstawić korzenie wielomianów, których nie można przedstawić za pomocą samych liczb rzeczywistych. Na przykład pierwiastki równania x²+ 2x + 2 = 0 można opisać tylko jako i lub używając notacji , z₁= 1 + j i z₂= 1- j. Korzystając z nowej notacji do badania właściwości wyrażeń, matematycy byli w stanie udowodnić twierdzenia i rozwiązać problemy, które do tej pory były trudne, a nawet niemożliwe do rozwiązania. Doprowadziło to do opracowania złożonej algebry i złożonych funkcji, które są obecnie szeroko stosowane w matematyce i inżynierii.

Reprezentacja geometryczna liczb zespolonych

Prostokątna forma

Ponieważ liczbę zespoloną zawsze można podzielić na jej rzeczywistą i złożoną część, możemy przedstawić liczbę zespoloną jako punkt na płaszczyźnie dwuwymiarowej. Rzeczywistą częścią liczby zespolonej jest rzutowanie punktu na rzeczywistą oś, a urojoną częścią liczby jest rzutowanie na wyobrażoną oś. Kiedy liczba zespolona jest reprezentowana jako suma części rzeczywistych i urojonych, mówimy, że jest w prostokątny or forma algebraiczna.

Poniższy rysunek przedstawia liczbę zespoloną z = 2 + 4j

Forma polarna i wykładnicza

Jak widać na powyższym rysunku, punkt A może być również reprezentowany przez długość strzałki, r (zwany także wartością bezwzględną, wielkością lub amplitudą) i jego kątem (lub fazą), φ względem w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara do dodatniej osi poziomej. To jest polarny postać liczby zespolonej. Jest oznaczony jako r ∠ φ.

Następny krok jest bardzo ważny. Można również wpisać liczbę zespoloną w formie biegunowej wykładniczy Formularz:

To proste wyrażenie wyróżnia się tym, że ma wykładnik zamiast zwykłej liczby rzeczywistej. Ten złożony wykładniczy zachowuje się bardzo inaczej niż funkcja wykładnicza z prawdziwym argumentem. Podczas gdy e^x rośnie szybko pod względem wielkości przy wzroście x> 0 i maleje przy x <0, funkcja ma taką samą wielkość (z = 1) dla dowolnego φ. Ponadto jego złożone wartości leżą na kole jednostkowym.

Formuła Eulera zapewnia łączące połączenie między prostokątnymi, biegunowymi i wykładniczymi formami liczb zespolonych:

z = x + jy = re ^jφ = r (cos φ + j grzech φ )

gdzie

i φ = opalenizna^-1(y / x).

W naszym przykładzie powyżej z = 2 + 4j:

φ = opalenizna^-1(4 / 2) = 63.4 °

w związku z tym .

Lub odwrotnie:

Musisz być biegły w korzystaniu z obu formularzy, w zależności od aplikacji. Na przykład dodawanie lub odejmowanie jest oczywiście łatwiejsze, gdy liczby są w kształcie prostokąta, podczas gdy mnożenie i dzielenie jest łatwiejsze, gdy liczby są w postaci wykładniczej.

Operacje na liczbach zespolonych

Operacje, które można wykonać na liczbach zespolonych, są podobne do operacji na liczbach rzeczywistych. Reguły i niektóre nowe definicje zostały podsumowane poniżej.

Operacje z j

Operacje z j po prostu postępuj zgodnie z definicją jednostki urojonej,

Aby móc pracować szybko i dokładnie, powinieneś zapamiętać te zasady:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

Dowód:

j² = -1 po prostu wynika z definicji , od

Dla 1 /j, mnożymy 1 /jby j / j = 1 i pobierz j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Koniugat złożony

Złożona sprzężona liczba złożona jest łatwa do uzyskania i jest dość ważna. Aby uzyskać złożoną koniugację liczby zespolonej w formie prostokątnej, wystarczy zmienić znak części urojonej. Aby to zrobić dla liczby w formie wykładniczej, zmień znak kąta liczby zespolonej, zachowując tę samą wartość bezwzględną.

Koniugat złożony liczby zespolonej z jest często oznaczane przez z^*.

Biorąc pod uwagę liczbę zespoloną z= a + jb, jego złożony koniugat jest z^*= a– jb.

If z jest podane w formie wykładniczej, , jego złożony koniugat jest

Korzystając z powyższych definicji, łatwo zauważyć, że liczba zespolona pomnożona przez jej sprzężony kompleks daje kwadrat wartości bezwzględnej liczby zespolonej:

zz^* = r²= a^{2 +}b²

Ponadto, dodając lub odejmując dowolną liczbę zespoloną i jej koniugat, otrzymujemy następujące relacje:

z + z ^* = 2a

w związku z tym

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Podobnie:

z - z ^* =j2b

w związku z tym

Jestem (z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

Dowód:

lub mnożenie rzeczywistych i wyimaginowanych części i używanie j²= -1

zz^* = (a + jb) (a - jb) = a²+a jb - a jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = a + jb + a - jb = 2a

z - z^*= a + jb - a + jb =j2b

Przykłady liczbowe:

W formie prostokątnej:

z = 3 + j4

z^* = 3– j4

zz ^* = 9 + 16 = 25

W formie polarnej

z = 5 - 53.13 °

z ^* = 5 ∠ - 53.13 °

W formie wykładniczej:

Dodawanie i odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych jest proste - wystarczy dodać osobne części rzeczywistą i urojoną osobno. Na przykład jeśli

z₁ = 3 - 4j i z₂= 2 + 3j

następnie

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Oczywiście do tych operacji powinniśmy użyć formy prostokątnej. Jeśli liczby są podane w postaci wykładniczej lub biegunowej, powinniśmy je najpierw przekształcić w formę prostokątną, stosując wzór Eulera, jak podano wcześniej.

Mnożenie

Istnieją dwie metody mnożenia liczb zespolonych–

Mnożenie liczb zespolonych podanych w formie prostokątnej

Aby przeprowadzić operację, wystarczy pomnożyć rzeczywiste i urojone części jednej liczby przez rzeczywiste i urojone części drugiego numeru i użyć tożsamości j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (a₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Gdy liczby zespolone są podane liczbowo, nie ma potrzeby stosowania powyższego wzoru. Na przykład niech

z₁ = 3 - 4j i z₂= 2 + 3j

Z bezpośrednim mnożeniem komponentów:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

lub za pomocą wzoru: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ B₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Uważamy, że bardziej prawdopodobne jest, że popełnisz błąd, jeśli użyjesz formuły niż w przypadku bezpośredniego mnożenia składników.

{Rozwiązanie przez tłumacza TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Rozwiązanie Pythona:
importuj matematykę jako m
zaimportuj cmath jako c

z1=złożony('3-4j')
z2=złożony('2+3j')
print(“z1*z2=”,z1*z2)

Mnożenie liczb zespolonych podanych w postaci biegunowej lub wykładniczej

Aby wykonać tę operację, pomnóż wartości bezwzględne i dodaj kąty dwóch liczb zespolonych. Pozwolić:

Następnie za pomocą reguły mnożenia funkcji wykładniczych:

lub w formie polarnej

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ φ.₁+ φ₂

Uwaga: użyliśmy już tej reguły, gdy obliczyliśmy zz ^*powyżej. Ponieważ kąt koniugatu ma przeciwny znak oryginalnego kąta, liczba zespolona pomnożona przez własny koniugat jest zawsze liczbą rzeczywistą; mianowicie kwadrat jego wartości bezwzględnej: zz ^*= r²

Na przykład: pozwól:

z₁ = 5 ∠ 30 ° i z₂ = 4 ∠ -60 °

następnie

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

lub w formie wykładniczej

Mnożenie jest oczywiście prostsze, gdy liczby są w postaci biegunowej lub wykładniczej.

Jeśli jednak liczby zespolone są podane w formie prostokątnej, należy rozważyć wykonanie mnożenia bezpośrednio, jak pokazano powyżej, ponieważ istnieją dodatkowe kroki, jeśli przekonwertujesz liczby na postać biegunową przed pomnożeniem. Innym czynnikiem, który należy wziąć pod uwagę, jest to, czy chcesz, aby odpowiedzi były prostokątne, czy biegunowe / wykładnicze. Na przykład, jeśli dwie liczby są w kształcie prostokąta, ale chcesz, aby ich iloczyn był w postaci biegunowej, warto je natychmiast przekonwertować, a następnie pomnożyć.

podział

Istnieją dwie metody dzielenia liczb zespolonych–

Podział liczb zespolonych podany w formie prostokątnej

Aby przeprowadzić operację, należy pomnożyć licznik i mianownik przez koniugat mianownika. Mianownik staje się liczbą rzeczywistą, a podział ogranicza się do pomnożenia dwóch liczb zespolonych i dzielenia przez liczbę rzeczywistą, czyli kwadrat wartości bezwzględnej mianownika.

Na przykład pozwól:

z₁ = 3 - 4j i z₂= 2 + 3j

Sprawdźmy ten wynik za pomocą interpretera TINA:

{Rozwiązanie przez tłumacza TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Rozwiązanie Pythona:
importuj matematykę jako m
zaimportuj cmath jako c

z1=złożony('3-4j')
z2=złożony('2+3j')
print(“z1/z2=”,z1/z2)

Podział liczb zespolonych podany w postaci biegunowej lub wykładniczej

Aby wykonać operację, podziel wartości bezwzględne (wielkości) i odejmij kąt mianownika od kąta licznika. Pozwolić:

następnie za pomocą reguły podziału funkcji wykładniczych

lub w formie polarnej

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

Na przykład: pozwól:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° i z ₂ = 2 ∠ -60 °

następnie

z ₁ / z₂ = 2.5 - 90 °

lub w formie wykładniczej i prostokątnej

Sprawdźmy ten wynik za pomocą interpretera TINA:

{Rozwiązanie przez tłumacza TINA}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Rozwiązanie Pythona:
importuj matematykę jako m
zaimportuj cmath jako c

z1=5*(c.exp(complex(0,m.radian(30))))
z2=2*(c.exp(kompleks(0,m.radianów(-60))))
print(“z1/z2=”,z1/z2)

Podział jest oczywiście prostszy, gdy liczby są w postaci biegunowej lub wykładniczej.

Jeśli jednak liczby zespolone są podane w formie prostokątnej, należy rozważyć wykonanie podziału bezpośrednio przy użyciu złożonej metody sprzężonej, jak pokazano powyżej, ponieważ istnieją dodatkowe kroki, jeśli przekonwertujesz liczby na postać biegunową przed ich podzieleniem. Innym czynnikiem, który należy wziąć pod uwagę, jest to, czy chcesz, aby odpowiedzi były prostokątne, czy biegunowe / wykładnicze. Na przykład, jeśli dwie liczby są w kształcie prostokąta, ale chciałbyś, aby ich iloraz był w postaci biegunowej, warto je natychmiast przekonwertować, a następnie podzielić.

Teraz zilustrujmy użycie liczb zespolonych przez więcej problemów numerycznych. Jak zwykle sprawdzimy nasze rozwiązania za pomocą tłumacza TINA. Interpreter działa z radianami, ale ma standardowe funkcje do konwersji radianów na stopnie lub odwrotnie.

1 przykład Znajdź reprezentację biegunową:

z = 12 - j 48

lub 49.48 ∠ - 75.96 °

{Rozwiązanie przez tłumacza TINA}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
arc (z) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z)) = [- 75.9638]

#Rozwiązanie Pythona:
importuj matematykę jako m
zaimportuj cmath jako c

z=12-kompleks (48j)
print(“abs(z)=”,abs(z))
print(“łuk(z)=”,c.faza(z))
print(“stopnie(arc(z))=”,m.stopnie(c.faza(z)))

2 przykład Znajdź prostokątną reprezentację:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{Rozwiązanie przez tłumacza TINA}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Rozwiązanie Pythona:
importuj matematykę jako m
zaimportuj cmath jako c

z=25*c.exp(complex(0,m.radian(125)))
print(“z=”,z)
print(“real(z)=”,z.real)
print(“imag(z)=”,z.imag)

3 przykład Znajdź polarną reprezentację następujących liczb zespolonych:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Wartości bezwzględne wszystkich czterech liczb są takie same, ponieważ wartość bezwzględna jest niezależna od znaków. Tylko kąty są różne.

{Rozwiązanie przez tłumacza TINA}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
arc (z1) = [1.3258]
radtodeg (arc (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
arc (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
arc (z3) = [1.8158]
radtodeg (arc (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
arc (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (arc (z4)) = [- 104.0362]

#Rozwiązanie Pythona:
importuj matematykę jako m
zaimportuj cmath jako c

z1=złożony('12+48j')
print(“abs(z1)=”,abs(z1))
print(“łuk(z1)=”,c.faza(z1))
print(“stopnie(arc(z1))=”,m.stopnie(c.faza(z1)))

z2=złożony('12-48j')
print(“abs(z2)=”,abs(z2))
print(“łuk(z2)=”,c.faza(z2))
print(“stopnie(arc(z2))=”,m.stopnie(c.faza(z2)))

z3=kompleks('-12+48j')
print(“abs(z3)=”,abs(z3))
print(“łuk(z3)=”,c.faza(z3))
print(“stopnie(arc(z3))=”,m.stopnie(c.faza(z3)))

z4=kompleks('-12-48j')
print(“abs(z4)=”,abs(z4))
print(“łuk(z4)=”,c.faza(z4))
print(“stopnie(arc(z4))=”,m.stopnie(c.faza(z4)))

Funkcja arc () TINA określa kąt dowolnej liczby zespolonej, automatycznie umieszczając ją poprawnie w jednej z czterech ćwiartek.

Uważaj jednak, używając opalenizny^-1 funkcji do znalezienia kąta, ponieważ ogranicza się do zwracania kątów tylko w pierwszej i czwartej ćwiartce (–90 °φ<90 °).

Ponieważ z₁znajduje się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, obliczenia są następujące:

α₁ = opalenizna^-1(48 / 12) = opalenizna^-1(4) = 75.96 °

Ponieważ z₄znajduje się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, tan^-1nie zwraca poprawnie kąta. Obliczenie kąta:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° lub -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, czyli to samo, co obliczono przez TINA.

z₂znajduje się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych Obliczenie kąta:

α₂ = opalenizna^-1(-48 / 12) = opalenizna^-1(-4) = -75.96 °

z_3,jednak znajduje się w kwadrancie 2nd układu współrzędnych, więc opalenizna^-1nie zwraca poprawnie kąta. Obliczenie kąta:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

4 przykład Mamy dwie liczby zespolone: z₁= 4 - j 6 i z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

Znajdź z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Najpierw rozwiązujemy problem za pomocą Interpretera TINA

{Rozwiązanie przez tłumacza TINA}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Zwróć uwagę, jak TINA bez wysiłku obsługuje dwie liczby złożone w różnych formach.

Rozwiązanie jest bardziej skomplikowane bez tłumacza. Abyśmy mogli porównać różne metody mnożenia i dzielenia, najpierw określimy formę polarną z₁ i prostokątna forma z₂.

Następnie znajdujemy cztery rozwiązania, używając najpierw najłatwiejszych form: prostokątny do dodawania i odejmowania oraz wykładniczy do mnożenia i dzielenia: