BODE PLOTS

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A maioria das funções interessantes dos circuitos CA - impedância complexa, função de transferência de tensão e taxa de transferência de corrente - depende da frequência. A dependência de uma quantidade complexa em relação à frequência pode ser representada em um plano complexo (diagrama de Nyquist) ou em planos reais como gráficos separados do valor absoluto (gráfico de amplitude) e da fase (gráfico de fase).

As plotagens Bode usam uma escala vertical linear para a plotagem de amplitude, mas, como as unidades dB são usadas, o efeito é que a escala vertical é plotada de acordo com o logaritmo da amplitude. A amplitude A é apresentada como 20log10 (A). A escala horizontal para frequência é logarítmica.

Hoje, poucos engenheiros desenham gráficos de Bode à mão, confiando em computadores. A TINA tem instalações muito avançadas para parcelas de Bode. No entanto, compreender as regras para desenhar gráficos de Bode aumentará seu domínio dos circuitos. Nos parágrafos a seguir, apresentaremos essas regras e compararemos as curvas de aproximação em linha reta esboçadas com as curvas exatas de TINA.

A função a ser esboçada é geralmente uma fração ou uma proporção com um polinômio numerador e um polinômio denominador. O primeiro passo é encontrar as raízes dos polinômios. As raízes do numerador são as zeros da função enquanto as raízes do denominador são as pólos.

As plotagens Bode idealizadas são plotagens simplificadas compostas por segmentos de linha reta. Os pontos finais desses segmentos retos projetados no eixo da frequência caem nas frequências polares e zero. Os pólos são chamados às vezes de frequência de cortees da rede. Para expressões mais simples, substituímos s pela frequência: jw = s

Como as quantidades plotadas são plotadas em uma escala logarítmica, as curvas pertencentes aos diferentes termos do produto podem ser adicionadas.

Aqui está um resumo dos princípios importantes dos gráficos de Bode e as regras para esboçá-los.

A 3 dB O ponto em um gráfico de Bode é especial, representando a frequência na qual a amplitude aumentou de um valor constante em 3 dB. Convertendo de A em dB para A em volts / volt, resolvemos 3 dB = 20 log10 A e obtemos log10 A = 3/20 e, portanto, . o –3 dB O ponto implica que A é 1 / 1.41 = 0.7.

Uma função de transferência típica se parece com isso:

or

Agora veremos como funções de transferência como as descritas acima podem ser esboçadas rapidamente (ganho da função de transferência em dB versus frequência em Hz). Como o eixo vertical é representado em dB, é uma escala logarítmica. Lembrando que o produto dos termos na função de transferência será visto como a soma dos termos no domínio logarítmico, veremos como esboçar os termos individuais separadamente e adicioná-los graficamente para obter o resultado final.

A curva do valor absoluto de um termo de primeira ordem s tem um declive 20 dB / década cruzando o eixo horizontal em w = 1. A fase deste termo é 90° em qualquer frequência. A curva de K *s também tem uma inclinação de 20 dB / década, mas cruza o eixo em w = 1 / K; isto é, onde o valor absoluto do produto ½K*s ½= 1.

O próximo termo de primeira ordem (no segundo exemplo), s-1 = 1 / sé semelhante: seu valor absoluto a -20 dB / declive da década; sua fase é -90° em qualquer frequência; e atravessa o w-axis em w = 1. Da mesma forma, o valor absoluto do termo K /s tem uma inclinação de -20 dB / década; a fase é -90° a qualquer frequência; mas atravessa o w eixo em w = K, onde o valor absoluto da fração

½K/s ½= 1.

O próximo termo de primeira ordem a esboçar é 1 + sT. O gráfico de amplitude é uma linha horizontal até w1 = 1 / T, após o que se inclina para cima em 20 dB / década. A fase é igual a zero em pequenas frequências, 90° em altas frequências e 45° at w1 = 1 / T. Uma boa aproximação para a fase é que ela é zero até 0.1 *w1 = 0.1 / T e é quase 90° acima de 10 *w1 = 10 / T. Entre essas frequências, o diagrama de fases pode ser aproximado por um segmento linear que conecta os pontos (0.1 *w1; 0) e (10 *w1, 90°).

O último termo de primeira ordem, 1 / (1 + sT), tem um declive –20 dB / década começando na frequência angular w1= 1 / T. A fase é 0 em pequenas frequências, -90° em altas frequências e -45° at w1 = 1 / T. Entre essas frequências, o diagrama de fases pode ser aproximado por uma linha reta que conecta os pontos (0.1 *w1; 0) e (10 *w1; - 90°).

Um fator multiplicador constante na função é plotado como uma linha horizontal paralela à w-eixo.

Polinômios de segunda ordem com raízes conjugadas complexas levam a um gráfico Bode mais complicado que não será considerado aqui.

Exemplo 1

Encontre a impedância equivalente e esboce-a.

Você pode usar a Análise TINA para obter a equação da impedância equivalente, escolhendo Análise - Análise simbólica - Transferência CA.


Clique / toque no circuito acima para analisar on-line ou clique neste link para Salvar no Windows

A impedância total: Z (s) = R + sL = R (1 + sL / R)

… E a frequência de corte: w1 = R / L = 5 / 0.5 = 10 rad / s f1 = 1.5916 Hz

A frequência de corte pode ser vista como o ponto de +3 dB no gráfico Bode. Aqui, o ponto de 3 dB significa 1.4 * R = 7.07 ohm.

Você também pode fazer com que o TINA plote as características de amplitude e fase, cada uma em seu próprio gráfico:

Observe que o gráfico de impedância usa uma escala vertical linear, não logarítmica, portanto, não podemos usar a tangente de 20 dB / década. Nas plotagens de impedância e de fase, o eixo x é o w eixo dimensionado para frequência em Hz. Para o diagrama de impedância, o eixo y é linear e exibe impedância em ohms. Para o diagrama de fases, o eixo y é linear e exibe a fase em graus.

Exemplo 2

Encontre a função de transferência para VC/VS. Esboce o gráfico Bode desta função.


Obtemos a função de transferência usando a divisão de tensão:

A frequência de corte: w1 = 1 / RC = 1 / 5 * 10-6 = 200 krad / s f1 = 31.83 kHz

Uma das características fortes do TINA é a sua análise simbólica: Análise - 'Análise Simbólica' - Transferência AC ou Transferência AC Semi-Simbólica. Essas análises fornecem a função de transferência da rede na forma simbólica completa ou na forma semi-simbólica. Na forma semi-simbólica, os valores numéricos para os valores dos componentes são usados ​​e a única variável restante é s.

TINA desenha o gráfico Bode real, não uma aproximação linear. Para encontrar a frequência de corte real, use o cursor para localizar o ponto de –3 dB.


Neste segundo gráfico, usamos as ferramentas de anotação da TINA para desenhar também os segmentos retos.

Mais uma vez, o eixo y é linear e exibe a taxa de tensão em dB ou a fase em graus. O x ou w-axis representa frequência em Hz.

No terceiro exemplo, ilustramos como obtemos a solução adicionando os diferentes termos.

Exemplo 3

Encontre a característica de transferência de tensão W = V2/VS e desenhe seus diagramas de Bode.
Encontre a frequência em que a magnitude de W é mínima.
Obtenha a frequência em que o ângulo da fase é 0.

A função de transferência pode ser encontrada usando 'Análise simbólica' 'Transferência CA ”no menu de análise da TINA.

Ou com 'Transferência CA semi-simbólica'.

Manualmente, usando unidades Mohm, nF, kHz:

Primeiro encontre as raízes:

os zeros w01 = 1 / (R1C1) = 103 rad / s e w02 = 1 / (R2C2) = 2 * 103 rad / s

f01 = 159.16 Hz e f02 = 318.32 Hz

e postes wP1 = 155.71 rad / s e wP2 = 12.84 krad / s

fP1 = 24.78 Hz e fP2 = 2.044 kHz

A função de transferência na chamada 'forma normal':

A segunda forma normalizada é mais conveniente para desenhar o gráfico Bode.

Primeiro, encontre o valor da função de transferência em f = 0 (DC). Por inspeção, é 1 ou 0dB. Este é o valor inicial da nossa aproximação linear de W (s). Desenhe um segmento de linha horizontal de DC para o primeiro polo ou zero, no nível 0dB.

Em seguida, ordene os pólos e os zeros pela frequência crescente:

fP1 = 24.78 Hz

f01 = 159.16 Hz

f02 = 318.32 Hz

fP2 = 2.044 kHz

Agora, no primeiro poste ou em zero (é um poste, fP1), desenhe uma linha, neste caso caindo em 20dB / década.

No próximo polo ou zero, f01, desenhar um segmento de linha nivelado refletindo o efeito combinado do poste e zero (suas inclinações são canceladas).

Em f02, o segundo e o último zero, desenhe um segmento de linha crescente (20dB / década) para refletir o efeito combinado do polo / zero / zero.

Em fP2, o segundo e o último pólo, altere a inclinação do segmento ascendente para uma linha de nível, refletindo o efeito líquido de dois zeros e dois pólos.

Os resultados são mostrados no gráfico de amplitude Bode a seguir, onde os segmentos retos são mostrados como linhas finas de traço-ponto-ponto.

Em seguida, traçamos a linha grossa de cal para resumir esses segmentos.

Finalmente, temos a função Bode calculada da TINA plotada em marrom.

Você pode ver que, quando um polo está muito próximo de um zero, a aproximação linear se desvia bastante da função real. Observe também o ganho mínimo no gráfico Bode acima. Com uma rede um tanto complicada como essa, é difícil encontrar o ganho mínimo a partir da aproximação linear, embora seja possível ver a frequência com que o ganho mínimo ocorre.

Nas plotagens TINA Bode acima, o cursor é usado para encontrar Aminutos e a frequência com que a fase passa por 0 graus.

Aminutos @ -12.74 DB ® Aminutos = 0.23 at f = 227.7 Hz

e j = 0 em f = 223.4 Hz.


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