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Como já vimos, circuitos com excitação sinusoidal podem ser resolvidos usando Impedâncias complexas para os elementos e pico complexo or integrações valores rms para as correntes e tensões. Usando a versão de valores complexos das leis de Kirchhoff, técnicas de análise nodal e de malha podem ser empregadas para resolver circuitos CA de maneira semelhante aos circuitos CC. Neste capítulo, mostraremos isso por meio de exemplos das leis de Kirchhoff.
Exemplo 1
Encontre a amplitude e o ângulo de fase da corrente ivs(T) if
vS(t) = VSM cos 2pft; i (t) = euSM cos 2pft; VSM = 10 V; EuSM = 1 A; f = 10 kHz;
No total, temos 10 tensões e correntes desconhecidas, a saber: i, iC1, oR, oL, oC2vC1vRvLvC2 e vIS. (Se usarmos valores complexos de pico ou rms para as tensões e correntes, teremos ao todo 20 equações reais!)
As equações:
Equações de malha ou malha: para M1 - VSM +VC1M+VRM = 0
M2 - VRM + VLM = 0
M3 - VLM + VC2M = 0
M4 - VC2M + VIsM = 0
Leis de Ohm VRM = R *IRM
VLM = j*w*EU*ILM
IC1M = j*w*C1*VC1M
IC2M = j*w*C2*VC2M
Equação nodal para N1 - IC1M - ISM + IRM + ILM +IC2M = 0
para elementos de série I = IC1MResolvendo o sistema de equações, você pode encontrar a corrente desconhecida:
ivs (t) = 1.81 cos (wt + 79.96°) A
Resolver um sistema tão grande de equações complexas é muito complicado, por isso não o mostramos em detalhes. Cada equação complexa leva a duas equações reais, então mostramos a solução apenas pelos valores calculados com o intérprete da TINA.
A solução usando o intérprete da TINA:
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
É: = 1;
Sys Ic1, Ir, IL, Ic2, Vc1, Vr, VL, VC2, Vis, Ivs
Vs=Vc1+Vr{M1}
Vr=VL{M2}
Vr = Vc2 {M3}
Vc2=Vis{M4}
Ivs=Ir+IL+Ic2-É {N1}
{Regras de Ohm}
Ic1 = j * om * C1 * Vc1
Vr = R * Ir
VL = j * om * L * IL
Ic2 = j * om * C2 * Vc2
Ivs = Ic1
end;
Ivs = [3.1531E-1 + 1.7812E0 * j]
abs (Ivs) = [1.8089]
fiIvs: = 180 * arc (Ivs) / pi
fiIvs = [79.9613]
importar sympy como s
importar cmath como c
cp= lambda Z: “{:.4f}”.formato(Z)
om=20000*c.pi
V = 10
É=1
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=s.symbols('Ic1 Ir IL Ic2 Vc1 Vr VL Vc2 Vis Ivs')
A=[s.Eq(Vc1+Vr,Vs),s.Eq(VL,Vr),s.Eq(Vc2,Vr),s.Eq(Vis,Vc2), #M1, M2, M3, M4
s.Eq(Ir+IL+Ic2-Is,Ivs), #N1
s.Eq(1j*om*C1*Vc1,Ic1),s.Eq(R*Ir,Vr),s.Eq(1j*om*L*IL,VL),s.Eq(1j*om*C2*Vc2,Ic2),s.Eq(Ic1,Ivs)] #Ohm’s rules
Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(Ic1,Ir,IL,Ic2,Vc1,Vr,VL,Vc2,Vis,Ivs)))[0]]
imprimir (Ivs)
imprimir(“abs(Ivs)=”,cp(abs(Ivs)))
imprimir(“180*c.fase(Ivs)/c.pi=”,cp(180*c.fase(Ivs)/c.pi))
A solução usando TINA:
Para resolver esse problema manualmente, trabalhe com as impedâncias complexas. Por exemplo, R, L e C2 estão conectados em paralelo, para que você possa simplificar o circuito calculando seu equivalente paralelo. || significa o equivalente paralelo das impedâncias:
Numericamente:
O circuito simplificado usando a impedância:
As equações na forma ordenada: I + IG1 = IZ
VS = VC1 +VZ
VZ = Z · IZ
I = j w C1· VC1
Existem quatro incógnitas. I; IZ; VC1; VZ - e nós temos quatro equações, então uma solução é possível.
Express I depois de substituir as outras incógnitas das equações:
Numericamente
De acordo com o resultado do intérprete da TINA.
om: = 20000 * pi;
Vs: = 10;
É: = 1;
Z: = replus (R, réplete (j * om * L, 1 / j / om / C2));
Z = [2.1046E0-2.4685E0 * j]
sys eu
I = j * om * C1 * (Vs-Z * (I + Is))
end;
I = [3.1531E-1 + 1.7812E0 * j]
abs (I) = [1.8089]
180 * arc (I) / pi = [79.9613]
importar sympy como s
importar cmath como c
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=20000*c.pi
V = 10
É=1
Z=Replus(R,Replus(1j*om*L,1/1j/om/C2))
imprimir('Z=',cp(Z))
Eu=s.symbols('eu')
A=[s.Eq(1j*om*C1*(Vs-Z*(I+Is)),I),]
I=[complex(Z) para Z na tupla(s.linsolve(A,I))[0]][0]
imprimir(“I=”,cp(I))
imprimir(“abs(I)=”,cp(abs(I)))
imprimir(“180*c.fase(I)/c.pi=”,cp(180*c.fase(I)/c.pi))
A função de tempo da corrente, então, é:
i (t) = 1.81 cos (wt + 80°) A
Você pode verificar a regra atual de Kirchhoff usando diagramas de fasores. A imagem abaixo foi desenvolvida verificando a equação do nó em iZ = i + iG1 Formato. O primeiro diagrama mostra os fasores adicionados pela regra do paralelogramo, o segundo ilustra a regra triangular da adição do fasor.
Agora vamos demonstrar o KVR usando o recurso de diagrama fasorial da TINA. Como a tensão da fonte é negativa na equação, conectamos o voltímetro "ao contrário". O diagrama fasorial ilustra a forma original da regra de tensão de Kirchhoff.
O primeiro diagrama fasorial usa a regra do paralelogramo, enquanto o segundo usa a regra triangular.
Para ilustrar o KVR no formato VC1 + VZ - VS = 0, conectamos novamente o voltímetro à fonte de tensão ao contrário. Você pode ver que o triângulo fasorial está fechado.
Exemplo 2
Encontre as tensões e correntes de todos os componentes se:
vS(t) = 10 cos wtelevisão, iS(t) = 5 cos (w t + 30 °) mA;
C1 = 100 nF, C2 = 50 nF, R1 = R2 = 4 k; L = 0.2 H, f = 10 kHz.
Sejam as incógnitas os valores de pico complexos das tensões e correntes dos elementos "passivos", bem como a corrente da fonte de tensão (iVS ) e a tensão da fonte de corrente (vIS ) Ao todo, existem doze incógnitas complexas. Temos três nós independentes, quatro loops independentes (marcados como MI), e cinco elementos passivos que podem ser caracterizados por cinco "leis de Ohm" - ao todo, existem 3 + 4 + 5 = 12 equações:
Equações nodais para N1 IVsM = EuR1M + IC2M
para N2 IR1M = EuLM + IC1M
para N3 IC2M + ILM + IC1M +IsM = EuR2M
Equações de loop Formato1 VSM = VC2M + VR2M
Formato2 VSM = VC1M + VR1M+ VR2M
Formato3 VLM = VC1M
Formato4 VR2M = VIsM
Leis de Ohm VR1M = R1*IR1M
VR2M = R2*IR2M
IC1m = j *w*C1*VC1M
IC2m = j *w*C2*VC2M
VLM = j *w* L * ILM
Não se esqueça de que qualquer equação complexa pode levar a duas equações reais, então o método de Kirchhoff requer muitos cálculos. É muito mais simples resolver as funções de tempo das tensões e correntes usando um sistema de equações diferenciais (não discutido aqui). Primeiro, mostramos os resultados calculados pelo intérprete da TINA:
f: = 10000;
Vs: = 10;
s: = 0.005 * exp (j * pi / 6);
om: = 2 * pi * f;
sys ir1, ir2, ic1, ic2, iL, vr1, vr2, vc1, vc2, vL, vis, ivs
ivs=ir1+ic2 {1}
ir1=iL+ic1 {2}
ic2+iL+ic1+Is=ir2 {3}
Vs=vc2+vr2 {4}
Vs=vr1+vr2+vc1 {5}
vc1=vL{6}
vr2 = vis {7}
vr1=ir1*R1 {8}
vr2=ir2*R2 {9}
ic1=j*om*C1*vc1 {10}
ic2=j*om*C2*vc2 {11}
vL=j*om*L*iL {12}
end;
abs (vr1) = [970.1563m]
abs (vr2) = [10.8726]
abs (ic1) = [245.6503u]
abs (ic2) = [3.0503m]
abs (vc1) = [39.0965m]
abs (vc2) = [970.9437m]
abs (iL) = [3.1112u]
abs (vL) = [39.0965m]
abs (ivs) = [3.0697m]
180 + radtodeg (arco (ivs)) = [58.2734]
abs (vis) = [10.8726]
radtodeg (arco (vis)) = [- 2.3393]
radtodeg (arco (vr1)) = [155.1092]
radtodeg (arco (vr2)) = [- 2.3393]
radtodeg (arc (ic1)) = [155.1092]
radtodeg (arc (ic2)) = [- 117.1985]
radtodeg (arc (vc2)) = [152.8015]
radtodeg (arc (vc1)) = [65.1092]
radtodeg (arc (iL)) = [- 24.8908]
radtodeg (arco (vL)) = [65.1092]
importar sympy como s
importar matemática como m
importar cmath como c
cp= lambda Z: “{:.4f}”.formato(Z)
F = 10000
V = 10
S=0.005*c.exp(1j*c.pi/6)
om=2*c.pi*f
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=s.symbols('ir1 ir2 ic1 ic2 iL vr1 vr2 vc1 vc2 vL vis ivs')
A=[s.Eq(ir1+ic2,ivs), #1
s.Eq(iL+ic1,ir1), #2
s.Eq(ic2+iL+ic1+Is,ir2), #3
s.Eq(vc2+vr2,Vs), #4
s.Eq(vr1+vr2+vc1,Vs), #5
s.Eq(vL,vc1), #6
s.Eq(vis,vr2), #7
s.Eq(ir1*R1,vr1), #8
s.Eq(ir2*R2,vr2), #9
s.Eq(1j*om*C1*vc1,ic1), #10
s.Eq(1j*om*C2*vc2,ic2), #11
s.Eq(1j*om*L*iL,vL)] #12
ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs=[complex(Z) for Z in tuple(s.linsolve(A,(ir1,ir2,ic1,ic2,iL,vr1,vr2,vc1,vc2,vL,vis,ivs)))[0]]
imprimir(“abs(vr1)=”,cp(abs(vr1)))
imprimir(“abs(vr2)=”,cp(abs(vr2)))
imprimir(“abs(ic1)=”,cp(abs(ic1)))
imprimir(“abs(ic2)=”,cp(abs(ic2)))
imprimir(“abs(vc1)=”,cp(abs(vc1)))
imprimir(“abs(vc2)=”,cp(abs(vc2)))
imprimir(“abs(iL)=”,cp(abs(iL)))
imprimir(“abs(vL)=”,cp(abs(vL)))
imprimir(“abs(ivs)=”,cp(abs(ivs)))
print(“180+graus(fase(ivs))=”,cp(180+m.graus(c.fase(ivs))))
imprimir(“abs(vis)=”,cp(abs(vis)))
print(“graus(fase(vis))=”,cp(m.graus(c.fase(vis))))
print(“graus(fase(vr1))=”,cp(m.graus(c.fase(vr1))))
print(“graus(fase(vr2))=”,cp(m.graus(c.fase(vr2))))
imprimir(“graus(fase(ic1))=”,cp(m.graus(c.fase(ic1))))
imprimir(“graus(fase(ic2))=”,cp(m.graus(c.fase(ic2))))
print(“graus(fase(vc2))=”,cp(m.graus(c.fase(vc2))))
print(“graus(fase(vc1))=”,cp(m.graus(c.fase(vc1))))
print(“graus(fase(iL))=”,cp(m.graus(c.fase(iL))))
print(“graus(fase(vL))=”,cp(m.graus(c.fase(vL))))
Agora tente simplificar as equações manualmente usando a substituição. Primeiro substituto eq.9. na eq 5.
VS = VC2 + R2 IR2 a)
então eq.8 e eq.9. em eq 5.
VS = VC1 + R2 IR2 + R1 IR1 b.)
então eq 12., eq. 10. e euL da eq. 2 em eq.6.
VC1 = VL = jwLIL = jwL (euR1 - euC1) = jwLIR1 - jwLjwC1 VC1
Express VC1
c.)
Express VC2 da eq.4. e eq.5. e substituir eq.8., eq.11. e VC1:
d.)
Substitua as eq.2., 10., 11. e d.) Na eq.3. e expresso euR2
IR2 = EuC2 + IR1 + IS = jwC2 VC2 + IR1 + IS
e.)
Agora substitua d.) E e.) Na eq.4 e expresse IR1
Numericamente:
A função do tempo de iR1 É o seguinte:
iR1(t) = 0.242 cos (wt + 155.5°) mA
As tensões medidas: 
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