NÚMEROS COMPLEXOS

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Neste e nos próximos capítulos, apresentaremos um tópico muito importante: CA ou Corrente Alternada. O nome corrente alternada não é muito preciso e normalmente cobre circuitos com voltagens e correntes sinusoidais; no entanto, a corrente alternada também pode significar qualquer forma de onda de corrente arbitrária. A importância da tensão alternada é que este tipo de tensão é usado para a principal fonte de energia elétrica em residências e indústrias em todo o mundo. Também é a base para muitas aplicações eletrônicas, de telecomunicações e industriais.

Para lidar com formas de onda senoidais e os circuitos associados a elas, usaremos um método simples e elegante chamado método dos fasores. Os fasores são baseados nas propriedades de números complexos, ideais para representar quantidades senoidais. Neste capítulo, resumiremos os principais fatos sobre números complexos e suas operações. Também mostraremos como o Interpretador da TINA facilita o cálculo com números complexos.

Números complexos consistem em duas partes, uma parte real (x), que é um número real e um chamado parte imaginária (y), que é um número real multiplicado por , a unidade imaginária. O número complexo z, portanto, pode ser descrito como:

z = x + jy

onde .

Exemplos de números complexos:

z 1 = 1 + j

z 2 = 4-2 j

z 3 = 3- 5j

Números complexos foram originalmente introduzidos no século XVII para representar as raízes dos polinômios que não podiam ser representados apenas com números reais. Por exemplo, as raízes da equação x2 + 2x + 2 = 0 só pode ser descrito como e ou usando a notação , z1= 1 + j e z2= 1- j. Usando a nova notação para investigar as propriedades das expressões, os matemáticos foram capazes de provar teoremas e resolver problemas que até então eram difíceis, senão impossíveis, de resolver. Isso levou à elaboração de álgebra complexa e funções complexas, que agora são amplamente usadas em matemática e engenharia.

Representação geométrica de números complexos

Forma retangular

Como um número complexo sempre pode ser separado em suas partes reais e complexas, podemos representar um número complexo como um ponto em um plano bidimensional. A parte real de um número complexo é a projeção do ponto no eixo real, e a parte imaginária do número é a projeção no eixo imaginário. Quando um número complexo é representado como a soma de partes reais e imaginárias, dizemos que está em retangular or forma algébrica.


A figura a seguir mostra o número complexo z = 2 + 4j

Forma polar e exponencial

Como você pode ver na figura acima, o ponto A também pode ser representado pelo comprimento da seta, r (também chamado de valor absoluto, magnitude ou amplitude) e seu ângulo (ou fase), φ relativa no sentido anti-horário ao eixo horizontal positivo. Isto é o polar forma de um número complexo. É denotado como r ∠ φ.

O próximo passo é muito importante. Um número complexo na forma polar também pode ser escrito em exponencial Formato:

Essa expressão simples é distinta por ter um número imaginário no expoente em vez do número real usual. Esse complexo exponencial se comporta de maneira muito diferente da função exponencial com um argumento real. Enquanto ex cresce rapidamente em magnitude para aumentar x> 0 e diminui para x <0, a função tem a mesma magnitude (z = 1) para qualquer φ. Além disso, seus valores complexos estão no círculo unitário.

A fórmula de Euler fornece um elo unificador entre as formas retangulares, polares e exponenciais de números complexos:

z = x + jy = re jφ = r (cos φ + j sem φ )

onde

e φ = tan-1 (y / x)

Para o nosso exemplo acima, z = 2 + 4j:

φ = tan-1 (4 / 2) = 63.4

assim sendo .

Ou vice-versa:

Você precisará usar os dois formulários, dependendo do aplicativo. Por exemplo, obviamente, é mais fácil fazer adição ou subtração quando os números estão na forma retangular, enquanto multiplicação e divisão são mais fáceis quando os números estão na forma exponencial.

Operações com números complexos

As operações que podem ser feitas com números complexos são semelhantes às de números reais. As regras e algumas novas definições estão resumidas abaixo.

Operações com j

As operações com j basta seguir a partir da definição da unidade imaginária,

Para poder trabalhar com rapidez e precisão, você deve memorizar estas regras:

j 2 = -1

j 3 =-j

j 4 =1

1/j = -j

Prova:

j2 = -1 simplesmente segue da definição de , Desde

Para 1 /j, nós multiplicamos 1 /jby j / j = 1 e obtenha j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Conjugado complexo

O complexo conjugado de um número complexo é facilmente derivado e é bastante importante. Para obter o complexo conjugado de um número complexo de forma retangular, basta alterar o sinal da parte imaginária. Para fazer isso para um número em forma exponencial, altere o sinal do ângulo do número complexo enquanto mantém seu valor absoluto igual.

O conjugado complexo de um número complexo z é frequentemente denotado por z*.

Dado o número complexo z= a + jb, seu conjugado complexo é z*= a– jb.

If z é dado em forma exponencial, , seu conjugado complexo é

Usando as definições acima, é fácil ver que um número complexo multiplicado por seu conjugado complexo dá o quadrado do valor absoluto do número complexo:

zz* = r2 = a2 + b2

Além disso, adicionando ou subtraindo qualquer número complexo e seu conjugado, obtemos as seguintes relações:

z + z * = 2a

assim sendo

Re (z) = a = ( z + z * ) / 2

Similarmente:

z - z * =j2b

assim sendo

Eu estou(z) = b = ( z -z * ) / 2j

Prova:

ou multiplicando as partes real e imaginária e usando j2= -1

zz* = (a + jBA - jb) = a2+a jBA jb - jbjb = a2j2 = a2 + b2

z + z* = a + jb + a - jb = 2a

z - z*= a + jb - a + jb =j2b

Exemplos numéricos:

Na forma retangular:

z = 3 + j4

z* = 3– j4

zz * = 9 + 16 = 25

Na forma polar

z = 5 ∠ 53.13 °

z * = 5 ∠- 53.13 °

Na forma exponencial:

Adição e subtração

A adição e subtração de números complexos é direta - precisamos apenas adicionar as partes reais e imaginárias separadamente. Por exemplo, se

z1 = 3 - 4j e z2 = 2 + 3j

então

z1 + z2 = 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z1 - z2 = 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Obviamente, devemos usar a forma retangular para essas operações. Se os números são dados na forma exponencial ou polar, devemos transformá-los primeiro na forma retangular usando a fórmula de Euler, como fornecido anteriormente.

Multiplicação

Existem dois métodos para multiplicação de números complexos -

Multiplicação de números complexos dados em forma retangular

Para realizar a operação, basta multiplicar as partes reais e imaginárias de um número por partes reais e imaginárias do outro número e usar a identidade j2 = -1.

z1z2 = (a1 + jb1) (uma2 + jb2) = a1 a2 + jb1a2+ jb2a1 - b1b2 = a1 a2- b1b2 + j(b1a2+ jb2a1)

Quando os números complexos são dados numericamente, não é necessário usar a fórmula acima. Por exemplo, vamos

z1 = 3 - 4j e z2 = 2 + 3j

Com multiplicação direta dos componentes:

z1z2 = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

ou usando a fórmula: z1z2 = a1 a2- b1b2 + j(b1a2+ B2a1)

z1z2 = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Achamos que você está mais propenso a cometer um erro se usar a fórmula do que se multiplicar os componentes diretamente.

{Solução do intérprete da TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

Multiplicação de números complexos dados em forma polar ou exponencial

Para realizar esta operação, multiplique os valores absolutos e adicione os ângulos dos dois números complexos. Deixei:

Então, usando a regra da multiplicação de funções exponenciais:

ou na forma polar

z1 z2 = r1 r2 ∠ φ1 + φ2

Nota: Nós já usamos esta regra quando calculamos zz *acima. Como o ângulo do conjugado tem o sinal oposto ao ângulo original, um número complexo multiplicado por seu próprio conjugado é sempre um número real; ou seja, o quadrado do seu valor absoluto: zz * = r2

Por exemplo, vamos:

z1 = 5 ∠ 30 ° e z2 = 4 ∠ -60 °

então

z1z2 = 20 ∠ -30 °

ou em forma exponencial

A multiplicação é obviamente mais simples quando os números estão na forma polar ou exponencial.

No entanto, se os números complexos forem fornecidos na forma retangular, considere realizar a multiplicação diretamente como mostrado acima, pois existem etapas adicionais se você converter os números para a forma polar antes de multiplicá-los. Outro fator a considerar é se você deseja que as respostas estejam na forma retangular ou na forma polar / exponencial. Por exemplo, se os dois números estiverem na forma retangular, mas você desejar o produto na forma polar, faz sentido convertê-los imediatamente e depois multiplicá-los.

Divisão

Existem dois métodos para divisão de números complexos -

Divisão de números complexos dados em forma retangular

Para realizar a operação, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O denominador se torna um número real e a divisão é reduzida à multiplicação de dois números complexos e uma divisão por um número real, o quadrado do valor absoluto do denominador.


Por exemplo, vamos:

z1 = 3 - 4j e z2 = 2 + 3j

Vamos verificar este resultado com o Interpretador da TINA:

{Solução do intérprete da TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

Divisão de números complexos dados em forma polar ou exponencial

Para realizar a operação, divida os valores absolutos (magnitudes) e subtraia o ângulo do denominador do ângulo do numerador. Deixei:

então usando a regra de divisão de funções exponenciais

ou na forma polar

z 1 / z2 = r1 / r2 φ 1- φ 2

Por exemplo, vamos:

z 1 = 5 ∠ 30 ° e z 2 = 2 ∠ -60 °

então

z 1 / z2 = 2.5 ∠ 90 °

ou em formas exponenciais e retangulares

Vamos verificar este resultado com o Interpretador da TINA:

{Solução do intérprete da TINA}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

A divisão é obviamente mais simples quando os números estão na forma polar ou exponencial.

No entanto, se os números complexos forem fornecidos na forma retangular, considere executar a divisão diretamente usando o método conjugado complexo, como mostrado acima, pois há etapas adicionais se você converter os números na forma polar antes de dividi-los. Outro fator a considerar é se você deseja que as respostas estejam na forma retangular ou na forma polar / exponencial. Por exemplo, se os dois números estiverem na forma retangular, mas você desejar o quociente na forma polar, faz sentido convertê-los imediatamente e depois dividi-los.

Agora vamos ilustrar o uso de números complexos por mais problemas numéricos. Como de costume, vamos verificar nossas soluções usando o Interpretador da TINA. O intérprete trabalha com radianos, mas possui funções padrão para a conversão de radianos em graus ou vice-versa.

Exemplo 1 Encontre a representação polar:

z = 12 - j 48

ou 49.48 ∠ - 75.96 °

{Solução do intérprete da TINA}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
arco (z) = [- 1.3258]
radtodeg (arco (z)) = [- 75.9638]

Exemplo 2 Encontre a representação retangular:

z = 25 e j 125 °

{Solução do intérprete da TINA}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

Exemplo 3 Encontre a representação polar dos seguintes números complexos:

z 1 = 12 + j 48 z2 = 12 - j48 z3= -12 + j 48 z4= -12 - j 48

Os valores absolutos de todos os quatro números são os mesmos porque o valor absoluto é independente dos sinais. Somente os ângulos são diferentes.

{Solução do intérprete da TINA}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
arco (z1) = [1.3258]
radtodeg (arco (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
arc (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (arco (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
arco (z3) = [1.8158]
radtodeg (arco (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
arc (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (arco (z4)) = [- 104.0362]

A função arco () da TINA determina o ângulo de qualquer número complexo, colocando-o automaticamente em um dos quatro quadrantes.

Tenha cuidado, no entanto, usando o bronzeado-1 função para encontrar o ângulo, uma vez que é restrito a retornar ângulos apenas no primeiro e quarto quadrantes (-90 °φ<90 °).

Como z1 está localizado no primeiro quadrante do sistema de coordenadas, o cálculo é:

α 1 = tan-1(48 / 12) = bronzeado-1(4) = 75.96 °

Como z4 está localizado no terceiro quadrante do sistema de coordenadas, tan-1não retorna o ângulo corretamente. O cálculo do ângulo é:

α 4 = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° ou -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, que é igual ao calculado por TINA.

z2 está localizado no quarto quadrante do sistema de coordenadas O cálculo do ângulo é:

α 2 = tan-1(-48 / 12) = bronzeado-1(-4) = -75.96 °

z3, no entanto, está no quadrante 2nd do sistema de coordenadas, então tan-1 não retorna o ângulo corretamente. O cálculo do ângulo é:

α 3 = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Exemplo 4 Nós temos dois números complexos: z1= 4 - j 6 e z2 = 5 ej45 ° .

Procure z3 = z1 + z2; z4 = z1 - z2; z5 = z1 * z2; z6 = z1 / z2

Primeiro resolvemos o problema usando o Interpretador da TINA

{Solução do intérprete da TINA}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Observe como a TINA manipula sem esforço os dois números complexos dados em diferentes formas.

A solução é mais complicada sem o intérprete. Para que possamos comparar os diferentes métodos de multiplicação e divisão, primeiro determinaremos a forma polar de z1 e a forma retangular de z2 .

A seguir, encontramos as quatro soluções usando as formas mais fáceis primeiro: retangular para adição e subtração e exponencial para multiplicação e divisão:

z 3 = z1 + z2 = 4 - j 6 + 3.535 + j 3.535 = 7.535 - j2.465

z 4 = z1 - z2 = 4 - j 6 - 3.535 - j 3.535 = 0.465 - j9.535

z 5 = z1 * z2 = 7.21 * 5 * ej(-56.31 ° + 45 °) = 36.05 e -j11.31 ° = 36.03 * (cos (-11.31 °) +j* sin (-11.31 °))

z 5 = 35.33 - j 7.07

z 6 = z1/z2= (7.21 / 5) * e j (-56.31 ° -45 °) = 1.442 e - j 101.31 ° = 1.442 (cos (-101.31 °) +j* sin (-101.31 °))

z 6 = -0.2828 - j 1.414

que concordam com os resultados obtidos com o TINA Interpreter.

A multiplicação realizada em forma retangular:

z 5 =z1*z2 = (4-j6) * 3.535 * (1 +j) = 7.07 * (2-j3) * (1 +j) = 7.07 * (2-j3+j2 + 3) = 7.07 * (5-j) = 35.35-j7.07

Finalmente a divisão realizada em forma retangular:

que concordam com os resultados anteriores.

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