MÉTODOS MESH E LOOP CURRENT

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Outra maneira de simplificar o conjunto completo das equações de Kirchhoff é o método de corrente de malha ou loop. Usando esse método, a lei atual de Kirchhoff é satisfeita automaticamente, e as equações de loop que escrevemos também atendem à lei de tensão de Kirchhoff. A satisfação da lei atual de Kirchhoff é alcançada atribuindo loops de corrente fechados chamados correntes de malha ou loop a cada loop independente do circuito e usando essas correntes para expressar todas as outras quantidades do circuito. Como as correntes do loop estão fechadas, a corrente que flui para um nó também deve fluir para fora do nó; portanto, escrever equações de nó com essas correntes leva à identidade.

Vamos primeiro considerar o método das correntes de malha.

Primeiro, notamos que o método da corrente de malha é aplicável apenas a circuitos "planos". Os circuitos planares não têm fios de cruzamento quando desenhados em um avião. Freqüentemente, redesenhando um circuito que parece não-plano, você pode determinar que ele é de fato plano. Para circuitos não planares, use o método atual de loop descrito mais adiante neste capítulo.

Para explicar a idéia de correntes de malha, imagine os ramos do circuito como “rede de pesca” e atribua uma corrente de malha a cada malha da rede. (Às vezes também se diz que um circuito fechado de corrente é atribuído em cada “janela” do circuito.)

O diagrama esquemático

A “rede de pesca” ou o gráfico do circuito

A técnica de representar o circuito por um desenho simples, chamado de gráfico, é bastante poderoso. Desde a As leis de Kirchhoff não dependem da natureza dos componentes, você pode desconsiderar os componentes concretos e substituí-los por segmentos simples de linha, chamados de ramos do gráfico. Representar circuitos por gráficos nos permite usar as técnicas de matemática teoria dos grafos. Isso nos ajuda a explorar a natureza topológica de um circuito e determinar os loops independentes. Volte mais tarde a este site para ler mais sobre este tópico.

As etapas da análise atual da malha:

  1. Atribua uma corrente de malha a cada malha. Embora a direção seja arbitrária, é habitual usar a direção no sentido horário.

  2. Aplique a lei de tensão de Kirchhoff (KVL) em torno de cada malha, na mesma direção que as correntes da malha. Se um resistor tiver duas ou mais correntes de malha através dele, a corrente total através do resistor será calculada como a soma algébrica das correntes de malha. Em outras palavras, se uma corrente que flui através do resistor tem a mesma direção que a corrente da malha do circuito, ela tem um sinal positivo, caso contrário, um sinal negativo na soma. As fontes de tensão são levadas em consideração como de costume. Se a direção for a mesma da corrente da malha, a tensão será considerada positiva, caso contrário, negativa nas equações KVL. Normalmente, para fontes de corrente, apenas uma corrente de malha flui através da fonte, e essa corrente tem a mesma direção que a corrente da fonte. Se não for esse o caso, use o método de corrente de loop mais geral, descrito mais adiante neste parágrafo. Não há necessidade de escrever equações KVL para loops contendo correntes de malha atribuídas às fontes atuais.

  3. Resolva as equações de loop resultantes para as correntes de malha.

  4. Determine qualquer corrente ou tensão solicitada no circuito usando as correntes da malha.

Vamos ilustrar o método pelo seguinte exemplo:

Encontre a corrente I no circuito abaixo.


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Vemos que existem duas malhas (ou uma janela esquerda e direita) neste circuito. Vamos atribuir as correntes de malha J no sentido horário1 e J2 para as malhas. Em seguida, escrevemos as equações KVL, expressando as tensões através dos resistores pela lei de Ohm:

-V1 + J1* (Ri1+R1) - J2*R1 = 0

V2 - J1*R1 + J2* (R + R1) = 0

Numericamente:

-12 + J1* 17 - J2* 2 = 0

6 - J1* 2 + J2* 14 = 0

Expresso J1 da primeira equação: J1 = e depois substitua na segunda equação: 6 - 2 * + 14 * J2 = 0

multiplicar por 17: 102 - 24 + 4 * J2 + 238 * J2 = 0 conseqüentemente J2 =

e J1 =

Finalmente, a corrente necessária:

{Solução usando o intérprete da TINA}
{Método atual de malha}
Sistema J1, J2
J1*(Ri1+R1)-J2*R1-V1=0
J1*R1+J2*(R1+R)+V2=0
end;
J1 = [666.6667m]
J2 = [- 333.3333m]
I: = J1-J2;
Eu = [1]

Vamos verificar os resultados com TINA:


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Em seguida, vamos resolver o exemplo anterior novamente, mas com o mais geral método de correntes de loop. Usando este método, os loops de corrente fechados, chamados correntes de loop, são atribuídos não necessariamente às malhas do circuito, mas a loops independentes. Você pode garantir que os loops sejam independentes, tendo pelo menos um componente em cada loop que não esteja contido em nenhum outro loop. Para circuitos planares, o número de malhas independentes é igual ao número de malhas, o que é fácil de ver.

Uma maneira mais precisa de determinar o número de loops independentes é a seguinte.

Dado um circuito com b ramos e N nós. O número de loops independentes l é:

l = b - N + 1

Isso decorre do fato de que o número de equações independentes de Kirchhoff deve ser igual aos ramos do circuito, e já sabemos que existem apenas N-1 equações de nós independentes. Portanto, o número total das equações de Kirchhoff é

b = N-1 + l e, portanto l = b - N + 1

Esta equação também se segue do teorema fundamental da teoria dos grafos, que será descrito mais adiante neste site.

Agora vamos resolver o exemplo anterior novamente, mas de maneira mais simples, usando o método atual do loop. Com esse método, podemos usar loops em malhas ou outros loops, mas vamos manter o loop com J1 na malha esquerda do circuito. No entanto, para o segundo loop, escolhemos o loop com J2, conforme mostrado na figura abaixo. A vantagem dessa escolha é que J1 será igual à corrente solicitada I, pois é a única corrente de loop que passa por R1. Isso significa que não precisamos calcular J2 de todo. Observe que, diferentemente das correntes "reais", o significado físico das correntes de loop depende de como as atribuímos ao circuito.


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As equações do KVL:

J1 * (R1+Ri1) + J2 * R i1 - V1 = 0

-V1+ J1 * Ri1+ J2 * (R + Ri) + V2 = 0

e a corrente necessária: I = J1

Numerically: J1*(15+2)+J2*15-12 = 0

-12 + J1 * 15 + J2 * (15 + 12) + 6 = 0

Expressar J2 da segunda equação:

Substitua na primeira equação:

Conseqüentemente: J1 = I = 1 A

Mais exemplos.

Exemplo 1

Encontre a corrente I no circuito abaixo.


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Neste circuito, usamos o método de correntes de loop. Na janela esquerda do circuito, pegamos uma corrente de loop que denotamos com I já que é igual à corrente solicitada. A outra corrente de loop é igual à corrente de origem Is1, portanto, a denotamos diretamente como
IS1.

Observe que a direção dessa corrente de loop é não no sentido horário, pois sua direção é determinada pela fonte atual. No entanto, como essa corrente do loop já é conhecida, não há necessidade de escrever a equação KVL para o loop em que IS1 é tomado.

Portanto, a única equação a resolver é:

-V1 + I * R2 + R1 * (I - IS1) = 0

conseqüentemente

Eu = (V1 + R1 *IS1) / (R1 + R2)

Numericamente

I=(10+20*4)/(20+10)=3 A

Você também pode gerar esse resultado chamando a análise simbólica da TINA no menu Análise / Análise simbólica / Resultado DC:


Ou você pode resolver a equação KVL pelo intérprete:

{Solução do Intérprete da TINA}
{Use o método atual da malha}
Sys I
-V1 + I * R2 + R1 * (I - IS1) = 0
end;
Eu = [3]

O exemplo a seguir tem 3 fontes de corrente e é muito fácil de resolver pelo método de correntes de loop.

Exemplo 2

Encontre a voltagem V.

Neste exemplo, podemos escolher três correntes de loop para que cada uma passe por apenas uma fonte de corrente. Portanto, todas as três correntes de loop são conhecidas e só precisamos expressar a tensão desconhecida, V, usando-as.

Fazendo a soma algébrica das correntes através de R3:

V = (euS3 - euS2) * R3= (10-5) * 30 = 150 V. Você pode verificar isso com TINA :.


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Em seguida, vamos abordar novamente um problema que já resolvemos no Leis de Kirchhoff e Método de potencial de nós capítulos.

Exemplo 3

Encontre a tensão V do resistor R4.


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R1 = R3 = 100 ohm, R2 = R4 = 50 ohm, R5 = 20 ohm, R6 = 40 ohm, R7 = 75 ohm.

Esse problema precisava de pelo menos 4 equações para resolver nos capítulos anteriores.

Resolvendo esse problema com o método das correntes de loop, temos quatro loops independentes, mas com a escolha adequada das correntes de loop, uma das correntes de loop será igual à corrente de origem Is.

Com base nas correntes do loop mostradas na figura acima, as equações do loop são:

VS1+I4* (R5+R6+R7) - EUS*R6 -EU3* (R5 + R6) = 0

VS2 - eu3* (R1+R2) - EUS*R2 + I2* (R1 + R2) = 0

-VS1 + I3* (R1 + R2 + R3 + R4 + R5 + R6) + EuS* (R2 +R4 + R6) - EU4* (R5 + R6) - eu2* (R1 + R2) = 0

A tensão desconhecida V pode ser expresso pelas correntes de loop:

V = R4 * (EU2 + I3)

Numericamente:

100 + I4* 135-2 * 40-I3* 60 = 0

150 + I2* 150-2 * 50-I3* 150 = 0

–100 + I3* 360 + 2 * 140-I4* 60-I2* 150 = 0

V = 50 * (2 + I3)

Podemos usar a regra de Cramer para resolver este sistema de equações:

I4 = D3/D

onde D é o determinante do sistema. D4, o determinante para eu4, é formado substituindo o lado direito do sistema é colocado pela coluna de I4coeficientes de

O sistema de equações em forma ordenada:

- 60 * I3 + 135 * I4= -20

150 * I2-150 * I3 = - 50

-150 * I2+ 360 * I3 - 60 * I4= - 180

Então o determinante D:

A solução deste sistema de equações é:

V = R4* (2 + I3) = 34.8485 V

Você pode confirmar a resposta através do resultado calculado pela TINA.


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{Solução usando o intérprete da TINA}
Sys I2, I3, I4
Vs2+I2*(R1+R2)-R2*Is-I3*(R1+R2)=0
-Vs1+I3*(R1+R2+R3+R4+R5+R6)+Is*(R2+R4+R6)-I2*(R1+R2)-I4*(R5+R6)=0
Vs1+I4*(R5+R6+R7)-Is*R6-I3*(R5+R6)=0
end;
I2 = [- 1.6364]
I3 = [- 1.303]
I4 = [- 727.2727m]
V: = R4 * (é + I3);
V = [34.8485]

Neste exemplo, cada corrente de loop desconhecida é uma corrente de ramificação (I1, I3 e I4); portanto, é fácil verificar o resultado em comparação com os resultados da análise DC da TINA.


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