Kliknij lub dotknij poniższych obwodów, aby wywołać TINACloud i wybierz tryb Interaktywny DC, aby przeanalizować je online. Uzyskaj niski koszt dostępu do TINACloud, aby edytować przykłady lub tworzyć własne obwody
Kompletny zestaw równań Kirchhoffa można znacznie uprościć za pomocą metody potencjału węzłowego opisanej w tym rozdziale. Korzystając z tej metody, prawo napięcia Kirchhoffa jest spełnione automatycznie i potrzebujemy tylko zapisać równania węzłów, aby spełnić również obecne prawo Kirchhoffa. Spełnienie prawa napięcia Kirchhoffa osiąga się poprzez zastosowanie potencjałów węzłowych (zwanych również napięciami węzłowymi lub węzłowymi) w odniesieniu do określonego węzła zwanego odniesienie węzeł. Innymi słowy, wszystkie napięcia w obwodzie odnoszą się do węzeł odniesienia, który zwykle ma potencjał 0. Łatwo zauważyć, że przy tych definicjach napięcia prawo napięcia Kirchhoffa jest spełnione automatycznie, ponieważ zapisywanie równań pętli z tymi potencjałami prowadzi do identyczności. Zauważ, że dla obwodu mającego N węzłów powinieneś napisać tylko N - 1 równań. Zwykle równanie węzła dla węzła odniesienia jest pomijane.
Suma wszystkich prądów w obwodzie wynosi zero, ponieważ każdy prąd wpływa i wypływa z węzła. Dlatego równanie N-tego węzła nie jest niezależne od poprzednich równań N-1. Gdybyśmy uwzględnili wszystkie N równań, mielibyśmy nierozwiązywalny układ równań.
Metoda potencjału węzłów (zwana również analizą węzłową) jest metodą najlepiej dopasowaną do aplikacji komputerowych. Większość programów do analizy obwodów - w tym TINA - opiera się na tej metodzie.
Etapy analizy węzłowej:
1. Wybierz węzeł odniesienia z potencjałem 0 węzłów i oznacz każdy pozostały węzeł za pomocą V1, V2 or j1, j2i tak dalej.
2. Zastosuj bieżące prawo Kirchhoffa w każdym węźle oprócz węzła odniesienia. W razie potrzeby użyj prawa Ohma do wyrażenia nieznanych prądów z potencjałów węzłów i napięć źródła napięcia. Dla wszystkich nieznanych prądów załóż ten sam kierunek odniesienia (np. Wskazując na węzeł) dla każdego zastosowania aktualnego prawa Kirchhoffa.
3. Rozwiąż otrzymane równania węzłowe dla napięć węzłowych.
4. Określić żądany prąd lub napięcie w obwodzie za pomocą napięć w węźle.
Zilustrujmy krok 2, pisząc równanie węzła dla węzła V.1 następującego fragmentu obwodu:
Najpierw znajdź prąd od węzła V1 do węzła V2. W R1 zastosujemy Prawo Ohma. Napięcie na R1 wynosi V.1 - V2 - VS1
A prąd przez R1 (i od węzła V1 do węzła V2) wynosi
Zauważ, że ten prąd ma kierunek odniesienia skierowany w stronę V1 węzeł. Stosując konwencję dla prądów skierowanych poza węzeł, należy wziąć to pod uwagę w równaniu węzła ze znakiem dodatnim.
Bieżące wyrażenie gałęzi między V1 i V3 będą podobne, ale od VS2 jest w przeciwnym kierunku niż VS1 (co oznacza potencjał węzła między VS2 i R2 jest V3-VS2), obecny jest
Wreszcie, ze względu na wskazany kierunek odniesienia, IS2 powinienem mieć znak pozytywny, a jaS1 znak ujemny w równaniu węzłowym.
Równanie węzła:
Zobaczmy teraz pełny przykład demonstrujący użycie metody potencjalnego węzła.
Znajdź napięcie V i prądy przez rezystory w obwodzie poniżej
Ponieważ mamy w tym obwodzie tylko dwa węzły, możemy zredukować rozwiązanie do ustalenia jednej nieznanej wielkości dolny węzeł jako węzeł odniesienia, nieznane napięcie węzła to napięcie, dla którego rozwiązujemy V.
Równanie węzłowe dla górnego węzła:
Liczebnie:
Pomnóż przez 30: 7.5 + 3 V - 30 + 1.5 V + 7.5. + V - 40 = 0 5.5 V –55 = 0
Stąd: V = 10 V
Sys V
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
puszki;
V = [10]
importuj numpy jako n, sympy jako s
#I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
#Zapisz macierz współczynników:
A=n.array([[1/R1+1/R2+1/R3]])
#Zapisz macierz stałych:
b=n.array([-I+Vs1/R1-Vs2/R2+Vs3/R3])
V= n.linalg.solve(A,b)[0]
print(“%.3f”%V)
#Symboliczne rozwiązanie z rozwiązaniem sympy
V= s.symbols('V')
sol = s.solve([I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3],[V])
drukuj (sol)
Teraz określmy prądy przez rezystory. Jest to łatwe, ponieważ te same prądy są używane w powyższym równaniu węzłowym.
{Użyj metody potencjału węzła!}
Sys V
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
puszki;
V = [10]
{Prądy rezystorów}
IR1: = (V-Vs1) / R1;
IR2: = (V + Vs2) / R2;
IR3: = (V-Vs3) / R3;
IR1 = [0]
IR2 = [750.0001m]
IR3 = [- 1000m]
Możemy sprawdzić wynik za pomocą TINA, po prostu włączając tryb interaktywny DC TINA lub używając polecenia Analysis / DC Analysis / Nodal Voltages.
Następnie rozwiążmy problem, który był już używany jako ostatni przykład Prawa Kirchhoffa publikacji naukowej
Znajdź napięcia i prądy każdego elementu obwodu.
Wybór dolnego węzła jako węzła odniesienia o potencjale 0, napięcie węzłowe N2 będzie równy VS3,: j2 = dlatego mamy tylko jedno nieznane napięcie węzłowe. Być może pamiętasz, że wcześniej, korzystając z pełnego zestawu równań Kirchhoffa, nawet po pewnych uproszczeniach, mieliśmy liniowy układ równań 4 niewiadomych.
Pisanie równań węzłowych dla węzła N1oznaczmy napięcie węzłowe N1 by j1
Proste równanie do rozwiązania to:
Liczebnie:
Pomnóż przez 330, otrzymamy:
3j1-360 - 660 + 11j1 - 2970 = 0 ® j1= 285 V
Po obliczeniu j1, łatwo jest obliczyć inne wielkości w obwodzie.
Prądy:
IS3 = IR1 - JaR2 = 0.5 - 5.25 = - 4.75 A.
I napięcia:
VIs = j1 = 285 V
VR1= (j1 - VS3) = 285 - 270 = 15 V
VR2 = (VS3 - VS2) = 270–60 = 210 V.
VL = - (j1-VS1-VR3) = -285 +120 +135 = - 30 V.
Możesz zauważyć, że przy metodzie potencjału węzła nadal potrzebujesz dodatkowych obliczeń, aby określić prądy i napięcia w obwodzie. Jednak obliczenia te są bardzo proste, o wiele prostsze niż rozwiązywanie układów równań liniowych dla wszystkich wielkości obwodów jednocześnie.
Możemy sprawdzić wynik za pomocą TINA, po prostu włączając tryb interaktywny DC TINA lub używając polecenia Analysis / DC Analysis / Nodal Voltages.
 |
Zobaczmy dalsze przykłady.
1 przykład
Znajdź obecny I.
W tym obwodzie są cztery węzły, ale ponieważ mamy idealne źródło napięcia, które określa napięcie węzła na jego biegunie dodatnim, powinniśmy wybrać jego biegun ujemny jako węzeł odniesienia. Dlatego naprawdę mamy tylko dwa nieznane potencjały węzłów: j1 i j2 .
Równania dla węzłów potencjałów j1 i j2:
Liczebnie:
Aby rozwiązać ten problem, pomnóż pierwsze równanie przez 3, a drugie przez 2, a następnie dodaj dwa równania:
11j1 = 220
i stąd j1= 20V, j2 = (50 + 5j1) / 6 = 25 V.
Wreszcie nieznany prąd:
Rozwiązanie układu równań liniowych można również obliczyć za pomocą Reguła Cramera.
Zilustrujmy użycie reguły Cramera poprzez ponowne rozwiązanie powyższego systemu.
1. Wypełnij macierz współczynników niewiadomych:
2. Oblicz wartość wyznacznik macierzy D.
| D| = 7 * 6 - (-5) * (- 4) = 22
3. Umieść wartości po prawej stronie w kolumnie współczynników nieznanej zmiennej, a następnie oblicz wartość wartości wyznacznika:
4. Podziel nowo znalezione determinanty według pierwotnego wyznacznika, aby znaleźć następujące współczynniki:
Stąd j1 = 20 V i j2 = 25 V
Aby sprawdzić wynik za pomocą TINA, po prostu włącz tryb interaktywny DC TINA lub użyj polecenia Analiza / Analiza DC / Napięcia węzłowe. Zauważ, że używając Pin napięcia komponent TINA, możesz bezpośrednio pokazać potencjał węzła, zakładając, że Ziemia komponent jest podłączony do węzła odniesienia.
Sys fi1, fi2
(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
puszki;
fi1 = [20]
fi2 = [25]
I: = (fi2-VS1) / R1;
I = [500m]
importuj numpy jako n
#Mamy system
#równania liniowe, które
#chcemy rozwiązać dla fi1, fi2:
#(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
#(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
#Zapisz macierz współczynników:
A=n.array([[1/R2+1/R3+1/R4,-1/R2],[-1/R2,1/R2+1/R1]])
#Zapisz macierz stałych:
b=n.array([[VS1/R3],[VS1/R1+Is]])
x=n.linalg.solve(A,b)
fi1,fi2=x[0],x[1]
print(“fi1= %.3f”%fi1)
print(“fi2= %.3f”%fi2)
I=(fi2-VS1)/R1
print(“I= %.3f”%I)
Przykład 2.
Znajdź napięcie rezystora R4.
R1 = R3 = 100 ohm, R2 = R4 = 50 ohm, R5 = 20 ohm, R6 = 40 ohm, R7 = 75 ohm
W takim przypadku praktyczne jest wybranie ujemnego bieguna źródła napięcia V.S2 jako węzeł odniesienia, ponieważ wówczas biegun dodatni VS2 źródło napięcia będzie miało VS2 = Potencjał 150 węzłów. Jednak z powodu tego wyboru wymagane napięcie V jest przeciwne do napięcia węzła w węźle N.4; dlatego V4 = - V.
Równania:
Nie prezentujemy tutaj obliczeń ręcznych, ponieważ równania mogą być łatwo rozwiązane przez interpretera TINA.
{Użyj metody potencjału węzła!}
Sys V, V1, V2, V3
V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
puszki;
V1 = [116.6667]
V2 = [- 91.8182]
V3 = [19.697]
V = [34.8485]
importuj numpy jako n
#Użyj metody potencjału węzła!
#Mamy układ równań liniowych, który chcemy rozwiązać
#dla V, V1, V2, V3:
#V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
#(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
#(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
#(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
#Zapisz macierz współczynników:
A= n.array([[0,1/R2+1/R1,0,0],[1/R6,0,1/R6+1/R5,(-1)/R5],[1/R7,0,(-1)/R5,1/R7+1/R5+1/R3],[(-1)/R6-1/R4-1/R7,0,-1/R6,-1/R7]])
#Zapisz macierz stałych:
b=n.array([(Vs2/R1)+Is,-(Vs1/R5)-Is,(Vs2/R3)+(Vs1/R5),0])
x= n.linalg.solve(A,b)
V=x[0]
print(“V= %.4f”%V)
Aby sprawdzić wynik, TINA po prostu włącz tryb interaktywny DC TINA lub użyj polecenia Analiza / Analiza DC / Napięcia węzłowe. Zauważ, że musimy umieścić kilka pinów napięcia na węzłach, aby pokazać napięcia węzłów.
English
English
German
French
Spanish
Portuguese
Russian
Chinese (Simplified)
Chinese (Traditional)
Japanese
Korean
Hungarian