MÉTODO POTENCIAL DO NODE

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O conjunto completo das equações de Kirchhoff pode ser significativamente simplificado pelo método do potencial do nó descrito neste capítulo. Usando esse método, a lei de tensão de Kirchhoff é satisfeita automaticamente e precisamos apenas escrever equações de nó para satisfazer também a lei atual de Kirchhoff. A satisfação da lei de tensão de Kirchhoff é alcançada usando os potenciais do nó (também chamados de tensão nodal ou nodal) em relação a um nó específico chamado referência nó. Em outras palavras, todas as tensões no circuito são relativas à nó de referência, que normalmente é considerado como tendo 0 potencial. É fácil ver que com essas definições de tensão a lei de tensão de Kirchhoff é satisfeita automaticamente, uma vez que escrever equações de loop com esses potenciais leva à identidade. Observe que, para um circuito com N nós, você deve escrever apenas N - 1 equações. Normalmente, a equação do nó para o nó de referência é omitida.

A soma de todas as correntes no circuito é zero, pois cada corrente está entrando e saindo de um nó. Portanto, a equação do nó enésimo não é independente das equações N-1 anteriores. Se incluíssemos todas as equações N, teríamos um sistema insolúvel de equações.

O método do potencial do nó (também chamado de análise nodal) é o método mais adequado para aplicativos de computador. A maioria dos programas de análise de circuito - incluindo TINA - é baseada neste método.

As etapas da análise nodal:

1. Escolha um nó de referência com potencial de 0 nós e rotule cada nó restante com V1, V2 or j1, j2e assim por diante.

2. Aplique a lei atual de Kirchhoff em cada nó, exceto no nó de referência. Use a lei de Ohm para expressar correntes desconhecidas dos potenciais de nós e tensões da fonte de tensão quando necessário. Para todas as correntes desconhecidas, assuma a mesma direção de referência (por exemplo, apontando para fora do nó) para cada aplicação da lei atual de Kirchhoff.

3. Resolva as equações do nó resultantes para as voltagens do nó.

4. Determine qualquer corrente ou tensão solicitada no circuito usando as tensões do nó.

Vamos ilustrar a etapa 2 escrevendo a equação do nó para o nó V1 do seguinte fragmento de circuito:

Primeiro, encontre a corrente do nó V1 para o nó V2. Usaremos a Lei de Ohm no R1. A tensão através de R1 é V1 - V2 - VS1

E a corrente através de R1 (e do nó V1 para o nó V2) é

Observe que esta corrente tem uma direção de referência apontando para fora do V1 nó. Utilizando a convenção para correntes que apontam para um nó, isso deve ser levado em consideração na equação do nó com um sinal positivo.

A expressão atual do ramo entre V1 e V3 será semelhante, mas desde VS2 está na direção oposta de VS1 (que significa o potencial do nó entre VS2 e R2 é V3-VS2), a corrente é

Finalmente, devido à direção de referência indicada, euS2 deve ter um sinal positivo e euS1 um sinal negativo na equação do nó.

A equação do nó:

Agora vamos ver um exemplo completo para demonstrar o uso do método potencial do nó.

Encontre a tensão V e as correntes através dos resistores no circuito abaixo


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Como temos apenas dois nós neste circuito, podemos reduzir a solução à determinação de uma quantidade desconhecida. o nó inferior como nó de referência, a tensão do nó desconhecido é a voltagem que estamos resolvendo, V.

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A equação nodal para o nó superior:

Numericamente:

Multiplique por 30: 7.5 + 3V - 30 + 1.5 V + 7.5 + V - 40 = 0 5.5 V –55 = 0

Conseqüentemente: V = 10 V

{Solução do intérprete da TINA}
Sys V
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
end;
V = [10]

Agora vamos determinar as correntes através dos resistores. Isso é fácil, pois as mesmas correntes são usadas na equação nodal acima.

{Solução do intérprete da TINA}
{Use o método potencial do nó!}
Sys V
I+(V-Vs1)/R1+(V+Vs2)/R2+(V-Vs3)/R3=0
end;
V = [10]
{As correntes dos resistores}
IR1: = (V-Vs1) / R1;
IR2: = (V + Vs2) / R2;
IR3: = (V-Vs3) / R3;
IR1 = [0]
IR2 = [750.0001m]
IR3 = [- 1000m]

Para verificar o resultado com o TINA, basta ativar o modo interativo CC do TINA ou usar o comando Análise / Análise CC / Tensões nodais.



A seguir, vamos resolver o problema que já foi usado como o último exemplo do Leis de Kirchhoff capítulo



Encontre as tensões e correntes de cada elemento do circuito.

Escolhendo o nó inferior como um nó de referência com potencial 0, a tensão nodal de N2 será igual a VS3: j2 = portanto, temos apenas uma tensão nodal desconhecida. Você deve se lembrar que anteriormente, usando o conjunto completo das equações de Kirchhoff, mesmo após algumas simplificações, tínhamos um sistema linear de equações de 4 incógnitas.

Escrevendo as equações do nó para o nó N1, vamos denotar a tensão nodal de N1 by j1

A equação simples para resolver é:

Numericamente:

Multiplique por 330, obtemos:

3j1-360 - 660 + 11j1 - 2970 = 0 ® j1= 285 V

Depois de calcular j1, é fácil calcular as outras quantidades no circuito.

As correntes:

IS3 = EuR1 - euR2 = 0.5 - 5.25 = - 4.75 A


E as voltagens:

VIs = j1 = 285 V

VR1= (
j1 - VS3) = 285 - 270 = 15 V

VR2 = (VS3 - VS2) = 270 - 60 = 210 V

VL = - (j1-VS1-VR3) = -285 +120 +135 = - 30 V

Você pode observar que, com o método de potencial do nó, você ainda precisa de algum cálculo extra para determinar as correntes e tensões do circuito. No entanto, esses cálculos são muito simples, muito mais simples do que resolver sistemas de equações lineares para todas as quantidades de circuito simultaneamente.

Para verificar o resultado com o TINA, basta ativar o modo interativo CC do TINA ou usar o comando Análise / Análise CC / Tensões nodais.


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Vamos ver mais exemplos.

Exemplo 1

Encontre o atual I.


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Nesse circuito, existem quatro nós, mas como temos uma fonte de tensão ideal que determina a tensão do nó em seu polo positivo, devemos escolher seu polo negativo como o nó de referência. Portanto, realmente temos apenas dois potenciais de nós desconhecidos: j1 e j2 .


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As equações para os nós de potenciais j1 e j2:

Numericamente:



então o sistema de equações lineares é:


Para resolver isso, multiplique a primeira equação por 3 e a segunda por 2 e adicione as duas equações:

11j1 = 220

e, portanto j1= 20V, j2 = (50 + 5j1) / 6 = 25 V

Finalmente a corrente desconhecida:

A solução de um sistema de equações lineares também pode ser calculada usando Regra de Cramer.

Vamos ilustrar o uso da regra de Cramer, resolvendo o sistema acima novamente.

1. Preencha a matriz dos coeficientes de incógnitas:

2. Calcular o valor do determinante da matriz D.

| D| = 7 * 6 - (-5) * (- 4) = 22

3. Coloque os valores do lado direito na coluna dos coeficientes da variável desconhecida e, em seguida, calcule o valor do determinante:

4.Divida os determinantes recém-descobertos pelo determinante original, para encontrar as seguintes proporções:

Conseqüentemente j1 = 20 V e j2 = 25 V

Para verificar o resultado com o TINA, basta ativar o modo interativo CC do TINA ou use o comando Análise / Análise CC / Tensões nodais. Observe que usando o Pino de tensão componente do TINA, é possível mostrar diretamente os potenciais do nó, assumindo que o Solo componente está conectado ao nó de referência.


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{Solução do intérprete da TINA}
Sys fi1, fi2
(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
end;

fi1 = [20]
fi2 = [25]
I: = (fi2-VS1) / R1;
Eu = [500m]

Exemplo 2.

Encontre a voltagem do resistor R4.

R1 = R3 = 100 ohm R2 = R4 = 50 ohm, R5 = 20 ohm, R6 = 40 ohm, R7 = 75 ohm




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Nesse caso, é prático escolher o polo negativo da fonte de tensão VS2 como o nó de referência, porque então o pólo positivo do VS2 fonte de tensão terá VS2 = Potencial de 150 nós. Devido a essa escolha, no entanto, a tensão V necessária é oposta à tensão do nó N4; portanto V4 = - V.

As equações:


Não apresentamos os cálculos manuais aqui, pois as equações podem ser facilmente resolvidas pelo intérprete da TINA.

{Solução do intérprete da TINA}
{Use o método potencial do nó!}
Sys V, V1, V2, V3
V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
end;
V1 = [116.6667]
V2 = [- 91.8182]
V3 = [19.697]
V = [34.8485]

Para verificar o resultado, o TINA simplesmente ativa o modo interativo CC do TINA ou use o comando Análise / Análise CC / Tensões nodais. Observe que precisamos colocar alguns pinos de tensão nos nós para mostrar as tensões dos nós.


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