LEIS DE KIRCHHOFF

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Muitos circuitos são muito complexos para serem resolvidos usando as regras para circuitos em série ou paralelo ou as técnicas de conversão para circuitos mais simples descritos nos capítulos anteriores. Para esses circuitos, precisamos de métodos de solução mais gerais. O método mais geral é dado pelas leis de Kirchhoff, que permitem o cálculo de todas as tensões e correntes de circuitos por uma solução de um sistema de equações lineares.

Há dois Leis de Kirchhoff, a lei da tensão E a corrente lei. Essas duas leis podem ser usadas para determinar todas as tensões e correntes dos circuitos.

A lei de tensão de Kirchhoff (KVL) afirma que a soma algébrica da tensão aumenta e a tensão cai em torno de um loop deve ser zero.

Um loop na definição acima significa um caminho fechado no circuito; isto é, um caminho que deixa um nó em uma direção e retorna ao mesmo nó de outra direção.

Nos nossos exemplos, usaremos a direção no sentido horário para loops; no entanto, os mesmos resultados serão obtidos se a direção no sentido anti-horário for usada.

Para aplicar KVL sem erros, precisamos definir a chamada direção de referência. A direção de referência das tensões desconhecidas aponta do sinal + para o - das tensões assumidas. Imagine usar um voltímetro. Você colocaria a sonda positiva do voltímetro (geralmente vermelha) no terminal de referência + do componente. Se a tensão real for positiva, ela estará na mesma direção que assumimos, e nossa solução e o voltímetro mostrarão um valor positivo.

Ao derivar a soma algébrica das tensões, devemos atribuir um sinal de mais às tensões em que a direção de referência concorda com a direção do loop e os sinais negativos no caso oposto.

Outra maneira de declarar a lei de tensão de Kirchhoff é: a tensão aplicada de um circuito em série é igual à soma da queda de tensão nos elementos da série.

O breve exemplo a seguir mostra o uso da lei de tensão de Kirchhoff.

Encontre a tensão no resistor R2, dado que a tensão da fonte, VS = 100 V e que a tensão através do resistor R1 é V1 = 40 V.

A figura abaixo pode ser criada com o TINA Pro versão 6 e superior, na qual as ferramentas de desenho estão disponíveis no editor de esquema.


A solução usando a lei de tensão de Kirchhoff: -VS + V1 + V2 = 0 ou VS = V1 + V2

conseqüentemente: V2 = VS - V1 = 100-40 = 60V

Observe que normalmente não conhecemos as tensões dos resistores (a menos que as medamos) e precisamos usar as leis de Kirchhoff para a solução.

A lei atual de Kirchhoff (KCL) afirma que a soma algébrica de todas as correntes que entram e deixam qualquer nó em um circuito é zero.

A seguir, damos um sinal + para as correntes que saem de um nó e um sinal - para as correntes que entram em um nó.

Aqui está um exemplo básico que demonstra a lei atual de Kirchhoff.


Encontre a corrente I2 se a fonte atual IS = 12 A, e eu1 = 8 A.


Usando a lei atual de Kirchhoff no nó circulado: -IS + I1 + I2 = 0, portanto: I2= EuS - eu1 = 12 - 8 = 4 A, como você pode verificar usando TINA (próxima figura).

No próximo exemplo, usaremos as leis de Kirchhoff e a lei de Ohm para calcular a corrente e a tensão nos resistores.

Na figura abaixo, você observará o Seta de tensão resistores acima. Este é um novo componente disponível em Versão 6 do TINA e funciona como um voltímetro. Se você conectá-lo através de um componente, a seta determinará a direção de referência (para comparar com um voltímetro, imagine colocar a sonda vermelha na ponta da seta e a sonda preta na ponta). Ao executar a análise CC, a tensão real no componente será exibida na seta.


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Para começar a usar a lei atual de Kirchhoff, vemos que as correntes em todos os componentes são as mesmas, então vamos denotar essa corrente por I.

De acordo com a lei de tensão de Kirchhoff: VS = V1+V2+V3

Agora, usando a lei de Ohm: VS= I * R1+ I * R2+ I * R3

E a partir daqui a corrente do circuito:

Eu = VS / (R1+R2+R3) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Finalmente, as tensões dos resistores:

V1= I * R1 = 2 * 10 = 20 V; V2 = I * R2 = 2 * 20 = 40 V; V3 = I * R3 = 2 * 30 = 60 V

Os mesmos resultados serão vistos nas setas de tensão simplesmente executando a análise interativa de CC da TINA.


Neste próximo circuito mais complexo, também usamos as leis de Kirchhoff e a lei de Ohm, mas descobrimos que mais resolvemos um sistema linear de equações.

O número total de aplicações independentes das leis de Kirchhoff em um circuito é o número de ramificações do circuito, enquanto o número total de incógnitas (a corrente e a tensão de cada ramificação) é o dobro disso. Entretanto, usando também a lei de Ohm em cada resistor e Nas equações simples que definem as tensões e correntes aplicadas, obtemos um sistema de equações em que o número de incógnitas é o mesmo que o número de equações.

Encontre as correntes de ramificação I1, I2, I3 no circuito abaixo.


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O conjunto de equações segue:

A equação nodal para o nó circulado:

- I1 - I2 - eu3 = 0

ou multiplicando por -1

I1 + I2 + I3 = 0

As equações do loop (usando a direção horária) do loop L1, contendo V1, R1 e R3

-V1+I1*R1-I3*R3 = 0

e para o loop L2, contendo V2, R2 e R3

I3*R3 - eu2*R2 +V2 = 0

Substituindo os valores do componente:

I1+ I2+ I3 = 0 -8 + 40 * I1 - 40 * I3 = 0 40 * I3 –20 * I2 + 16 = 0

Expresso eu1 usando a equação nodal: I1 = -I2 - eu3

então substitua-o na segunda equação:

-V1 - (EU2 + I3) * R1 -EU3*R3 = 0 or –8- (I2 + I3) * 40 - I3* 40 = 0

Expresso eu2 e substitua-o na terceira equação, a partir da qual você já pode calcular I3:

I2 = - (V1 + I3* (R1+R3)) / R1 or I2 = - (8 + I3* 80) / 40

I3*R3 + R2* (V1 + I3* (R1+R3)) / R1 +V2 = 0 or I3* 40 + 20 * (8 + I3* 80) / 40 + 16 = 0

E: I3 = - (V2 + V1*R2/R1) / (R3+ (R1+R3) * R2/R1) or I3 = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

portanto I3 = - 0.25 A; I2 = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A e I1 = - (0.3-0.25) = - 0.05 A

Ou: I1 = -50 mA; I2 = 300 mA; I3 = -250 mA.

Agora vamos resolver as mesmas equações com o intérprete da TINA:

{Solução do intérprete da TINA}
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
end;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

Finalmente vamos verificar o resultados usando TINA:


A seguir, vamos analisar o seguinte circuito ainda mais complexo e determinar suas correntes e tensões de derivação.


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Vamos denotar as tensões e correntes desconhecidas adicionando setas de tensão e corrente aos componentes e também mostrar os loops (L1, L2, L3) e os nós (N1, N2) onde usaremos as equações de Kirchhoff.


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Aqui está o conjunto de Equações de Kirchhoff para os loops (usando a direção no sentido horário) e os nós.

-IL + IR1 - eus = 0 (para N1)

- euR1 + IR2 + Is3 = 0 (para N2)

-Vs1 - VR3 + VIs + VL = 0 (para L1)

-VIs + Vs2 +VR2 +VR1 = 0 (para L2)

-VR2 - Vs2 + Vs3 = 0 (para L3)

Aplicando a lei de Ohm:

VL = EuL*RL

VR1 =IR1*R1

VR2 = EuR2*R2

VR3 = - euL*R3

São 9 incógnitas e 9 equações. A maneira mais fácil de resolver isso é usar o TINA

intérprete. No entanto, se formos pressionados a usar cálculos manuais, notamos que esse conjunto de equações pode ser facilmente reduzido a um sistema de 5 incógnitas, substituindo as últimas 4 equações nas equações de loop L1, L2, L3. Além disso, adicionando as equações (L1) e (L2), podemos eliminar VIs , reduzindo o problema a um sistema de equações 4 para 4 unknowns (IL, IR1 IR2, Is3) Quando encontramos essas correntes, podemos facilmente determinar VEU , VR1, VR2, e VR3 usando as últimas quatro equações (lei de Ohm).

Substituindo VL ,VR1,VR2 ,VR3 :

-IL + IR1 - eus = 0 (para N1)

- euR1 + IR2 + Is3 = 0 (para N2)

-Vs1 + IL*R3 + VIs + IL*RL = 0 (para L1)

-VIs + Vs2 + IR2*R2 + IR1*R1 = 0 (Por L2)

- euR2*R2 - Vs2 + Vs3 = 0 (para L3)

Adicionando (L1) e (L2) nós pegamos

-IL + IR1 - eus = 0 (para N1)

- euR1 + IR2 + Is3 = 0 (para N2)

-Vs1 + IL*R3 + IL*RL + Vs2 + IR2*R2 + IR1*R1 = 0 (L1) + (L2)

- euR2*R2 - Vs2 + Vs3 = 0 (para L3)

Depois de substituir os valores dos componentes, a solução para essas equações vem prontamente.

-IL+IR1 - 2 = 0 (para N1)

-IR1 + IR2 + IS3 = 0 (para N2)

-120 - + IL* 90 + IL* 20 + 60 + IR2* 40 + IR1* 30 = 0 (L1) + (L2)

-IR2* 40 - 60 + 270 = 0 (para L3)

de L3 IR2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

de N2 IS3 - euR1 = - 5.25 (II)

de L1+L2 110 IL + 30 IR1 = -150 (III)

e para N1 IR1 - euL = 2 (IV)

Multiplique (IV) por –30 e adicione a (III) 140 IL = -210 conseqüentemente IL = - 1.5 A

Substituto IL em (IV) IR1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

e euR1 para dentro (II) IS3 = -5.25 + IR1 = -4,75 A

E as voltagens: VR1 = EuR1*R1 = 15 V; VR2 = EuR2*R2 = 210 V;

VR3 = - euL*R3= 135 V; VL = EuL*RL = - 30 V; VIs = VS1+VR3-VL = 285 V

{Solução das equações originais pelo intérprete da TINA}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-Is + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-VS1 + VR3 + Vis-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
end;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VIs = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

Solução do conjunto reduzido de equações usando o intérprete:

{Solução do conjunto reduzido de equações pelo intérprete TINA}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
end;
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

Também podemos inserir expressões para as tensões e fazer com que o intérprete da TINA as calcule:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Vl: = Il * RL;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
VIs: = Vs1-Vl + Vr3;
Vl = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VIs = [285]

Para verificar o resultado com o TINA, basta ativar o modo interativo DC do TINA ou usar Análise / Análise DC / Tensões nodais
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