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Como já vimos, circuitos com excitação sinusoidal podem ser resolvidos usando Impedâncias complexas para os elementos e pico complexo or complexo valores rms para as correntes e tensões. Usando a versão de valores complexos das leis de Kirchhoff, técnicas de análise nodal e de malha podem ser empregadas para resolver circuitos CA de maneira semelhante aos circuitos CC. Neste capítulo, mostraremos isso por meio de exemplos das leis de Kirchhoff.
Exemplo 1
Encontre a amplitude e o ângulo de fase da corrente ivs(T) if
vS(t) = VSM cos 2pft; i (t) = euSM cos 2pft; VSM = 10 V; EuSM = 1 A; f = 10 kHz;
No total, temos 10 tensões e correntes desconhecidas, a saber: i, iC1, oR, oL, oC2vC1vRvLvC2 e vIS. (Se usarmos valores complexos de pico ou rms para as tensões e correntes, teremos ao todo 20 equações reais!)
As equações:
Equações de malha ou malha: para M1 - VSM +VC1M+VRM = 0
M2 - VRM + VLM = 0
M3 - VLM + VC2M = 0
M4 - VC2M + VIsM = 0
Leis de Ohm VRM = R *IRM
VLM = j*w*EU*ILM
IC1M = j*w*C1*VC1M
IC2M = j*w*C2*VC2M
Equação nodal para N1 - IC1M - ISM + IRM + ILM +IC2M = 0
para elementos de série I = IC1MResolvendo o sistema de equações, você pode encontrar a corrente desconhecida:
ivs (t) = 1.81 cos (wt + 79.96°) A
Resolver um sistema tão grande de equações complexas é muito complicado, por isso não o mostramos em detalhes. Cada equação complexa leva a duas equações reais, então mostramos a solução apenas pelos valores calculados com o intérprete da TINA.
A solução usando o intérprete da TINA:
| {Solução do intérprete da TINA} om: = 20000 * pi; Vs: = 10; É: = 1; Sys Ic1, Ir, IL, Ic2, Vc1, Vr, VL, VC2, Vis, Ivs Vs = Vc1 + Vr {M1} Vr = VL {M2} Vr = Vc2 {M3} Vc2 = Vis {M4} Ivs = Ir + IL + Ic2-Is {N1} {Regras de Ohm} Ic1 = j * om * C1 * Vc1 Vr = R * Ir VL = j * om * L * IL Ic2 = j * om * C2 * Vc2 Ivs = Ic1 end; Ivs = [3.1531E-1 + 1.7812E0 * j] abs (Ivs) = [1.8089] fiIvs: = 180 * arc (Ivs) / pi fiIvs = [79.9613] |
A solução usando TINA:
Para resolver esse problema manualmente, trabalhe com as impedâncias complexas. Por exemplo, R, L e C2 estão conectados em paralelo, para que você possa simplificar o circuito calculando seu equivalente paralelo. || significa o equivalente paralelo das impedâncias:
Numericamente:
O circuito simplificado usando a impedância:
As equações na forma ordenada: I + IG1 = IZ
VS = VC1 +VZ
VZ = Z · IZ
I = j w C1· VC1
Existem quatro incógnitas. I; IZ; VC1; VZ - e nós temos quatro equações, então uma solução é possível.
Express I depois de substituir as outras incógnitas das equações:
Numericamente
De acordo com o resultado do intérprete da TINA.
| {Solução usando a impedância Z} om: = 20000 * pi; Vs: = 10; É: = 1; Z: = replus (R, réplete (j * om * L, 1 / j / om / C2)); Z = [2.1046E0-2.4685E0 * j] sys eu I = j * om * C1 * (Vs-Z * (I + Is)) end; I = [3.1531E-1 + 1.7812E0 * j] abs (I) = [1.8089] 180 * arc (I) / pi = [79.9613] |
A função de tempo da corrente, então, é:
i (t) = 1.81 cos (wt + 80°) A
Você pode verificar a regra atual de Kirchhoff usando diagramas de fasores. A imagem abaixo foi desenvolvida verificando a equação do nó em iZ = i + iG1 Formato. O primeiro diagrama mostra os fasores adicionados pela regra do paralelogramo, o segundo ilustra a regra triangular da adição do fasor.
Agora vamos demonstrar o KVR usando o recurso de diagrama fasorial da TINA. Como a tensão da fonte é negativa na equação, conectamos o voltímetro "ao contrário". O diagrama fasorial ilustra a forma original da regra de tensão de Kirchhoff.
O primeiro diagrama fasorial usa a regra do paralelogramo, enquanto o segundo usa a regra triangular.
Para ilustrar o KVR no formato VC1 + VZ - VS = 0, conectamos novamente o voltímetro à fonte de tensão ao contrário. Você pode ver que o triângulo fasorial está fechado.
Exemplo 2
Encontre as tensões e correntes de todos os componentes se:
vS(t) = 10 cos wtelevisão, iS(t) = 5 cos (w t + 30 °) mA;
C1 = 100 nF, C2 = 50 nF, R1 = R2 = 4 k; L = 0.2 H, f = 10 kHz.
Sejam as incógnitas os valores de pico complexos das tensões e correntes dos elementos "passivos", bem como a corrente da fonte de tensão (iVS ) e a tensão da fonte de corrente (vIS ) Ao todo, existem doze incógnitas complexas. Temos três nós independentes, quatro loops independentes (marcados como MI), e cinco elementos passivos que podem ser caracterizados por cinco "leis de Ohm" - ao todo, existem 3 + 4 + 5 = 12 equações:
Equações nodais para N1 IVsM = EuR1M + IC2M
para N2 IR1M = EuLM + IC1M
para N3 IC2M + ILM + IC1M +IsM = EuR2M
Equações de loop Formato1 VSM = VC2M + VR2M
Formato2 VSM = VC1M + VR1M+ VR2M
Formato3 VLM = VC1M
Formato4 VR2M = VIsM
Leis de Ohm VR1M = R1*IR1M
VR2M = R2*IR2M
IC1m = j *w*C1*VC1M
IC2m = j *w*C2*VC2M
VLM = j *w* L * ILM
Não se esqueça de que qualquer equação complexa pode levar a duas equações reais, então o método de Kirchhoff requer muitos cálculos. É muito mais simples resolver as funções de tempo das tensões e correntes usando um sistema de equações diferenciais (não discutido aqui). Primeiro, mostramos os resultados calculados pelo intérprete da TINA:
| {Solução do intérprete da TINA} f: = 10000; Vs: = 10; s: = 0.005 * exp (j * pi / 6); om: = 2 * pi * f; sys ir1, ir2, ic1, ic2, iL, vr1, vr2, vc1, vc2, vL, vis, ivs ivs = ir1 + ic2 1 {} ir1 = iL + ic1 2 {} ic2 + iL + ic1 + Is = ir2 3 {} Vs = vc2 + vr2 4 {} Vs = vr1 + vr2 + vc1 5 {} vc1 = vL 6 {} vr2 = vis 7 {} vr1 = ir1 * R1 8 {} vr2 = ir2 * R2 9 {} ic1 = j * om * C1 * vc1 10 {} ic2 = j * om * C2 * vc2 11 {} vL = j * om * L * iL 12 {} end; abs (vr1) = [970.1563m] abs (vr2) = [10.8726] abs (ic1) = [245.6503u] abs (ic2) = [3.0503m] abs (vc1) = [39.0965m] abs (vc2) = [970.9437m] abs (iL) = [3.1112u] abs (vL) = [39.0965m] abs (ivs) = [3.0697m] 180 + radtodeg (arco (ivs)) = [58.2734] abs (vis) = [10.8726] radtodeg (arco (vis)) = [- 2.3393] radtodeg (arco (vr1)) = [155.1092] radtodeg (arco (vr2)) = [- 2.3393] radtodeg (arc (ic1)) = [155.1092] radtodeg (arc (ic2)) = [- 117.1985] radtodeg (arc (vc2)) = [152.8015] radtodeg (arc (vc1)) = [65.1092] radtodeg (arc (iL)) = [- 24.8908] radtodeg (arco (vL)) = [65.1092] |
Agora tente simplificar as equações manualmente usando a substituição. Primeiro substituto eq.9. na eq 5.
VS = VC2 + R2 IR2 a)
então eq.8 e eq.9. em eq 5.
VS = VC1 + R2 IR2 + R1 IR1 b.)
então eq 12., eq. 10. e euL da eq. 2 em eq.6.
VC1 = VL = jwLIL = jwL (euR1 - euC1) = jwLIR1 - jwL jwC1 VC1
Express VC1
c.)
Express VC2 da eq.4. e eq.5. e substituir eq.8., eq.11. e VC1:
d.)
Substitua as eq.2., 10., 11. e d.) Na eq.3. e expresso euR2
IR2 = EuC2 + IR1 + IS = jwC2 VC2 + IR1 + IS
e.)
Agora substitua d.) E e.) Na eq.4 e expresse IR1
Numericamente:
A função do tempo de iR1 É o seguinte:
iR1(t) = 0.242 cos (wt + 155.5°) mA
As tensões medidas: 
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