PRAWO KIRCHHOFFA

Kliknij lub dotknij poniższych obwodów, aby wywołać TINACloud i wybierz tryb Interaktywny DC, aby przeanalizować je online.
Uzyskaj niski koszt dostępu do TINACloud, aby edytować przykłady lub tworzyć własne obwody

SUPERPOSITION THEOREM

METODA POTENCJALNA WĘZŁA

Wiele obwodów jest zbyt skomplikowanych, aby można je było rozwiązać za pomocą reguł dla obwodów szeregowych lub równoległych lub technik konwersji do prostszych obwodów opisanych w poprzednich rozdziałach. W przypadku tych obwodów potrzebujemy bardziej ogólnych metod rozwiązania. Najbardziej ogólną metodę podają prawa Kirchhoffa, które pozwalają na obliczenie wszystkich napięć i prądów w obwodach za pomocą rozwiązania układu równań liniowych.

Istnieją dwa Prawa Kirchhoffa, prawo napięcia i prąd prawo. Te dwa prawa można wykorzystać do określenia wszystkich napięć i prądów w obwodach.

Prawo napięcia Kirchhoffa (KVL) stwierdza, że suma algebraiczna napięcia rośnie i spada wokół pętli musi wynosić zero.

Pętla w powyższej definicji oznacza zamkniętą ścieżkę w obwodzie; to znaczy ścieżka, która opuszcza węzeł w jednym kierunku i wraca do tego samego węzła z innego kierunku.

W naszych przykładach użyjemy kierunku wskazówek zegara dla pętli; jednak te same wyniki zostaną uzyskane, jeśli zastosowany zostanie kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara.

Aby zastosować KVL bez błędów, musimy zdefiniować tak zwany kierunek odniesienia. Kierunek odniesienia nieznanych napięć wskazuje od znaku + do znaku założonych napięć. Wyobraź sobie, używając woltomierza. Umieściłbyś sondę woltomierza (zwykle czerwoną) w punkcie odniesienia + zacisk komponentu. Jeśli rzeczywiste napięcie jest dodatnie, jest w tym samym kierunku, w którym zakładaliśmy, a zarówno nasze rozwiązanie, jak i woltomierz pokażą wartość dodatnią.

Obliczając sumę algebraiczną napięć, musimy przypisać znak plus do tych napięć, w których kierunek odniesienia zgadza się z kierunkiem pętli, oraz znaki ujemne w przeciwnym przypadku.

Innym sposobem stwierdzenia prawa napięcia Kirchhoffa jest: przyłożone napięcie obwodu szeregowego jest równe sumie spadków napięcia na elementach szeregowych.

Poniższy krótki przykład pokazuje zastosowanie prawa napięcia Kirchhoffa.

Znajdź napięcie na rezystorze R._2, biorąc pod uwagę, że napięcie źródła, V_S = 100 V i napięcie na rezystorze R.₁jest V₁ = 40 V.

Poniższy rysunek można utworzyć za pomocą TINA Pro w wersji 6 i nowszych, na których narzędzia do rysowania są dostępne w edytorze schematów.

Rozwiązanie wykorzystujące prawo napięcia Kirchhoffa: -V_S + V₁ + V₂= 0 lub V._S = V₁ + V₂

stąd: V₂ = V_S - V₁ = 100-40 = 60V

Zauważ, że zwykle nie znamy napięć rezystorów (chyba że je mierzymy) i do rozwiązania musimy użyć obu praw Kirchhoffa.

Obecne prawo Kirchhoffa (KCL) stwierdza, że suma algebraiczna wszystkich prądów wchodzących i wychodzących z dowolnego węzła w obwodzie wynosi zero.

W dalszej części podajemy znak + prądom wychodzącym z węzła i znak - prądom wchodzącym do węzła.

Oto podstawowy przykład demonstrujący obecne prawo Kirchhoffa.

Znajdź prąd I₂ jeśli źródło prądu I_S = 12 A, i ja₁ = 8 A.

Używanie aktualnego prawa Kirchhoffa w zakreślonym węźle: -I_S + I₁ + I₂ = 0, stąd: I₂= I_S - Ja₁ = 12 - 8 = 4 A, jak możesz sprawdzić za pomocą TINA (następny rysunek).

W następnym przykładzie wykorzystamy zarówno prawa Kirchhoffa, jak i prawo Ohma do obliczenia prądu i napięcia na opornikach.

Na poniższym rysunku zauważysz Strzałka napięcia powyżej rezystorów. Jest to nowy komponent dostępny w Wersja 6 TINA i działa jak woltomierz. Jeśli podłączysz go przez komponent, strzałka określa kierunek odniesienia (w celu porównania z woltomierzem, wyobraź sobie umieszczenie czerwonej sondy na końcu strzałki i czarnej sondy na końcu). Po uruchomieniu analizy DC rzeczywiste napięcie na elemencie zostanie wyświetlone na strzałce.

Kliknij / dotknij powyższy obwód, aby przeanalizować on-line lub kliknij ten link, aby zapisać w systemie Windows

Aby zacząć korzystać z obecnego prawa Kirchhoffa, widzimy, że prądy przez wszystkie składniki są takie same, więc oznaczmy ten prąd przez I.

Zgodnie z prawem napięcia Kirchhoffa: V_S = V₁+V₂+V₃

Teraz używając prawa Ohma: V_S= I * R₁+ I * R₂+ I * R₃

A stąd prąd obwodu:

I = V_S/ (R₁+R₂+R₃) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Na koniec napięcia rezystorów:

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = I * R₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = I * R₃ = 2 * 30 = 60 V

Te same wyniki będą widoczne na strzałkach napięcia po prostu poprzez interaktywną analizę prądu stałego TINA.

W tym następnym, bardziej złożonym obwodzie używamy również zarówno praw Kirchhoffa, jak i prawa Ohma, ale okazuje się, że najbardziej rozwiązujemy liniowy układ równań.

Całkowita liczba niezależnych zastosowań praw Kirchhoffa w obwodzie jest liczbą rozgałęzień obwodu, podczas gdy całkowita liczba niewiadomych (prąd i napięcie każdej gałęzi) jest dwa razy większa. Jednak stosując również prawo Ohma dla każdego opornika i proste równania definiujące przyłożone napięcia i prądy, otrzymujemy układ równań, w którym liczba niewiadomych jest taka sama jak liczba równań.

Znajdź prądy gałęziowe I1, I2, I3 w obwodzie poniżej.

Kliknij / dotknij powyższy obwód, aby przeanalizować on-line lub kliknij ten link, aby zapisać w systemie Windows

Zestaw równań jest następujący:

Równanie węzłowe dla zakreślonego węzła:

- I₁- I₂- Ja₃ = 0

lub mnożenie przez -1

I₁+ I₂+ I₃ = 0

Równania pętli (w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara) dla pętli L1, zawierającej V₁R₁ i R₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

i dla pętli L2 zawierającej V₂R₂ i R₃

I₃*R₃ - Ja₂*R₂ +V₂ = 0

Zastępowanie wartości komponentów:

I₁+ I₂+ I₃ = 0 -8 + 40 * I₁ - 40 * I₃ = 0 40 * I₃ –20 * I₂ + 16 = 0

Express I₁ używając równania węzłowego: I₁ = -I₂ - Ja₃

następnie zastąp go drugim równaniem:

-V₁- (JA₂ + I₃) * R₁ -JA₃*R₃ = 0 or –8- (I₂ + I₃) * 40 - I₃* 40 = 0

Express I₂ i podstaw go do trzeciego równania, z którego możesz już obliczyć I₃:

I₂ = - (V₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ or I₂ = - (8 + I₃* 80) / 40

I₃*R₃ + R₂* (V₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + I₃* 80) / 40 + 16 = 0

Oraz: I₃ = - (V₂ + V₁*R₂/R₁) / (R₃+ (R₁+R₃) * R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

W związku z tym I₃ = - 0.25 A; I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A i I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 A.

Lub: I₁ = -50 mA; I₂ = 300 mA; I₃ = -250 mA.

Teraz rozwiążmy te same równania z interpretatorem TINA:

{Rozwiązanie przez tłumacza TINA}
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
puszki;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

#Rozwiązanie w Pythonie
importuj numpy jako np, sympy jako s
#Mamy system liniowy
#równania, które chcemy rozwiązać:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.rozwiązać([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
drukuj (sol)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.tablica([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
print(“I1= %.3f”%x[0])
#I2
print(“I2= %.3f”%x[1])
#I3
print(“I3= %.3f”%x[2])

Na koniec sprawdźmy wyniki za pomocą TINA:

Następnie przeanalizujmy jeszcze bardziej złożony obwód i określmy jego prądy i napięcia rozgałęzień.

Kliknij / dotknij powyższy obwód, aby przeanalizować on-line lub kliknij ten link, aby zapisać w systemie Windows

Oznaczmy nieznane napięcia i prądy, dodając strzałki do napięcia i prądu do komponentów, a także pokażmy pętle (L1, L2, L3) i węzły (N1, N2), w których użyjemy równań Kirchhoffa.

Kliknij / dotknij powyższy obwód, aby przeanalizować on-line lub kliknij ten link, aby zapisać w systemie Windows

Oto zestaw Równania Kirchhoffa dla pętli (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) i węzłów.

-I_L+ I_R1- Ja_s= 0(dla N1)

- Ja_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (dla N2)

-V_s1- V_R3+ V_Is+ V_L = 0 (dla L1)

-V_Is+ V_s2 +V_R2+V_R1 = 0 (dla L2)

-V_R2- V_s2+ V_s3 = 0 (dla L3)

Stosowanie prawa Ohma:

V_L= I_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = I_R2*R₂

V_R3 = - I_L*R₃

To 9 niewiadomych i 9 równań. Najłatwiejszym sposobem rozwiązania tego jest użycie TINA

interpretator. Jeśli jednak będziemy zmuszeni do korzystania z obliczeń ręcznych, zauważymy, że ten zestaw równań można łatwo zredukować do układu 5 niewiadomych, zastępując ostatnie 4 równania równaniami pętli L1, L2, L3. Ponadto, dodając równania (L1) i (L2), możemy wyeliminować V_Is, zmniejszając problem do systemu równań 4 dla nieznanych 4 (I_L,I_R1 I_R2,I_s3). Po znalezieniu tych prądów możemy łatwo określić V_L, V_R1, V_R2, i V_R3 używając czterech ostatnich równań (prawo Ohma).

Zastępowanie V_L,V_R1,V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ I_R1- Ja_s= 0(dla N1)

- Ja_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (dla N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ V_Is+ I_L*R_L = 0 (dla L1)

-V_Is+ V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (Na L2)

- Ja_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (dla L3)

Otrzymujemy (L1) i (L2)

-I_L+ I_R1- Ja_s= 0(dla N1)

- Ja_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (dla N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ I_L*R_L + V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

- Ja_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (dla L3)

Po podstawieniu wartości składników rozwiązanie tych równań przychodzi łatwo.

-I_L+I_R1- 2 = 0 (dla N1)

-I_R1 + I_R2 + I_S3 = 0 (dla N2)

-120 - + I_L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0 (L₁) + (L.₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 (dla L₃)

od L₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

od N₂ I_S3 - Ja_R1 = - 5.25 (II)

od L₁+L₂ 110 I_L + 30 I_R1 = -150 (III)

i dla N₁ I_R1 - Ja_L = 2 (IV)

Pomnóż (IV) przez –30 i dodaj do (III) 140 I_L = -210 stąd I_L = - 1.5 A.

Zastąp mnie_L w (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

i ja_R1 najnowszych (II) I_S3 = -5.25 + I_R1 = -4,75 A

I napięcia: V_R1 = I_R1*R₁ = 15 V; V_R2 = I_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = - I_L*R₃= 135 V; V_L = I_L*R_L = - 30 V; V_Is = V_S1+V_R3-V_L = 285 V

{Rozwiązanie oryginalnych równań przez tłumacza TINA}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-Is + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
puszki;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VIs = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#Rozwiązanie w Pythonie
#Topór=b
importuj numpy jako np, sympy jako s
#Rozwiązanie symboliczne przy użyciu numpy.solve
#Równania:
#IL=-jest+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Rozwiąż dla:
#IL, IR1, IR2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1, VR3, VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.rozwiązać([
-Jest+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
drukuj (sol)

#Kolejna metoda rozwiązania przy użyciu numpy.linalg
A=np.tablica(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print(“IL= %.3f”%x[0])
print(“IR1= %.3f”%x[1])
print(“IR2= %.3f”%x[2])
print(“Is3= %.3f”%x[3])
print(“Vis= %.3f”%x[4])
print(“VL= %.3f”%x[5])
print(“VR1= %.3f”%x[6])
print(“VR2= %.3f”%x[8])
print(“VR3= %.3f”%x[7])

Rozwiązanie zredukowanego zestawu równań za pomocą interpretera:

{Rozwiązanie zredukowanego zestawu równań przez tłumacza TINA}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
puszki;
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

Możemy również wprowadzić wyrażenia dla napięć i poprosić tłumacza TINA o ich obliczenie:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Vl: = Il * RL;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
VIs: = Vs1-Vl + Vr3;
Vl = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VIs = [285]

Możemy sprawdzić wynik za pomocą TINA, po prostu włączając tryb interaktywny DC TINA lub używając Analysis / DC Analysis / Nodal Voltages

SUPERPOSITION THEOREM

METODA POTENCJALNA WĘZŁA