NUMERE COMPLEXE

Faceți clic sau atingeți exemplele de mai jos pentru a invoca TINACloud și selectați modul Interactiv DC pentru a le analiza online.
Obțineți acces la un cost redus la TINACloud pentru a edita exemplele sau pentru a crea propriile circuite

MĂSURI ȘI METODE CURENTE

PRINCIPII ALE CURENTULUI ALTERNATIV

În acest capitol și în capitolele următoare, vom prezenta un subiect foarte important: AC sau Curent alternativ. Denumirea curentului alternativ nu este foarte precisă și acoperă, în mod normal, circuite cu tensiuni sinusoidale și curenți; totuși, curentul alternativ poate însemna și orice formă de undă arbitrară. Importanța tensiunii AC este că acest tip de tensiune este folosit pentru sursa principală de energie electrică din locuințe și industrie din întreaga lume. Este, de asemenea, baza multor aplicații electronice, de telecomunicații și industriale.

Pentru a trata forme de undă sinusoidale și circuitele asociate cu ele, vom folosi o metodă simplă și elegantă numită metoda de fazori. Fazorii se bazează pe proprietățile numerelor complexe, care sunt ideale pentru a reprezenta cantități sinusoidale. În acest capitol, vom rezuma principalele fapte despre numerele complexe și operațiunile lor. Vom arăta, de asemenea, modul în care interpreta TINA face ușor efectuarea de calcule cu numere complexe.

Numerele complexe constau din două părți, a parte reală (x), care este un număr real, și așa-numitul imaginar (y), care este un număr real înmulțit cu , unitatea imaginară. Numărul complex z, prin urmare, poate fi descrisă ca:

z = x + jy

Unde .

Exemple de numere complexe:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Numerele complexe au fost inițial introduse în secolul al XVII-lea pentru a reprezenta rădăcinile polinoamelor care nu puteau fi reprezentate doar cu numere reale. De exemplu, rădăcinile ecuației x²+ 2x + 2 = 0 poate fi descrisă doar ca și , sau folosind notația , z₁= 1 + j și z₂= 1- j. Folosind noua notație pentru a investiga proprietățile expresiilor, matematicienii au reușit să demonstreze teoreme și să rezolve probleme care până atunci au fost dificile, sau nu imposibil de rezolvat. Acest lucru a dus la elaborarea de algebră complexă și funcții complexe, care sunt acum utilizate pe scară largă în matematică și inginerie.

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe

Formă dreptunghiulară

Deoarece un număr complex poate fi întotdeauna separat în părțile sale reale și complexe, putem reprezenta un număr complex ca punct pe un plan bidimensional. Partea reală a unui număr complex este proiecția punctului pe axa reală, iar partea imaginară a numărului este proiecția pe axa imaginară. Când un număr complex este reprezentat ca suma părților reale și imaginare, spunem că este în dreptunghiular or forma algebrică.

Figura următoare prezintă numărul complex z = 2 + 4j

Formă polară și exponențială

După cum puteți vedea din figura de mai sus, punctul A ar putea fi reprezentat și de lungimea săgeții, r (numită și valoarea, magnitudinea sau amplitudinea absolută) și unghiul (sau faza), φ relativ în sens invers acelor de ceasornic față de axa orizontală pozitivă. Acesta este polar forma unui număr complex. Se notează ca r ∠ φ.

Următorul pas este foarte important. Un număr complex în formă polară poate fi de asemenea scris exponențială formă:

Această expresie simplă este distinctivă prin faptul că are un număr imaginar în exponent în loc de numărul real obișnuit. Acest complex exponențial se comportă foarte diferit de funcția exponențială cu un argument real. În timp ce e^x crește rapid în mărime pentru creșterea x> 0 și scade pentru x <0, funcția are aceeași mărime (z = 1) pentru orice φ. Mai mult, valorile sale complexe se află pe cercul unității.

Formula lui Euler oferă o legătură unificatoare între formele rectangulare, polare și exponențiale ale numerelor complexe:

z = x + jy = re ^jφ = r (cos φ + j păcat φ )

Unde

și φ = tan^-1(Y / x).

Pentru exemplul nostru de mai sus, z = 2 + 4j:

φ = tan^-1(4 / 2) = 63.4 °

prin urmare .

Sau vice versa:

Va trebui să fiți abil în utilizarea ambelor formulare, în funcție de aplicație. De exemplu, adunarea sau scăderea sunt, evident, mai ușor de făcut atunci când numerele sunt în formă dreptunghiulară, în timp ce înmulțirea și divizarea sunt mai ușor de făcut atunci când numerele sunt în formă exponențială.

Operații cu numere complexe

Operațiunile care se pot face cu numere complexe sunt similare cu cele pentru numere reale. Regulile și unele definiții noi sunt rezumate mai jos.

Operațiuni cu j

Operațiunile cu j pur și simplu urmați din definiția unității imaginare,

Pentru a putea lucra rapid și precis, ar trebui să memorați aceste reguli:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j = -j

dovada:

j² = -1 pur și simplu urmează din definiția lui , de cand

Pentru 1 /j, multiplicăm 1 /jby j / j = 1 și obțineți j/ (jj) = j / (- 1) = -j.

Conjugare complexa

Conjugatul complex al unui număr complex este ușor derivat și este destul de important. Pentru a obține conjugatul complex al unui număr complex în formă dreptunghiulară, schimbați pur și simplu semnul părții imaginare. Pentru a face acest lucru pentru un număr în formă exponențială, schimbați semnul unghiului numărului complex, menținându-i aceeași valoare absolută.

Conjugatul complex al unui număr complex z este deseori indicat de z^*.

Având în vedere numărul complex z= A + jb, conjugatul său complex este z^*= a- jb.

If z este dată în formă exponențială, , conjugatul său complex este

Folosind definițiile de mai sus, este ușor de observat că un număr complex înmulțit cu conjugatul său complex dă pătratul valorii absolute a numărului complex:

Z Z^* = r²= a^{2 +}b²

De asemenea, prin adăugarea sau scăderea numărului complex și a conjugatului său, obținem următoarele relații:

z + z ^* = 2a

prin urmare

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

în mod similar:

z - z ^* =j2b

prin urmare

Sunt(z) = b = ( z -z ^* ) / 2j

dovada:

sau înmulțirea pieselor reale și imaginare și utilizarea acestora j²= -1

Z Z^* = (A + jb) (a - jb) = a²+a jb - a jb - jbjb = a²j2 = a^{2 +}b²

z + z^* = A + jb + a - jb = 2a

Z Z^*= A + jb - a + jb =j2b

Exemple numerice:

În formă dreptunghiulară:

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

Z Z ^* = 9 + 16 = 25

În formă polară

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠- 53.13 °

În formă exponențială:

Adunare si scadere

Adunarea și scăderea numerelor complexe este simplă - trebuie doar să adăugăm separat părțile reale și imaginare. De exemplu, dacă

z₁ = 3 - 4j și z₂= 2 + 3j

apoi

z₁ + z₂= 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ - z₂= 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j - 3j = 1 - j7

Evident, ar trebui să folosim forma dreptunghiulară pentru aceste operațiuni. Dacă numerele sunt date sub formă exponențială sau polară, ar trebui să le transformăm mai întâi în formă dreptunghiulară folosind formula lui Euler, așa cum este dată mai devreme.

Multiplicare

Există două metode pentru multiplicarea numerelor complexe -

Înmulțirea numerelor complexe date în formă dreptunghiulară

Pentru a efectua operația, pur și simplu înmulțiți părțile reale și imaginare ale unui număr la rând cu părțile reale și imaginare ale celuilalt număr și folosiți identitatea j²= -1.

z₁z₂ = (a₁ + jb₁) (A₂ + jb₂) = a₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - b₁b₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Atunci când numerele complexe sunt date numeric, nu este necesară utilizarea formulei de mai sus. De exemplu, permiteți-vă

z₁ = 3 - 4j și z₂= 2 + 3j

Cu multiplicarea directă a componentelor:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6-8j +9j + 12 = 18 + j

sau folosind formula: z₁z₂ = a₁ a₂- b₁b₂+ j(b₁a₂+ B₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Considerăm că este mai probabil să faceți o eroare dacă utilizați formula decât dacă înmulțiți direct componentele.

{Soluția interpretului TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 * z2 = [18 + 1 * j]

#Soluție Python:
import matematică ca m
import cmath ca c

z1=complex('3-4j')
z2=complex('2+3j')
print(„z1*z2=”,z1*z2)

Înmulțirea numerelor complexe date în formă polară sau exponențială

Pentru a efectua această operație, multiplicați valorile absolute și adăugați unghiurile celor două numere complexe. Lăsa:

Apoi, folosind regula de multiplicare a funcțiilor exponențiale:

sau în formă polară

z₁ z₂ = r₁ r₂ ∠ φ₁+ φ₂

Notă: Am folosit deja această regulă atunci când am calculat Z Z ^*de mai sus. Deoarece unghiul conjugatului are semnul opus unghiului inițial, un număr complex înmulțit de propriul conjugat este întotdeauna un număr real; și anume, pătratul valorii sale absolute: Z Z ^*= r²

De exemplu, permiteți:

z₁ = 5 ∠ 30 ° și z₂ = 4 ∠ -60 °

apoi

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

sau în formă exponențială

Înmulțirea este evident mai simplă atunci când numerele sunt în formă polară sau exponențială.

Cu toate acestea, dacă numerele complexe sunt date în formă dreptunghiulară, ar trebui să luați în considerare efectuarea înmulțirii direct așa cum este arătat mai sus, deoarece există pași suplimentari dacă convertiți numerele în formă polară înainte de a le înmulți. Un alt factor de luat în considerare este dacă doriți ca răspunsurile să fie în formă dreptunghiulară sau în formă polară / exponențială. De exemplu, dacă cele două numere sunt în formă dreptunghiulară, dar doriți produsul lor în formă polară, are sens să le convertiți imediat și apoi să le multiplicați.

diviziune

Există două metode pentru împărțirea numerelor complexe -

Diviziunea numerelor complexe date în formă dreptunghiulară

Pentru a efectua operația, înmulțiți numerotatorul și numitorul cu conjugatul numitorului. Numitorul devine un număr real și diviziunea este redusă la înmulțirea a două numere complexe și o diviziune cu un număr real, pătratul valorii absolute a numitorului.

De exemplu, permiteți:

z₁ = 3 - 4j și z₂= 2 + 3j

Să verificăm acest rezultat cu interpretul TINA:

{Soluția interpretului TINA}
z1: = 3-4 * j
z2: = 2 + 3 * j
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * j]

#Soluție Python:
import matematică ca m
import cmath ca c

z1=complex('3-4j')
z2=complex('2+3j')
print(„z1/z2=”,z1/z2)

Diviziunea numerelor complexe date în formă polară sau exponențială

Pentru a efectua operația, împărțiți valorile absolute (magnitudine) și scădeți unghiul numitorului din unghiul numărătorului. Lăsa:

apoi folosind regula divizării funcțiilor exponențiale

sau în formă polară

z ₁ / z₂= r₁ / r₂ ∠ φ ₁- φ ₂

De exemplu, permiteți:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° și z ₂ = 2 ∠ -60 °

apoi

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

sau în forme exponențiale și dreptunghiulare

Să verificăm acest rezultat cu interpretul TINA:

{Soluția interpretului TINA}
z1: = 5 * exp (j * degtorad (30))
z2: = 2 * exp (j * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * j]

#Soluție Python:
import matematică ca m
import cmath ca c

z1=5*(c.exp(complex(0,m.radiani(30))))
z2=2*(c.exp(complex(0,m.radiani(-60))))
print(„z1/z2=”,z1/z2)

Diviziunea este evident mai simplă atunci când numerele sunt sub formă polară sau exponențială.

Cu toate acestea, dacă numerele complexe sunt date în formă dreptunghiulară, ar trebui să luați în considerare efectuarea diviziunii direct folosind metoda de conjugare complexă, așa cum este arătat mai sus, deoarece există pași suplimentari dacă convertiți numerele în formă polară înainte de a le împărți. Un alt factor de luat în considerare este dacă doriți ca răspunsurile să fie în formă dreptunghiulară sau în formă polară / exponențială. De exemplu, dacă cele două numere sunt în formă dreptunghiulară, dar doriți coeficientul lor în formă polară, are sens să le convertiți imediat și apoi să le împărțiți.

Acum, să ilustrăm utilizarea numerelor complexe prin probleme mai numerice. Ca de obicei, vom verifica soluțiile folosind interpretul TINA. Interpretul lucrează cu radiani, dar are funcții standard pentru conversia radianelor în grade sau invers.

Exemplu 1 Găsiți reprezentarea polară:

z = 12 - j 48

sau 49.48 ∠ - 75.96 °

{Soluția interpretului TINA}
z: = 12-j * 48;
abs (z) = [49.4773]
arc (z) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z)) = [- 75.9638]

#Soluție Python:
import matematică ca m
import cmath ca c

z=12-complex(48j)
print(„abs(z)=”,abs(z))
print(„arc(z)=”,c.phase(z))
print(„grade(arc(z))=”,m.grade(c.faza(z)))

Exemplu 2 Găsiți reprezentarea dreptunghiulară:

z = 25 e ^j¹²⁵ ^°

{Soluția interpretului TINA}
z: = 25 * exp (j * (degtorad (125)));
z = [- 14.3394 + 20.4788 * j]
Re (z) = [- 14.3394]
Im (z) = [20.4788]

#Soluție Python:
import matematică ca m
import cmath ca c

z=25*c.exp(complex(0,m.radiani(125)))
print(„z=”,z)
print(„real(z)=",z.real)
print(„imag(z)=",z.imag)

Exemplu 3 Găsiți reprezentarea polare a următoarelor numere complexe:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Valorile absolute ale tuturor celor patru numere sunt aceleași, deoarece valoarea absolută este independentă de semne. Doar unghiurile sunt diferite.

{Soluția interpretului TINA}
z1: = 12 + j * 48;
abs (z1) = [49.4773]
arc (z1) = [1.3258]
radtodeg (arc (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-j * 48;
abs (z2) = [49.4773]
arc (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (arc (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + j * 48;
abs (z3) = [49.4773]
arc (z3) = [1.8158]
radtodeg (arc (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-j * 48:
abs (z4) = [49.4773]
arc (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (arc (z4)) = [- 104.0362]

#Soluție Python:
import matematică ca m
import cmath ca c

z1=complex('12+48j')
print(„abs(z1)=”,abs(z1))
print(„arc(z1)=",c.phase(z1))
print(„grade(arc(z1))=”,m.grade(c.faza(z1)))

z2=complex('12-48j')
print(„abs(z2)=”,abs(z2))
print(„arc(z2)=",c.phase(z2))
print(„grade(arc(z2))=”,m.grade(c.faza(z2)))

z3=complex('-12+48j')
print(„abs(z3)=”,abs(z3))
print(„arc(z3)=",c.phase(z3))
print(„grade(arc(z3))=”,m.grade(c.faza(z3)))

z4=complex('-12-48j')
print(„abs(z4)=”,abs(z4))
print(„arc(z4)=",c.phase(z4))
print(„grade(arc(z4))=”,m.grade(c.faza(z4)))

Funcția arc () TINA determină unghiul oricărui număr complex, plasându-l automat corect într-unul din cele patru cadrane.

Fiți atent, cu toate acestea, folosind bronzul^-1 funcție pentru a găsi unghiul, deoarece este limitat la unghiurile de revenire numai în primul și al patrulea cadran (–90 °φ<90 °).

Întrucât z₁este situat în primul cvadrant al sistemului de coordonate, calculul este:

α₁ = tan^-1(48 / 12) = tan^-1(4) = 75.96 °

Întrucât z₄este situat în al treilea cadran al sistemului de coordonate, tan^-1nu întoarce corect unghiul. Calculul unghiului este:

α₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° sau -360 ° + 255.96 ° = - 104.04 °, care este același cu cel calculat de TINA.

z₂este situat în al patrulea cadran al sistemului de coordonate Calculul unghiului este:

α₂ = tan^-1(-48 / 12) = bronz^-1(-4) = -75.96 °

z_3,totuși, se află în cadranul 2nd al sistemului de coordonate, deci tan^-1nu readuce corect unghiul. Calculul unghiului este:

α₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Exemplu 4 Avem două numere complexe: z₁= 4 - j 6 și z₂ = 5 e^j⁴⁵ ^° .

Găsi z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ - z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Mai intai rezolvam problema folosind interpretul TINA

{Soluția interpretului TINA}
z1: = 4-j * 6;
z2: = 5 * exp (j * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * j]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * j]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * j]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * j]

Observați cum TINA se ocupă fără efort de cele două numere complexe date sub diferite forme.

Soluția este mai complicată fără interpret. Pentru a putea compara diferitele metode de înmulțire și divizare, vom determina mai întâi forma polară a z₁ și forma dreptunghiulară a z₂.

În continuare, vom găsi cele patru soluții folosind mai întâi cele mai ușoare forme: dreptunghiulare pentru adunare și scădere și exponențial pentru înmulțire și divizare: