LEIS DE KIRCHHOFF EM CIRCUITOS AC

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Como já vimos, circuitos com excitação sinusoidal podem ser resolvidos usando Impedâncias complexas para os elementos e pico complexo or complexo valores rms para as correntes e tensões. Usando a versão de valores complexos das leis de Kirchhoff, técnicas de análise nodal e de malha podem ser empregadas para resolver circuitos CA de maneira semelhante aos circuitos CC. Neste capítulo, mostraremos isso por meio de exemplos das leis de Kirchhoff.

Exemplo 1

Encontre a amplitude e o ângulo de fase da corrente ivs(T) if
vS(t) = VSM cos 2
pft; i (t) = euSM cos 2pft; VSM = 10 V; EuSM = 1 A; f = 10 kHz;

R = 5 ohm; L = 0.2 mH; C1 = 10 mF; C2 = 5 mF


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No total, temos 10 tensões e correntes desconhecidas, a saber: i, iC1, oR, oL, oC2vC1vRvLvC2 e vIS. (Se usarmos valores complexos de pico ou rms para as tensões e correntes, teremos ao todo 20 equações reais!)

As equações:

Equações de malha ou malha: para M1 - VSM +VC1M+VRM = 0

M2 - VRM + VLM = 0

M3 - VLM + VC2M = 0

M4 - VC2M + VIsM = 0

Leis de Ohm VRM = R *IRM

VLM = j*w*EU*ILM

IC1M = j*w*C1*VC1M

IC2M = j*w*C2*VC2M

Equação nodal para N1 - IC1M - ISM + IRM + ILM +IC2M = 0

para elementos de série I = IC1M

Resolvendo o sistema de equações, você pode encontrar a corrente desconhecida:

ivs (t) = 1.81 cos (wt + 79.96°) A

Resolver um sistema tão grande de equações complexas é muito complicado, por isso não o mostramos em detalhes. Cada equação complexa leva a duas equações reais, então mostramos a solução apenas pelos valores calculados com o intérprete da TINA.

A solução usando o intérprete da TINA:

{Solução do intérprete da TINA}
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
É: = 1;
Sys Ic1, Ir, IL, Ic2, Vc1, Vr, VL, VC2, Vis, Ivs
Vs = Vc1 + Vr {M1}
Vr = VL {M2}
Vr = Vc2 {M3}
Vc2 = Vis {M4}
Ivs = Ir + IL + Ic2-Is {N1}
{Regras de Ohm}
Ic1 = j * om * C1 * Vc1
Vr = R * Ir
VL = j * om * L * IL
Ic2 = j * om * C2 * Vc2
Ivs = Ic1
end;
Ivs = [3.1531E-1 + 1.7812E0 * j]
abs (Ivs) = [1.8089]
fiIvs: = 180 * arc (Ivs) / pi
fiIvs = [79.9613]

A solução usando TINA:


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Para resolver esse problema manualmente, trabalhe com as impedâncias complexas. Por exemplo, R, L e C2 estão conectados em paralelo, para que você possa simplificar o circuito calculando seu equivalente paralelo. || significa o equivalente paralelo das impedâncias:

Numericamente:


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O circuito simplificado usando a impedância:

As equações na forma ordenada: I + IG1 = IZ

VS = VC1 +VZ

VZ = Z · IZ

I = j w C1· VC1

Existem quatro incógnitas. I; IZ; VC1; VZ - e nós temos quatro equações, então uma solução é possível.

Express I depois de substituir as outras incógnitas das equações:

Numericamente


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De acordo com o resultado do intérprete da TINA.

{Solução usando a impedância Z}
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
É: = 1;
Z: = replus (R, réplete (j * om * L, 1 / j / om / C2));
Z = [2.1046E0-2.4685E0 * j]
sys eu
I = j * om * C1 * (Vs-Z * (I + Is))
end;
I = [3.1531E-1 + 1.7812E0 * j]
abs (I) = [1.8089]
180 * arc (I) / pi = [79.9613]

A função de tempo da corrente, então, é:

i (t) = 1.81 cos (wt + 80°) A


Você pode verificar a regra atual de Kirchhoff usando diagramas de fasores. A imagem abaixo foi desenvolvida verificando a equação do nó em iZ = i + iG1 Formato. O primeiro diagrama mostra os fasores adicionados pela regra do paralelogramo, o segundo ilustra a regra triangular da adição do fasor.

Agora vamos demonstrar o KVR usando o recurso de diagrama fasorial da TINA. Como a tensão da fonte é negativa na equação, conectamos o voltímetro "ao contrário". O diagrama fasorial ilustra a forma original da regra de tensão de Kirchhoff.



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O primeiro diagrama fasorial usa a regra do paralelogramo, enquanto o segundo usa a regra triangular.



Para ilustrar o KVR no formato VC1 + VZ - VS = 0, conectamos novamente o voltímetro à fonte de tensão ao contrário. Você pode ver que o triângulo fasorial está fechado.

Observe que TINA permite que você use a função seno ou cosseno como uma função base. Dependendo da função escolhida, as amplitudes complexas vistas nos diagramas fasoriais podem diferir em 90º. Você pode definir a função básica em 'Exibir' 'Opções' 'Função base para AC'. Em nossos exemplos, sempre usamos a função cosseno como base.

Exemplo 2

Encontre as tensões e correntes de todos os componentes se:

vS(t) = 10 cos wtelevisão, iS(t) = 5 cos (w t + 30 °) mA;

C1 = 100 nF, C2 = 50 nF, R1 = R2 = 4 k; L = 0.2 H, f = 10 kHz.


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Sejam as incógnitas os valores de pico complexos das tensões e correntes dos elementos "passivos", bem como a corrente da fonte de tensão (iVS ) e a tensão da fonte de corrente (vIS ) Ao todo, existem doze incógnitas complexas. Temos três nós independentes, quatro loops independentes (marcados como MI), e cinco elementos passivos que podem ser caracterizados por cinco "leis de Ohm" - ao todo, existem 3 + 4 + 5 = 12 equações:

Equações nodais para N1 IVsM = EuR1M + IC2M

para N2 IR1M = EuLM + IC1M

para N3 IC2M + ILM + IC1M +IsM = EuR2M

Equações de loop Formato1 VSM = VC2M + VR2M

Formato2 VSM = VC1M + VR1M+ VR2M

Formato3 VLM = VC1M

Formato4 VR2M = VIsM

Leis de Ohm VR1M = R1*IR1M

VR2M = R2*IR2M

IC1m = j *w*C1*VC1M

IC2m = j *w*C2*VC2M

VLM = j *w* L * ILM

Não se esqueça de que qualquer equação complexa pode levar a duas equações reais, então o método de Kirchhoff requer muitos cálculos. É muito mais simples resolver as funções de tempo das tensões e correntes usando um sistema de equações diferenciais (não discutido aqui). Primeiro, mostramos os resultados calculados pelo intérprete da TINA:

{Solução do intérprete da TINA}
f: = 10000;
Vs: = 10;
s: = 0.005 * exp (j * pi / 6);
om: = 2 * pi * f;
sys ir1, ir2, ic1, ic2, iL, vr1, vr2, vc1, vc2, vL, vis, ivs
ivs = ir1 + ic2 1 {}
ir1 = iL + ic1 2 {}
ic2 + iL + ic1 + Is = ir2 3 {}
Vs = vc2 + vr2 4 {}
Vs = vr1 + vr2 + vc1 5 {}
vc1 = vL 6 {}
vr2 = vis 7 {}
vr1 = ir1 * R1 8 {}
vr2 = ir2 * R2 9 {}
ic1 = j * om * C1 * vc1 10 {}
ic2 = j * om * C2 * vc2 11 {}
vL = j * om * L * iL 12 {}
end;
abs (vr1) = [970.1563m]
abs (vr2) = [10.8726]
abs (ic1) = [245.6503u]
abs (ic2) = [3.0503m]
abs (vc1) = [39.0965m]
abs (vc2) = [970.9437m]
abs (iL) = [3.1112u]
abs (vL) = [39.0965m]
abs (ivs) = [3.0697m]
180 + radtodeg (arco (ivs)) = [58.2734]
abs (vis) = [10.8726]
radtodeg (arco (vis)) = [- 2.3393]
radtodeg (arco (vr1)) = [155.1092]
radtodeg (arco (vr2)) = [- 2.3393]
radtodeg (arc (ic1)) = [155.1092]
radtodeg (arc (ic2)) = [- 117.1985]
radtodeg (arc (vc2)) = [152.8015]
radtodeg (arc (vc1)) = [65.1092]
radtodeg (arc (iL)) = [- 24.8908]
radtodeg (arco (vL)) = [65.1092]

Agora tente simplificar as equações manualmente usando a substituição. Primeiro substituto eq.9. na eq 5.

VS = VC2 + R2 IR2 a)

então eq.8 e eq.9. em eq 5.

VS = VC1 + R2 IR2 + R1 IR1 b.)

então eq 12., eq. 10. e euL da eq. 2 em eq.6.

VC1 = VL = jwLIL = jwL (euR1 - euC1) = jwLIR1 - jwL jwC1 VC1

Express VC1

c.)

Express VC2 da eq.4. e eq.5. e substituir eq.8., eq.11. e VC1:

d.)

Substitua as eq.2., 10., 11. e d.) Na eq.3. e expresso euR2

IR2 = EuC2 + IR1 + IS = jwC2 VC2 + IR1 + IS

e.)

Agora substitua d.) E e.) Na eq.4 e expresse IR1

Numericamente:


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De acordo com os resultados da TINA.

A função do tempo de iR1 É o seguinte:

iR1(t) = 0.242 cos (wt + 155.5°) mA

As tensões medidas:


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