Kliknij lub dotknij poniższych obwodów, aby wywołać TINACloud i wybierz tryb Interaktywny DC, aby przeanalizować je online. Uzyskaj niski koszt dostępu do TINACloud, aby edytować przykłady lub tworzyć własne obwody
Napięcie sinusoidalne można opisać równaniem:
v (t) = VM sin (ωt + Φ) lub v (t) = VM cos (ωt + Φ)
| gdzie | v (t) | Chwilowa wartość napięcia, w woltach (V). |
| VM | Maksymalna lub szczytowa wartość napięcia, w woltach (V) | |
| T | Okres: czas potrzebny na jeden cykl, w sekundach | |
| f | Częstotliwość - liczba okresów w 1 sekundach, w Hz (hercach) lub 1 / s. f = 1 / T | |
| ω | Częstotliwość kątowa wyrażona w radianach / s ω = 2 * π * f lub ω = 2 * π / T. | |
| Φ | Początkowa faza podana w radianach lub stopniach. Ta ilość określa wartość sinusoidy lub cosinusów att = 0. | |
| Uwaga: Amplituda napięcia sinusoidalnego jest czasami wyrażana jako VEff, efektywna lub wartość skuteczna. Jest to związane z VM zgodnie z relacją VM= √2VEff, lub około VEff = 0.707 VM |
Oto kilka przykładów ilustrujących powyższe warunki.
Właściwości napięcia przemiennego 220 V w domowych gniazdkach elektrycznych w Europie:
Wartość skuteczna: VEff = 220 V
Wartość szczytowa: VM= √2 * 220 V = 311 V.
Częstotliwość: f = 50 1 / s = 50 Hz
Częstotliwość kątowa: ω = 2 * π * f = 314 1 / s = 314 rad / s
Okres: T = 1 / f = 20 ms
Funkcja czasu: v (t) = 311 sin (314 t)
Przyjrzyjmy się funkcji czasu za pomocą polecenia TINA's Analysis / AC Analysis / Time Function.
Możesz sprawdzić, czy okres to T = 20m, a VM = 311 V.
Właściwości napięcia 120 V AC w gniazdku elektrycznym w USA:
Wartość skuteczna: VEff = 120 V
Wartość szczytowa: VM= √2 120 V = 169.68 V ≈ 170 V
Częstotliwość: f = 60 1 / s = 60 Hz
Częstotliwość kątowa: ω = 2 * π * f = 376.8 rad / s ≈ 377 rad / s
Okres: T = 1 / f = 16.7 ms
Funkcja czasu: v (t) = 170 sin (377 t)
Zauważ, że w tym przypadku funkcja czasu może być podana jako v (t) = 311 sin (314 t + Φ) lub v (t) = 311 cos (314 t + Φ), ponieważ w przypadku napięcia wyjściowego nie znam początkowej fazy.
Początkowa faza odgrywa ważną rolę, gdy jednocześnie występuje kilka napięć. Dobrym praktycznym przykładem jest system trójfazowy, w którym występują trzy napięcia o tej samej wartości szczytowej, kształcie i częstotliwości, z których każdy ma przesunięcie fazowe 120 ° względem innych. W sieci 60 Hz funkcje czasu to:
vA(t) = 170 sin (377 t)
vB(t) = 170 sin (377 t - 120 °)
vC(t) = 170 sin (377 t + 120 °)
Poniższy rysunek wykonany za pomocą TINA pokazuje, że obwód z tymi czasami działa jako generatory napięcia TINA.
Różnica napięcia vAB= vA(telewizjaB(t) jest pokazany jako rozwiązany przez polecenie TINA's Analysis / AC Analysis / Time Function.
Zauważ, że szczyt vAB (t) jest w przybliżeniu 294 V, większy niż pik 170 V vA(t) lub vB(t) napięcia, ale nie tylko suma ich szczytowych napięć. Wynika to z różnicy faz. Omówimy, jak obliczyć wynikowe napięcie (czyli Ö3 * 170 @ 294 w tym przypadku) w dalszej części tego rozdziału, a także w osobnym Systemy trójfazowe rozdział.
Charakterystyczne wartości sygnałów sinusoidalnych
Chociaż sygnał prądu zmiennego zmienia się w sposób ciągły w czasie, łatwo jest zdefiniować kilka charakterystycznych wartości do porównania jednej fali z inną: są to wartości szczytowe, średnie i pierwiastek kwadratowy (rms).
Osiągnęliśmy już szczytową wartość VM , która jest po prostu maksymalną wartością funkcji czasu, amplitudą fali sinusoidalnej.
Czasami używana jest wartość szczyt-szczyt (pp). W przypadku sinusoidalnych napięć i prądów wartość szczytowa jest dwukrotnie większa od wartości szczytowej.
Połączenia Średnia wartość fali sinusoidalnej jest średnią arytmetyczną wartości dla dodatniego półokresu. Jest także nazywany absolutna średnia ponieważ jest taka sama jak średnia wartości bezwzględnej przebiegu. W praktyce napotykamy ten przebieg przez naprawianie sinusoida z obwodem zwanym prostownikiem pełnookresowym.
Można wykazać, że absolutna średnia fali sinusoidalnej wynosi:
VAV= 2 / π VM ≅ 0.637 VM
Należy zauważyć, że średnia całego cyklu wynosi zero.
Wartość skuteczna lub efektywna sinusoidalnego napięcia lub prądu odpowiada równoważnej wartości DC wytwarzającej tę samą moc grzewczą. Na przykład napięcie o wartości skutecznej 120 V wytwarza taką samą moc ogrzewania i oświetlenia w żarówce, jak 120 V ze źródła napięcia stałego. Można wykazać, że wartość skuteczna lub efektywna fali sinusoidalnej wynosi:
Vrms = VM / √2 ≅ 0.707 VM
Te wartości można obliczyć w ten sam sposób dla obu napięć i prądów.
Wartość skuteczna jest bardzo ważna w praktyce. O ile nie wskazano inaczej, napięcia AC linii zasilającej (np. 110V lub 220V) podano w wartościach skutecznych. Większość liczników prądu przemiennego jest skalibrowana w wartości skutecznej i wskazuje poziom skuteczny.
1 przykład Znajdź szczytową wartość napięcia sinusoidalnego w sieci elektrycznej z wartością skuteczną 220 V.
VM = 220 / 0.707 = 311.17 V
2 przykład Znajdź szczytową wartość napięcia sinusoidalnego w sieci elektrycznej z wartością skuteczną 110 V.
VM = 110 / 0.707 = 155.58 V
3 przykład Znajdź (absolutną) średnią sinusoidalnego napięcia, jeśli jego wartość skuteczna wynosi 220 V.
Va = 0.637 * VM = 0.637 * 311.17 = 198.26 V
4 przykład Znajdź absolutną średnią sinusoidalnego napięcia, jeśli jego wartość skuteczna wynosi 110 V.
Szczyt napięcia z przykładu 2 to 155.58 V, a zatem:
Va = 0.637 * VM = 0.637 * 155.58 = 99.13 V
5 przykład Znajdź stosunek między średnią bezwzględną (Va) i wartości rms (V) dla przebiegu sinusoidalnego.
V / Va = 0.707 / 0.637 = 1.11
Należy pamiętać, że nie można dodawać wartości średnich w obwodzie prądu zmiennego, ponieważ prowadzi to do nieprawidłowych wyników.
PHASORS
Jak już widzieliśmy w poprzednim rozdziale, w obwodach prądu przemiennego często konieczne jest dodanie sinusoidalnych napięć i prądów o tej samej częstotliwości. Chociaż możliwe jest dodawanie sygnałów numerycznie za pomocą TINA lub poprzez zastosowanie relacji trygonometrycznych, wygodniejsze jest użycie tzw. wskaznik metoda. Wskaźnik jest liczbą zespoloną reprezentującą amplitudę i fazę sygnału sinusoidalnego. Ważne jest, aby pamiętać, że wskaznik nie reprezentuje częstotliwości, która musi być taka sama dla wszystkich fazorów.
Wskaźnik może być obsługiwany jako liczba zespolona lub przedstawiony graficznie jako strzałka planarna na płaszczyźnie zespolonej. Przedstawienie graficzne nazywane jest diagramem wskazowym. Korzystając z diagramów wskazówkowych, można dodawać lub odejmować fazory w płaszczyźnie zespolonej za pomocą reguły trójkąta lub równoległoboku.
Istnieją dwie formy liczb zespolonych: prostokątny i polarny.
Prostokątna reprezentacja znajduje się w formie + jb, gdzie j = Ö-1 to jednostka urojona.
Reprezentacja polarna jest w formie Aej j , gdzie A jest wartością bezwzględną (amplitudą) i f jest kątem fazora od dodatniej osi rzeczywistej, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Użyjemy litery dla złożonych ilości.
Zobaczmy teraz, jak uzyskać odpowiedni wskaznik z funkcji czasu.
Po pierwsze, załóżmy, że wszystkie napięcia w obwodzie są wyrażone w postaci funkcji kosinusoidalnych. (Wszystkie napięcia można przekształcić w tę formę.) Następnie wskaznik odpowiadające napięciu v (t) = VM sałata( w t+f) to: VM = VMe jf , zwany także złożoną wartością szczytową.
Na przykład rozważ napięcie: v (t) = 10 cos ( w t + 30°)
Odpowiedni wskaźnik to: 
V
Możemy obliczyć funkcję czasu z wskaznika w ten sam sposób. Najpierw piszemy wskazówkę w formie polarnej, np VM = VMe jr a następnie odpowiadająca funkcja czasu
v (t) = VM (sałata(wt+r).
Weźmy na przykład wskazówkę VM = 10 - j20 V
Przeniesienie go do formy polarnej:
A zatem funkcja czasu to: v (t) = 22.36 cos (wt - 63.5°) V
Wskaźniki są często używane do definiowania złożonej skutecznej lub wartości skutecznej napięć i prądów w obwodach prądu przemiennego. Biorąc pod uwagę v (t) = VMsałata(wt+r) = 10cos (wt + 30°)
Liczebnie:
v (t) = 10 * cos (wt-30°)
Złożona efektywna wartość (rms): V = 0.707 * 10 * e- j30° = 7.07 e- j30° = 6.13 - j 3.535
Odwrotnie: jeśli złożona wartość skuteczna napięcia wynosi:
V = - 10 + j 20 = 22.36 e j 116.5°
następnie złożona wartość szczytowa: 
i funkcja czasu: v (t) = 31.63 cos ( wt + 116.5° ) V
Krótkie uzasadnienie powyższych technik jest następujące. Dana funkcja czasu
VM (sałata( w t+r), zdefiniujmy złożona funkcja czasu jako:
v (t) = VM e jr e jwt = VMe jwt = VM (sałata(r) + j grzech(r))mi jwt
gdzie VM =VM e j r t = VM (sałata(r) + j grzech(r)) jest tylko wskaznikiem przedstawionym powyżej.
Na przykład złożona funkcja czasu v (t) = 10 cos (wt + 30°)
v (t) = VMe jwt = 10 e j30 e jwt = 10e jwt (cos (30) + j sin (30)) = e jwt (8.66 +j5)
Wprowadzając złożoną funkcję czasu, mamy reprezentację zarówno części rzeczywistej, jak i części urojonej. Zawsze możemy odzyskać oryginalną rzeczywistą funkcję czasu, biorąc rzeczywistą część naszego wyniku: v (t) = Re {v(t)}
Jednak złożona funkcja czasu ma tę wielką zaletę, że ponieważ wszystkie złożone funkcje czasowe w rozważanych obwodach prądu przemiennego mają takie same ejwt mnożnik, możemy to uwzględnić i po prostu pracować z fazorami. Ponadto w praktyce nie używamy ejwt część w ogóle - tylko transformacje od funkcji czasu do wskazów iz powrotem.
Aby zademonstrować zaletę używania fazorów, zobaczmy następujący przykład.
6 przykład Znajdź sumę i różnicę napięć:
v1 = 100 cos (314 * t) i v2 = 50 cos (314 * t-45°)
Najpierw napisz wskazniki obu napięć:
V1M = 100 V2M= 50 e - j 45° = 35.53 - j 35.35
Stąd:
VDodaj = V1M + V2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e- j 14.63°
Vponiżej = V1M - V2M = 64.65 + j35.35 = 73.68 e j 28.67°
a następnie funkcje czasu:
vDodaj(t) = 139.89 * cos (wt - 14.63°)
vponiżej(t) = 73.68 * cos (wt + 28.67°)
Jak pokazuje ten prosty przykład, metoda phasors.jest niezwykle potężnym narzędziem do rozwiązywania problemów AC.
Rozwiążmy problem za pomocą narzędzi w tłumaczu TINA.
{obliczenie v1 + v2}
v1: = 100
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553-35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [135.3553-35.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (arc (v1add)) = [- 14.6388]
{obliczenie v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [64.6447 + 35.3553 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (arc (v1sub)) = [28.6751]
#obliczenie v1+v2
importuj matematykę jako m
zaimportuj cmath jako c
v1=100
v2=50*c.exp(kompleks(0,-c.pi/4))
print(“v2=”,v2)
vadd=v1+v2
print(“vadd=”,vadd)
print(“abs(vadd)=”,abs(vadd))
print(“stopnie(arc(vadd))=”,m.stopnie(c.faza(vadd)))
#obliczenie v1-v2
vsub=v1-v2
print(“vsub=”,vsub)
print(“abs(vsub)=”,abs(vsub))
print(“stopnie(arc(vsub))=”,m.stopnie(c.faza(vsub)))
Wyniki amplitudy i fazy potwierdzają obliczenia ręczne.
Teraz sprawdź wynik za pomocą analizy AC TINA.
Przed wykonaniem analizy upewnijmy się, że Funkcja podstawowa dla AC m.in. cosinus Opcje edytora okno dialogowe z menu Widok / Opcja. Wyjaśnimy rolę tego parametru w 8 przykład.
Obwody i wyniki:
Ponownie wynik jest taki sam. Oto wykresy funkcji czasu:
7 przykład Znajdź sumę i różnicę napięć:
v1 = 100 sin (314 * t) i v2 = 50 cos (314 * t-45°)
Ten przykład wywołuje nowe pytanie. Do tej pory wymagaliśmy, aby wszystkie funkcje czasu były podawane jako funkcje kosinusowe. Co zrobić z funkcją czasu podaną jako sinus? Rozwiązaniem jest przekształcenie funkcji sinusowej w funkcję cosinus. Używanie zależności trygonometrycznej sin (x) = cos (x-p/ 2) = cos (x-90°), nasz przykład można sformułować następująco:
v1 = 100 cos (314t - 90°) i v2 = 50 cos (314 * t - 45°)
Teraz wskazniki napięć to:
V1M = 100 e - j 90° = -100 j V2M= 50 e - j 45° = 35.53 - j 35.35
Stąd:
V Dodaj = V1M + V2M = 35.53 - j 135.35
V poniżej = V1M - V2M = - 35.53 - j 64.47
a następnie funkcje czasu:
vDodaj(t) = 139.8966 cos (wt-75.36°)
vponiżej(t) = 73.68 cos (wt-118.68°)
Rozwiążmy problem za pomocą narzędzi w tłumaczu TINA.
{obliczenie v1 + v2}
v1: = - 100 * j
v2: = 50 * exp (-pi / 4 * j)
v2 = [35.3553 - 35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [35.3553-135.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (arc (v1add)) = [- 75.3612]
{obliczenie v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [- 35.3553 - 64.6447 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (arc (v1sub)) = [- 118.6751]
#obliczenie v1+v2
importuj matematykę jako m
zaimportuj cmath jako c
v1=100
v2=50*c.exp(kompleks(0,-c.pi/4))
print(“v2=”,v2)
vadd=v1+v2
print(“vadd=”,vadd)
print(“abs(vadd)=”,abs(vadd))
print(“stopnie(arc(vadd))=”,m.stopnie(c.faza(vadd)))
#obliczenie v1-v2
vsub=v1-v2
print(“vsub=”,vsub)
print(“abs(vsub)=”,abs(vsub))
print(“stopnie(arc(vsub))=”,m.stopnie(c.faza(vsub)))
Sprawdźmy wynik za pomocą analizy AC TINA
8 przykład
Znajdź sumę i różnicę napięć:v1 = 100 sin (314 * t) i v2 = 50 sin (314 * t-45°)
Ten przykład wywołuje jeszcze jeden problem. Co zrobić, jeśli wszystkie napięcia są podawane jako sinusoidy i chcemy również zobaczyć wynik jako sinusoidę ?. Moglibyśmy oczywiście zamienić oba napięcia na funkcje cosinusowe, obliczyć odpowiedź, a następnie przekonwertować wynik z powrotem na funkcję sinusoidalną - ale nie jest to konieczne. Możemy tworzyć fazy z fal sinusoidalnych w taki sam sposób, jak zrobiliśmy z fal cosinusowych, a następnie po prostu użyć ich amplitudy i faz jako amplitudy i fazy fal sinusoidalnych.
To oczywiście da taki sam rezultat, jak przekształcenie fal sinusoidalnych w fale cosinusowe. Jak widzieliśmy w poprzednim przykładzie, jest to równoznaczne z mnożeniem przez -j a następnie używając cos (x) = sin (x-90°) relacja przekształcenia go z powrotem w sinusoidę. Jest to równoważne mnożeniu przez j. Innymi słowy, ponieważ -j × j = 1, możemy użyć fazorów pochodzących bezpośrednio z amplitud i faz fal sinusoidalnych do reprezentowania funkcji, a następnie powrócić do nich bezpośrednio. Ponadto, rozumując w ten sam sposób o złożonych funkcjach czasu, możemy rozważyć sinusoidy jako urojone części złożonych funkcji czasu i uzupełnić je o funkcję cosinus, aby utworzyć pełną złożoną funkcję czasu.
Zobaczmy rozwiązanie tego przykładu, używając funkcji sinus jako podstawy wskazów (przekształcając sin ( w t) do rzeczywistego wskaznika jednostki (1)).
V1M = 100 V2M= 50 e - j 45° = 35.53 - j 35.35
Stąd:
V Dodaj = V1M + V2M = 135.53 - j 35.35
V poniżej = V1M - V2M = 64.47+ j 35.35
Zauważ, że wskazniki są dokładnie takie same jak w przykładzie 6, ale nie funkcje czasu:
v3(t) = 139.9sin (wt - 14.64°)
v4(t) = 73.68sin (wt + 28.68°)
Jak widać, bardzo łatwo jest uzyskać wynik za pomocą funkcji sinusoidalnych, zwłaszcza gdy nasze dane początkowe są falami sinusoidalnymi. Wiele podręczników woli używać fali sinusoidalnej jako podstawowej funkcji wskazów. W praktyce możesz użyć dowolnej metody, ale nie myl ich.
Podczas tworzenia fazorów bardzo ważne jest, aby wszystkie funkcje czasu były najpierw konwertowane na sinus lub cosinus. Jeśli zaczynałeś od funkcji sinus, twoje rozwiązania powinny być reprezentowane przez funkcje sinusowe po powrocie z fazorów do funkcji czasu. To samo odnosi się do funkcji cosinus.
Rozwiążmy ten sam problem za pomocą trybu interaktywnego TINA. Ponieważ chcemy użyć funkcji sinus jako podstawy do tworzenia fazorów, upewnij się, że Funkcja podstawowa dla AC jest ustawione na sinus Opcje edytora okno dialogowe z menu Widok / Opcja.
Obwody do tworzenia sumy i różnicy przebiegów i wynik:
i funkcje czasowe:
English
English
German
French
Spanish
Portuguese
Russian
Chinese (Simplified)
Chinese (Traditional)
Japanese
Korean
Hungarian