FORMAS DE ONDA PERIÓDICAS

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A Teorema de Fourier afirma que qualquer forma de onda periódica pode ser sintetizada adicionando termos de seno e cosseno adequadamente ponderados de várias frequências. O teorema é bem coberto em outros livros, portanto, apenas resumiremos os resultados e mostraremos alguns exemplos.

Seja nossa função periódica f (t) = f (t ±nT) onde T é o tempo de um período e n é um número inteiro.

w0= 2p/ t a frequência angular fundamental.

Pelo Teorema de Fourier, a função periódica pode ser escrita como a seguinte soma:

onde

An e Bn são o Coeficientes de Fourier e a soma é a Séries de Fourier.

Outra forma, provavelmente um pouco mais prática:

onde

A0 = C0 é o valor médio ou DC, A1, B1 e C1 são os componentes fundamentais e os outros são os termos harmônicos.

Embora apenas alguns termos possam ser necessários para aproximar algumas formas de onda, outros exigirão muitos termos.

Geralmente, quanto mais termos incluídos, melhor a aproximação, mas para formas de onda contendo etapas, como impulsos retangulares, o Fenômeno de Gibbs entra em jogo. À medida que o número de termos aumenta, a superação se concentra em um período cada vez menor.

An função par f (t) = f (-t) (simetria do eixo) requer apenas termos cosseno.

An Função estranha f (t) = - f (-t) (simetria de ponto) requer apenas termos seno.

Uma forma de onda com simetria em espelho ou em meia onda tem apenas estranho harmônicos em sua representação de Fourier.

Aqui não trataremos da expansão da série Fourier, mas usaremos apenas uma determinada soma de senos e cossenos como excitação para um circuito.

Nos capítulos anteriores deste livro, tratamos da excitação sinusoidal. Se o circuito for linear, o Teorema da superposição é válido. Para uma rede com excitação periódica não senoidal, a superposição nos permite calcule as correntes e tensões devidas a cada termo sinusóide de Fourier, uma de cada vez. Quando todos são calculados, finalmente resumimos os componentes harmônicos da resposta.

É um pouco complicado determinar os diferentes termos das tensões e correntes periódicas e, de fato, pode gerar uma sobrecarga de informações. Na prática, gostaríamos de simplesmente fazer medições. Podemos medir os diferentes termos harmônicos usando um analisador harmônico, analisador de espectro, analisador de ondas ou analisador de Fourier. Todos estes são complicado e provavelmente gera mais dados do que o necessário. Às vezes, é suficiente descrever um sinal periódico apenas por seus valores médios. Mas existem vários tipos de medições médias.

MÉDIA VALORES

Média simples or DC O termo foi visto na representação de Fourier como A0

Essa média pode ser medida com instrumentos como o Deprez Instrumentos de corrente contínua.

Valor efetivo or rms (quadrado médio da raiz) tem a seguinte definição:

Este é o valor médio mais importante porque o calor dissipado nos resistores é proporcional ao valor efetivo. Muitos voltímetros digitais e alguns analógicos podem medir o valor efetivo de tensões e correntes.

Média absoluta

Essa média não é mais importante; instrumentos anteriores mediam essa forma de média.

Se conhecermos a representação de Fourier de uma forma de onda de tensão ou corrente, também podemos calcular os valores médios da seguinte maneira:

Média simples or DC O termo foi visto na representação de Fourier como A0 = C0

Valor efetivo or rms (raiz quadrada média) é, depois de integrar a série de Fourier da tensão:

A fator klirr é uma proporção muito importante dos valores médios:

É a razão entre o valor efetivo dos termos harmônicos mais altos ao valor efetivo da harmônica fundamental:

Parece haver uma contradição aqui - resolvemos a rede em termos de componentes harmônicos, mas medimos as quantidades médias.

Vamos ilustrar o método com exemplos simples:

Exemplo 1

Encontre a função de tempo e o valor efetivo (rms) da tensão vC(T)


se R = 5 ohm, C = 10 mF e v (t) = (100 + 200 cos (w0t) + 30 cos (3 w0t - 90 °)) V, onde a frequência angular fundamental é w0= 30 krad / s.

Tente usar o teorema da superposição para resolver o problema.

O primeiro passo é encontrar a função de transferência em função da frequência. Para simplificar, use a substituição: s = j w

Agora substitua os valores do componente es = jk w0onde k = 0; 1; 3 neste exemplo e w0= 30 krad / s. Em V, A, ohm mUnidades F e Mrad / s:

É útil usar uma tabela para organizar as etapas da solução numérica:

k

W (jk) =

0

1

3

Podemos resumir as etapas da solução de superposição em outra tabela. Como já vimos, para encontrar o valor de pico complexo de um componente, devemos multiplicar o valor de pico complexo do componente da excitação pelo valor da função de transferência complexa:

k

V

W

VCk

0

100

1

100

1

200

0.55e-j56.3°

110e-j56.3°

3

30e-j90°

0.217e-j77.5°

6.51e-j167.5°

E, finalmente, podemos fornecer a função de tempo conhecendo os complexos valores de pico dos componentes:

vC(t) = 100 + 110 cos (w0t - 56.3°) + 6.51 cos (3w0t - 167.5°) V

O valor eficaz (eficaz) da tensão é:

Como você pode ver, o instrumento de medição da TINA mede esse valor rms.

Exemplo 2

Encontre a função de tempo e o valor efetivo (rms) da corrente i (t)


se R = 5 ohm, C = 10 mF e v (t) = (100 + 200 cos (w0t) + 30 cos (3w0t - 90 °)) V onde a frequência angular fundamental é w0= 30 krad / s.

Tente resolver o problema usando o teorema da superposição.


As etapas da solução são semelhantes ao Exemplo 1, mas a função de transferência é diferente.

Agora substitua os valores numéricos es = jk w0,onde k = 0; 1; 3 neste exemplo.

Em V, A, ohm mUnidades F e Mrad / s:

É útil usar uma tabela durante a solução numérica:

k

W (jk) =

0

1

3

Podemos resumir as etapas da superposição em outra tabela. Como já vimos, para encontrar o valor de pico de um componente, devemos multiplicar o valor de pico complexo desse componente da excitação pelo valor da função de transferência complexa. Use os valores de pico complexos dos componentes da excitação:

k

VSk

W(jk)

Ik

0

100

0

0

1

200

0.162 dej33.7°

32.4 dej33.7°

3

30 de-j90°

0.195 dej12.5°

5.85 de-j77.5°

E, finalmente, conhecendo os complexos valores de pico dos componentes, podemos indicar a função de tempo:

i (t) = 32.4 cos (w0t + 33.7°) + 5.85 cos (3w0t - 77.5°) [UMA]

Tele valor rms da corrente:

Muitas vezes, você pode fazer uma verificação de integridade de parte da solução. Por exemplo, um capacitor pode ter uma tensão CC, mas não uma corrente CC.

Exemplo 3

Obter a função de tempo da tensão Vab if R1= 12 ohm, R2 = 14 ohm, L = 25 mH e


C = 200 mF. A tensão do gerador é v (t) = (50 + 80 cos (w0t) + 30 cos (2 w0t + 60 °)) V, onde a frequência fundamental é f0 = 50 Hz.

O primeiro passo é encontrar a função de transferência:

Substituindo valores numéricos em unidades V, A, ohm, mH, mF, kHz:

Mesclando as duas tabelas:

k V Sk V abk
0 5050
1 8079.3 de-j66.3
2 30 ej6029.7 de-j44.7

Finalmente, a função de tempo:

vab(t) = 50 + 79.3 cos (w1t - 66.3°) + 29.7 cos (2w1t - 44.7°) [V]

e o valor rms:


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