METODY BIEŻĄCE I PĘTLI

Kliknij lub dotknij poniższych obwodów, aby wywołać TINACloud i wybierz tryb Interaktywny DC, aby przeanalizować je online.
Uzyskaj niski koszt dostępu do TINACloud, aby edytować przykłady lub tworzyć własne obwody

Innym sposobem uproszczenia pełnego zestawu równań Kirchhoffa jest metoda prądowa siatki lub pętli. Korzystając z tej metody, bieżące prawo Kirchhoffa jest spełnione automatycznie, a równania pętli, które piszemy, również spełniają prawo napięcia Kirchhoffa. Spełnienie obecnego prawa Kirchhoffa uzyskuje się poprzez przypisanie zamkniętych pętli prądowych zwanych prądami siatkowymi lub pętlowymi do każdej niezależnej pętli obwodu i użycie tych prądów do wyrażenia wszystkich pozostałych wielkości obwodu. Ponieważ prądy w pętli są zamknięte, prąd, który wpływa do węzła, musi również wypływać z węzła; więc pisanie równań węzłów z tymi prądami prowadzi do tożsamości.

Rozważmy najpierw metodę prądów siatkowych.

Po pierwsze zauważamy, że metoda prądu oczkowego ma zastosowanie tylko do obwodów „płaskich”. Obwody planarne nie mają przewodów krzyżujących, gdy są rysowane na płaszczyźnie. Często przerysowując obwód, który wydaje się nieplanarny, można ustalić, że jest on faktycznie płaski. W przypadku obwodów niepłaskich użyj metoda pętli prądowej opisany w dalszej części tego rozdziału.

Aby objaśnić ideę prądów siatki, wyobraź sobie gałęzie obwodu jako „sieć rybacką” i przypisz prąd siatki do każdej siatki sieci. (Czasami mówi się również, że zamknięta pętla prądowa jest przypisana w każdym „oknie” obwodu).

Schemat ideowy „Sieć rybacka” lub wykres obwodu

Technika reprezentowania obwodu za pomocą prostego rysunku, zwanego a wykres, jest dość potężny. Od Prawa Kirchhoffa nie zależą od charakteru komponentów, możesz zignorować konkretne komponenty i zastąpić je prostymi segmentami linii, zwanymi gałęzie wykresu. Reprezentowanie obwodów za pomocą grafów pozwala nam korzystać z technik matematycznych teoria grafów. Pomaga nam to zbadać topologiczną naturę obwodu i określić niezależne pętle. Wróć później na tę stronę, aby przeczytać więcej na ten temat.

Etapy analizy prądu siatki:

1. Przypisz prąd siatki do każdej siatki. Chociaż kierunek jest dowolny, zwykle stosuje się kierunek zgodny z ruchem wskazówek zegara.
   

2. Zastosuj prawo napięcia Kirchhoffa (KVL) wokół każdej siatki, w tym samym kierunku co prądy siatki. Jeśli rezystor ma dwa lub więcej prądów siatki, całkowity prąd przez rezystor jest obliczany jako suma algebraiczna prądów siatki. Innymi słowy, jeśli prąd przepływający przez rezystor ma ten sam kierunek co prąd oczkowy pętli, ma znak dodatni, w przeciwnym razie znak ujemny w sumie. Źródła napięcia są brane pod uwagę jak zwykle. Jeśli ich kierunek jest taki sam jak prąd siatki, ich napięcie jest dodatnie, w przeciwnym razie ujemne, w równaniach KVL. Zwykle w przypadku źródeł prądu przez źródło przepływa tylko jeden prąd oczkowy, a prąd ten ma ten sam kierunek co prąd źródła. Jeśli tak nie jest, należy zastosować bardziej ogólną metodę pętli prądowej, opisaną w dalszej części tego akapitu. Nie ma potrzeby zapisywania równań KVL dla pętli zawierających prądy siatkowe przypisane do źródeł prądu.
   

3. Rozwiąż otrzymane równania pętli dla prądów siatki.
   

4. Określić żądany prąd lub napięcie w obwodzie za pomocą prądów siatkowych.

Zilustrujmy metoda według następującego przykładu:

Znajdź prąd I w obwodzie poniżej.

Widzimy, że w tym obwodzie są dwie siatki (lub lewe i prawe okno). Przypiszmy prądy siatki J zgodnie z ruchem wskazówek zegara₁ i J₂ do oczek. Następnie piszemy równania KVL, wyrażając napięcia na opornikach według prawa Ohma:

-V₁ + J₁* (R_i1+R₁) - J₂*R₁ = 0

V₂ - J₁*R₁ + J₂* (R + R₁) = 0

Liczebnie:

-12 + J₁* 17 - J₂* 2 = 0

6 - J₁* 2 + J₂* 14 = 0

Ekspresowe J₁ z pierwszego równania: J₁ = a następnie podstaw do drugiego równania: 6 - 2 * + 14 * J₂ = 0

pomnóż przez 17: 102 - 24 + 4 * J.₂ + 238 * J₂ = 0 stąd J₂ =

i J₁ =

Wreszcie wymagany prąd:

Sprawdźmy wyniki z TINA:

Następnie rozwiążmy poprzedni przykład jeszcze raz, ale bardziej ogólny metoda prądów pętlowych. Używając tej metody, wywołane są zamknięte pętle prądowe prądy pętli, są niekoniecznie przypisane do siatek obwodu, ale do arbitralnych niezależne pętle. Możesz upewnić się, że pętle są niezależne, mając co najmniej jeden składnik w każdej pętli, który nie jest zawarty w żadnej innej pętli. W przypadku obwodów płaskich liczba niezależnych pętli jest taka sama jak liczba oczek, co jest łatwe do zauważenia.

Bardziej precyzyjny sposób określania liczby niezależnych pętli jest następujący.

Biorąc pod uwagę obwód z b oddziały i N węzły Liczba niezależnych pętli l jest:

l = b - N + 1

Wynika to z faktu, że liczba niezależnych równań Kirchhoffa musi być równa gałęziom w obwodzie i wiemy już, że są tylko N-1 niezależne równania węzłów. Dlatego całkowita liczba równań Kirchhoffa wynosi

b = N-1 + l i stąd l = b - N + 1

Równanie to wynika również z podstawowego twierdzenia teorii grafów, które zostanie opisane później w tym miejscu.

Teraz rozwiążmy poprzedni przykład jeszcze raz, ale prościej, używając metody prądu pętli. Dzięki tej metodzie możemy swobodnie używać pętli w siatkach lub dowolnych innych pętlach, ale zachowajmy pętlę za pomocą J₁ w lewej siatce obwodu. Jednak dla drugiej pętli wybieramy pętlę z J_2, jak pokazano na poniższym rysunku. Zaletą tego wyboru jest to, że J₁ będzie równy żądanemu prądowi I, ponieważ jest to jedyny prąd pętli przepływający przez R1. Oznacza to, że nie musimy obliczać J2 wcale. Należy zauważyć, że w przeciwieństwie do prądów „rzeczywistych” fizyczne znaczenie prądów pętli zależy od tego, w jaki sposób przypisujemy je do obwodu.

Równania KVL:

J1 * (R₁+R_i1) + J2 * R _i1 - V₁ = 0

-V₁+ J1 * R_i1+ J2 * (R + R_i) + V₂ = 0

i wymagany prąd: I = J₁

Numerically: J1*(15+2)+J2*15-12 = 0

-12 + J1 * 15 + J2 * (15 + 12) + 6 = 0

Express J2 z drugiego równania:

Zastąp w pierwszym równaniu:

Stąd: J1 = I = 1 A

Dalsze przykłady.

1 przykład

Znajdź prąd I w obwodzie poniżej.

Zauważ, że kierunek tego prądu pętli jest nie zgodnie z ruchem wskazówek zegara, ponieważ jego kierunek jest określony przez bieżące źródło. Ponieważ jednak ten prąd pętli jest już znany, nie ma potrzeby zapisywania równania KVL dla pętli gdzie I_S1 jest zajęty.

Dlatego jedynym równaniem do rozwiązania jest:

-V₁ + I * R₂ + R₁ * (I - I_S1) = 0

stąd

I = (V₁ + R₁ *I_S1) / (R₁ + R₂)

Liczebnie

I=(10+20*4)/(20+10)=3 A

Możesz również wygenerować ten wynik, wywołując analizę symboliczną TINA z menu Analiza / Analiza symboliczna / Wynik DC:

Lub możesz rozwiązać równanie KVL przez interpretera:

Poniższy przykład ma 3 źródła prądu i bardzo łatwo go rozwiązać metodą prądów pętlowych.

2 przykład

Znajdź napięcie V.

W tym przykładzie możemy wybrać trzy prądy pętli, aby każdy przepływał tylko przez jedno źródło prądu. Dlatego wszystkie trzy prądy pętli są znane, a my musimy tylko wyrazić nieznane napięcie, V, używając ich.

Dokonywanie algebraicznej sumy prądów przez R₃:

V = (I_S3 - Ja_S2) * R₃= (10-5) * 30 = 150 V. Możesz to sprawdzić za pomocą TINA :.

Kliknij / dotknij powyższy obwód, aby przeanalizować on-line lub kliknij ten link, aby zapisać w systemie Windows

Następnie zajmiemy się ponownie problemem, który już rozwiązaliśmy w Prawa Kirchhoffa i Metoda potencjału węzła rozdziały.

3 przykład

Znajdź napięcie V rezystora R₄.

Kliknij / dotknij powyższy obwód, aby przeanalizować on-line lub kliknij ten link, aby zapisać w systemie Windows

R₁ = R₃ = 100 ohm, R₂ = R₄ = 50 ohm, R₅ = 20 ohm, R₆ = 40 ohm, R₇ = 75 ohm.

Ten problem wymagał co najmniej 4 równań do rozwiązania w poprzednich rozdziałach.

Rozwiązując ten problem metodą prądów pętlowych, mamy cztery niezależne pętle, ale przy odpowiednim doborze prądów pętli jeden z prądów pętli będzie równy prądowi źródłowemu Is.

Na podstawie prądów pętli pokazanych na powyższym rysunku równania pętli są następujące:

V_S1+I₄* (R₅+R₆+R₇) - JA_S*R₆ -JA₃* (R₅ + R₆) = 0

V_S2 - Ja₃* (R₁+R₂) - JA_S*R₂ + I₂* (R₁ + R₂) = 0

-V_S1 + I₃* (R₁ + R₂ + R₃ + R₄ + R₅ + R₆) + I_S* (R₂ +R₄ + R₆) - JA₄* (R₅ + R₆) - Ja₂* (R₁ + R₂) = 0

Nieznane napięcie V można wyrazić prądami pętli:

V = R₄ * (JA₂ + I₃)

Liczebnie:

100 + I₄* 135-2 * 40-I₃* 60 = 0

150 + I₂* 150-2 * 50-I₃* 150 = 0

–100 + I₃* 360 + 2 * 140-I₄* 60-I₂* 150 = 0

V = 50 * (2 + I₃)

Możemy użyć reguły Cramera do rozwiązania tego układu równań:

I₄ = D₃/D

gdzie D jest wyznacznikiem systemu. D_4, wyznacznik dla I_4, jest tworzony przez podstawienie prawa strona układu jest umieszczona na kolumnie I₄współczynniki.

System równań w formie uporządkowanej:

- 60 * I₃ + 135 * I₄= -20

150 * I₂-150 * I₃ = - 50

-150 * I₂+ 360 * I₃ - 60 * I₄= - 180

Więc wyznacznik D:

Rozwiązaniem tego układu równań jest:

V = R₄* (2 + I₃) = 34.8485 V

Możesz potwierdzić odpowiedź za pomocą wyniku obliczonego przez TINA.

Kliknij / dotknij powyższy obwód, aby przeanalizować on-line lub kliknij ten link, aby zapisać w systemie Windows

W tym przykładzie każdy nieznany prąd pętli jest prądem rozgałęzionym (I1, I3 i I4); więc łatwo jest sprawdzić wynik w porównaniu z wynikami analizy DC TINA.