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Como vimos no capítulo anterior, a impedância e a admissão podem ser manipuladas usando as mesmas regras usadas nos circuitos CC. Neste capítulo, demonstraremos essas regras calculando a impedância total ou equivalente para circuitos CA em série, paralelo e paralelo em série.
Exemplo 1
Encontre a impedância equivalente do seguinte circuito:
R = 12 ohms, L = 10 mH, f = 159 Hz
Como os elementos estão em série, percebemos que suas impedâncias complexas devem ser adicionadas:
Zeq = ZR + ZL = R + j w L = 12 + j* 2 *p* 159 * 0.01 = (12 + j 9.99) ohm = 15.6 ej39.8° ohm.
Yeq = 1 /Zeq = 0.064 e- j 39.8° S = 0.0492 - j 0.0409 S
Podemos ilustrar esse resultado usando medidores de impedância e o diagrama de fases
TINA v6. Como o medidor de impedância da TINA é um dispositivo ativo e vamos usar dois deles, devemos organizar o circuito para que os medidores não se influenciem.
Criamos outro circuito apenas para a medição das impedâncias da peça. Nesse circuito, os dois metros não "vêem" a impedância um do outro.
A Análise / Análise CA / Diagrama fasorial O comando desenhará os três fasores em um diagrama. Nós usamos o Etiqueta Auto comando para adicionar os valores e o Line comando do Editor de diagramas para adicionar as linhas auxiliares tracejadas para a regra do paralelogramo.
O circuito para medir as impedâncias das peças
Diagrama fasorial mostrando a construção de Zeq com a regra do paralelogramo
Como mostra o diagrama, a impedância total, Zeq pode ser considerado como um vetor resultante resultante da regra do paralelogramo das impedâncias complexas ZR e ZEU .
Exemplo 2
Encontre a impedância e a admissão equivalentes deste circuito paralelo:
R = 20 ohm C = 5 mF, f = 20 kHz
A admissão:
A impedância usando o Zmorto= Z1 Z2 / (Z1 + Z2 ) Fórmula para impedâncias paralelas:
Outra maneira pela qual a TINA pode resolver este problema é com o seu Interpretador:
om: = 2 * pi * 20000;
Z: = Replus (R, (1 / j / om / C))
Z = [125.8545m-1.5815 * j]
Y: = 1 / R + j * om * C;
Y = [50m + 628.3185m * j]
importar matemática como m
importar cmath como c
#Primeiro defina replus usando lambda:
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
#Vamos simplificar a impressão de complexos
#números para maior transparência:
cp= lambda Z: “{:.4f}”.formato(Z)
om=2*c.pi*20000
Z=Replus(R,1/complexo(0,1/om/C))
imprimir(“Z=”,cp(Z))
Y=complexo(1/R,om*C)
imprimir(“S=”,cp(Y))
Exemplo 3
Encontre a impedância equivalente deste circuito paralelo. Ele usa os mesmos elementos do exemplo 1:
R = 12 ohm e L = 10 mH, em f = frequência 159 Hz.
Para circuitos paralelos, geralmente é mais fácil calcular a entrada primeiro:
Yeq = YR + YL = 1 / R + 1 / (j*2*p*f * L) = 1 / 12 - j / 10 = 0.0833 - j 0.1 = 0.13 e-j 50° S
Zeq = 1 / Yeq = 7.68 e j 50° ohm.
Outra maneira pela qual a TINA pode resolver este problema é com o seu Interpretador:
f: = 159;
om: = 2 * pi * f;
Zeq: = replus (R, j * om * L);
Zeq = [4.9124 + 5.9006 * j]
importar matemática como m
importar cmath como c
#Primeiro defina replus usando lambda:
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
#Vamos simplificar a impressão de complexos
#números para maior transparência:
cp= lambda Z: “{:.4f}”.formato(Z)
F = 159
om=2*c.pi*f
Zeq=Replus(R,complexo(1j*om*L))
imprimir(“Zeq=”,cp(Zeq))
Exemplo 4
Encontre a impedância de um circuito em série com R = 10 ohm, C = 4 mF e L = 0.3 mH, em uma freqüência angular w = 50 krad / s (f = w / 2p = 7.957 kHz).
Z = R + j w EU - j / wC = 10 + j 5*104 * 3 * 10-4 - j / (5 * 104 * 4 * 10-6 ) = 10 + j 15 - j 5
Z = (10 + j 10) ohms = 14.14 dej 45° Ohms
O circuito para medir as impedâncias das peças
O diagrama fasorial como gerado por TINA
Começando com o diagrama de fasores acima, vamos usar a regra de construção triangular ou geométrica para encontrar a impedância equivalente. Começamos movendo a cauda de ZR para a ponta do ZL. Então nós movemos a cauda de ZC para a ponta do ZR. Agora o resultante Zeq fechará exatamente o polígono a partir da cauda do primeiro ZR fasor e terminando na ponta do ZC.
O diagrama fasorial mostrando a construção geométrica de Zeq
om: = 50k;
ZR: = R;
ZL: = om * L;
ZC: = 1 / om / C;
Z: = ZR + j * ZL-j * ZC;
Z = [10 + 10 * j]
abs (Z) = [14.1421]
radtodeg (arco (Z)) = [45]
{outro jeito}
Zeq: = R + j * om * L + 1 / j / om / C;
Zeq = [10 + 10 * j]
Abs (Zeq) = [14.1421]
fi: = arco (Z) * 180 / pi;
fi = [45]
importar matemática como m
importar cmath como c
#Vamos simplificar a impressão de complexos
#números para maior transparência:
cp= lambda Z: “{:.4f}”.formato(Z)
om = 50000
ZR=R
ZL=om*L
ZC = 1/om/C
Z=ZR+1j*ZL-1j*ZC
imprimir(“Z=”,cp(Z))
imprimir(“abs(Z)= %.4f”%abs(Z))
imprimir(“graus(arco(Z))= %.4f”%m.graus(c.fase(Z)))
#outro jeito
Zeq=R+1j*om*L+1/1j/om/C
imprimir(“Zeq=”,cp(Zeq))
imprimir(“abs(Zeq)= %.4f”%abs(Zeq))
fi=c.fase(Z)*180/c.pi
imprimir(“fi=”,cp(fi))
Verifique seus cálculos usando o TINA Menu Análise Calcular tensões nodais. Quando você clica no medidor de impedância, o TINA apresenta a impedância e a admissão e fornece os resultados nas formas algébrica e exponencial.
Como a impedância do circuito tem uma fase positiva como um indutor, podemos chamá-lo de circuito indutivo–Pelo menos nesta frequência!
Exemplo 5
Encontre uma rede em série mais simples que possa substituir o circuito em série do exemplo 4 (na frequência especificada).
Observamos no Exemplo 4 que a rede está indutivo, para que possamos substituí-lo por um resistor de 4 ohm e uma reatância indutiva de 10 ohm em série:
XL = 10 = w* L = 50 * 103 L
® L = 0.2 mH
Não esqueça que, como a reatância indutiva depende da frequência, essa equivalência é válida apenas para um freqüência.
Exemplo 6
Encontre a impedância de três componentes conectados em paralelo: R = 4 ohm, C = 4 mF e L = 0.3 mH, a uma frequência angular w = 50 krad / s (f = w / 2p = 7.947 kHz).
Observando que este é um circuito paralelo, resolvemos primeiro a admissão:
1/Z = 1 / R + 1 / j w L + jwC = 0.25 - j / 15 +j0.2 = 0.25 +j 0.1333
Z = 1 / (0.25 + j 0.133) = (0.25 - j 0.133) / 0.0802 = 3.11 - j 1.65 = 3.5238 e-j 28.1° Ohms
om: = 50k;
ZR: = R;
ZL: = om * L;
ZC: = 1 / om / C;
Z: = 1 / (1 / R + 1 / j / ZL-1 / j / ZC);
Z = [3.1142-1.6609 * j]
abs (Z) = [3.5294]
fi: = radtodeg (arco (Z));
fi = [- 28.0725]
importar matemática como m
importar cmath como c
#Vamos simplificar a impressão de complexos
#números para maior transparência:
cp= lambda Z: “{:.4f}”.formato(Z)
#Defina replus usando lambda:
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om = 50000
ZR=R
ZL=om*L
ZC = 1/om/C
Z=1/(1/R+1/1j/ZL-1/1j/ZC)
imprimir(“Z=”,cp(Z))
imprimir(“abs(Z)= %.4f”%abs(Z))
fi=m.graus(c.fase(Z))
imprimir(“fi=%.4f”%fi)
#outra maneira
Zeq=Replus(R,Replus(1j*om*L,1/1j/om/C))
imprimir(“Zeq=”,cp(Zeq))
imprimir(“abs(Zeq)= %.4f”%abs(Zeq))
imprimir(“graus(arco(Zeq))= %.4f”%m.graus(c.fase(Zeq)))
O intérprete calcula a fase em radianos. Se você deseja a fase em graus, pode converter de radianos em graus multiplicando por 180 e dividindo por p. Neste último exemplo, você vê uma maneira mais simples - use a função incorporada do intérprete, radtodeg. Também existe uma função inversa, degtorad. Observe que a impedância dessa rede tem uma fase negativa como um capacitor, por isso dizemos que - nessa frequência - é um circuito capacitivo.
No Exemplo 4, colocamos três componentes passivos em série, enquanto neste exemplo colocamos os mesmos três elementos em paralelo. A comparação das impedâncias equivalentes calculadas na mesma frequência revela que elas são totalmente diferentes, mesmo o caráter indutivo ou capacitivo.
Exemplo 7
Encontre uma rede em série simples que possa substituir o circuito paralelo do exemplo 6 (na frequência especificada).
Como a rede é capacitiva devido à fase negativa, tentamos substituí-la por uma conexão em série de um resistor e um capacitor:
Zeq = (3.11 - j 1.66) ohm = Re -j / wCe
Re = 3.11 ohm w* C = 1 / 1.66 = 0.6024
conseqüentemente
Re = 3.11 ohm
C = 12.048 mF
É claro que você poderia substituir o circuito paralelo por um circuito paralelo mais simples nos dois exemplos
Exemplo 8
Encontre a impedância equivalente do seguinte circuito mais complicado na frequência f = 50 Hz:
om: = 2 * pi * 50;
Z1: = R3 + j * om * L3;
Z2: = replus (R2,1 / j / om / C);
Zeq: = R1 + Replus (Z1, Z2);
Zeq = [55.469-34.4532 * j]
abs (Zeq) = [65.2981]
radtodeg (arco (Zeq)) = [- 31.8455]
importar matemática como m
importar cmath como c
#Vamos simplificar a impressão de complexos
#números para maior transparência:
cp= lambda Z: “{:.4f}”.formato(Z)
#Defina replus usando lambda:
Replus= lambda R1, R2 : R1*R2/(R1+R2)
om=2*c.pi*50
Z1=R3+1j*om*L3
Z2=Replus(R2,1/1j/om/C)
Zeq=R1+Remais(Z1,Z2)
imprimir(“Zeq=”,cp(Zeq))
imprimir(“abs(Zeq)= %.4f”%abs(Zeq))
imprimir(“graus(arco(Zeq))= %.4f”%m.graus(c.fase(Zeq)))
Precisamos de uma estratégia antes de começar. Primeiro, reduziremos C e R2 a uma impedância equivalente, ZRC. Então, vendo que ZRC estiver paralelo aos L3 e R3 conectados em série, calcularemos a impedância equivalente de sua conexão paralela, Z2. Finalmente, calculamos Zeq como a soma de Z1 e Z2.
Aqui está o cálculo de ZRC:
Aqui está o cálculo de Z2:
E finalmente:
Zeq = Z1 + Z2 = (55.47 - j 34.45) ohm = 65.3 e-j31.8° ohm
de acordo com o resultado da TINA.
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