Faceți clic sau atingeți exemplele de mai jos pentru a invoca TINACloud și selectați modul Interactiv DC pentru a le analiza online.
Obțineți acces la un cost redus la TINACloud pentru a edita exemplele sau pentru a crea propriile circuite

Setul complet al ecuațiilor lui Kirchhoff poate fi simplificat semnificativ prin metoda potențială a nodului descrisă în acest capitol. Folosind această metodă, legea de tensiune a lui Kirchhoff este satisfăcută automat și avem nevoie doar de ecuații de noduri pentru a satisface legea curentă a lui Kirchhoff. Satisfacerea legii de tensiune a lui Kirchhoff se realizează prin utilizarea potențialelor nodului (numite și tensiuni nodale sau nodale) în raport cu un nod particular numit referință nodul. Cu alte cuvinte, toate tensiunile din circuit sunt în raport cu nodul de referință, care în mod normal este considerat a avea 0 potențial. Este ușor de văzut că, cu aceste definiții de tensiune, legea tensiunii lui Kirchhoff este satisfăcută automat, deoarece scrierea ecuațiilor de buclă cu aceste potențiale duce la identitate. Rețineți că pentru un circuit care are N noduri ar trebui să scrieți doar ecuații N - 1. În mod normal, ecuația nodului pentru nodul de referință este lăsată în afara.

Suma tuturor curenților din circuit este zero, deoarece fiecare curent curge în și în afara unui nod. Prin urmare, ecuația Nodului al N-lea nu este independentă de ecuațiile N-1 anterioare. Dacă am include toate ecuațiile N, am avea un sistem nesolvabil de ecuații.

Metoda potențialului nodului (numită și analiză nodală) este metoda cea mai potrivită pentru aplicațiile computerizate. Majoritatea programelor de analiză a circuitelor - inclusiv TINA - se bazează pe această metodă.

Etapele analizei nodale:

1. Alegeți un nod de referință cu potențial 0 nod și etichetați fiecare nod rămas cu V₁, V₂ or j₁, j₂şi aşa mai departe.

2. Aplicați legea curentă a lui Kirchhoff la fiecare nod, cu excepția nodului de referință. Folosiți legea lui Ohm pentru a exprima curenții necunoscuți de la potențialele nodului și tensiunile sursei de tensiune atunci când este necesar. Pentru toți curenții necunoscuți, presupuneți aceeași direcție de referință (de exemplu, indicând nodul) pentru fiecare aplicare a legii actuale a lui Kirchhoff.

3. Rezolvați ecuațiile nodului rezultat pentru tensiunile nodurilor.

4. Determinați orice curent sau tensiune solicitat în circuit folosind tensiunile nodului.

Să ilustrăm pasul 2 prin scrierea ecuației nodului pentru nodul V₁ din următorul fragment de circuit:

Mai întâi, găsiți curentul de la nodul V1 la nodul V2. Vom folosi Legea lui Ohm la R1. Tensiunea peste R1 este V₁ - V₂ - V_S1

Și curentul prin R1 (și de la nodul V1 la nodul V2) este

Rețineți că acest curent are o direcție de referință orientată spre V₁ nodul. Folosind convenția pentru curenții care indică un nod, trebuie să se țină seama de ecuația nodului cu un semn pozitiv.

Expresia curentă a ramurii dintre V₁ și V₃ va fi similar, dar din moment ce V_S2 este în direcția opusă V_S1 (ceea ce înseamnă potențialul nodului dintre V_S2 și R₂ este V₃-V_S2), curentul este

În cele din urmă, din cauza direcției de referință indicate, I_S2 ar trebui să aibă un semn pozitiv și eu_S1 un semn negativ în ecuația nodului.

Ecuația nodului:

Acum să vedem un exemplu complet pentru a demonstra utilizarea metodei potențialului nodului.

Găsiți tensiunea V și curenții prin rezistențele din circuitul de mai jos

Numeric:

Înmulțiți cu 30: 7.5 + 3V - 30 + 1.5 V + 7.5. + V - 40 = 0 5.5 V -55 = 0

De aici: V = 10 V

Acum să determinăm curenții prin rezistențe. Acest lucru este ușor, deoarece aceiași curenți sunt folosiți în ecuația nodală de mai sus.

Putem verifica rezultatul cu TINA, pur și simplu pornind modul interactiv DC TINA sau folosind comanda Analiză / CC Analiză / Tensiuni Nodale.

În continuare, haideți să rezolvăm problema care a fost deja folosită ca ultimul exemplu al Legile lui Kirchhoff capitol

Găsiți tensiunile și curenții fiecărui element al circuitului.

Alegerea nodului inferior ca nod de referință cu 0 potențial, tensiunea nodală a lui N₂ va fi egal cu V_S3,: j₂ = prin urmare, avem o singură tensiune nodală necunoscută. Poate vă amintiți că anterior, folosind setul complet al ecuațiilor lui Kirchhoff, chiar și după unele simplificări, am avut un sistem liniar de ecuații de 4 necunoscute.

Scrierea ecuațiilor nodului pentru nodul N₁, să denotăm tensiunea nodală a lui N₁ by j₁

Ecuația simplă de rezolvat este:

Numeric:

Multiplicați prin 330, obținem:

3j₁-360 - 660 + 11j₁ - 2970 = 0 ® j₁= 285 V

După calculare j_1, este ușor să calculați celelalte cantități din circuit.

Curenții:

I_S3 = I_R1 - Eu_R2 = 0.5 - 5.25 = - 4.75 A

Și tensiunile:

V_Is = j₁ = 285 V

V_R1= (j₁ - V_S3) = 285 - 270 = 15 V

V_R2 = (V_S3 - V_S2) = 270 - 60 = 210 V

V_L = - (j₁-V_S1-V_R3) = -285 +120 +135 = - 30 V

Puteți observa că, cu metoda potențialului nodului, mai aveți nevoie de un calcul suplimentar pentru a determina curenții și tensiunile circuitului. Cu toate acestea, aceste calcule sunt foarte simple, mult mai simple decât rezolvarea sistemelor de ecuații liniare pentru toate cantitățile de circuit simultan.

Putem verifica rezultatul cu TINA, pur și simplu pornind modul interactiv DC TINA sau folosind comanda Analiză / CC Analiză / Tensiuni Nodale.

Faceți clic / atingeți circuitul de mai sus pentru a analiza online sau faceți clic pe acest link pentru a salva sub Windows

Să vedem exemple suplimentare.

Exemplu 1

Găsiți actualul I.

Faceți clic / atingeți circuitul de mai sus pentru a analiza online sau faceți clic pe acest link pentru a salva sub Windows

În acest circuit există patru noduri, dar, având în vedere că avem o sursă de tensiune ideală care determină tensiunea nodului la polul său pozitiv, ar trebui să alegem polul său negativ ca nod de referință. Prin urmare, avem într-adevăr doar două potențiale nod necunoscute: j₁ și j₂ .

Faceți clic / atingeți circuitul de mai sus pentru a analiza online sau faceți clic pe acest link pentru a salva sub Windows

Ecuațiile pentru nodurile de potențial j₁ și j₂:

Numeric:

astfel încât sistemul de ecuații liniare este:

Pentru a rezolva acest lucru, înmulțiți prima ecuație cu 3 și a doua cu 2, apoi adăugați cele două ecuații:

11j₁ = 220

și, prin urmare j₁= 20V, j₂ = (50 + 5j₁) / 6 = 25 V

În final, curentul necunoscut:

Soluția unui sistem de ecuații liniare poate fi, de asemenea, calculată folosind Regula lui Cramer.

Să ilustrăm utilizarea regulii lui Cramer rezolvând din nou sistemul de mai sus ..

1. Completați matricea coeficienților necunoscuți:

2. Calculați valoarea lui determinant al matricei D.

| D| = 7 * 6 - (-5) * (- 4) = 22

3. Așezați valorile din partea dreaptă în coloana coeficienților variabilei necunoscute apoi calculați valoarea determinantului:

4.Dividează determinanții noi găsiți de determinantul inițial, pentru a găsi următoarele rapoarte:

prin urmare j₁ = 20 V și j₂ = 25 V

Pentru a verifica rezultatul cu TINA, pur și simplu porniți modul interactiv DC TINA sau folosiți comanda Analiză / CC Analiză / Tensiuni Nodale. Rețineți că folosind funcția Pinul de tensiune componentă a TINA, puteți afișa direct potențialele nodului presupunând că Teren componenta este conectată la nodul de referință.

Faceți clic / atingeți circuitul de mai sus pentru a analiza online sau faceți clic pe acest link pentru a salva sub Windows

{Soluția interpretului TINA}
Sys fiNUMX, fi1
(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
sfârși;
fi1 = [20]
fi2 = [25]
I: = (fi2-VS1) / R1;
I = [500m]

#Soluție Python!
import numpy ca n
#Avem un sistem de
#ecuații liniare care
#dorim să rezolvăm pentru fi1, fi2:
#(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
#(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
#Scrieți matricea coeficienților:
A=n.array([[1/R2+1/R3+1/R4,-1/R2],[-1/R2,1/R2+1/R1]])
#Scrieți matricea constantelor:
b=n.array([[VS1/R3],[VS1/R1+Is]])
x=n.linalg.solve(A,b)
fi1,fi2=x[0],x[1]
print(„fi1= %.3f”%fi1)
print(„fi2= %.3f”%fi2)
I=(fi2-VS1)/R1
print(„I= %.3f”%I)

Exemplu 2.

Găsiți tensiunea rezistorului R₄.

R₁ = R₃ = 100 ohm, R₂ = R₄ = 50 ohm, R₅ = 20 ohm, R₆ = 40 ohm, R₇ = 75 ohm

Faceți clic / atingeți circuitul de mai sus pentru a analiza online sau faceți clic pe acest link pentru a salva sub Windows

În acest caz, este practic să alegeți polul negativ al sursei de tensiune V_S2 ca nod de referință deoarece atunci polul pozitiv al V_S2 sursa de tensiune va avea V_S2 = 150 nod potențial. Din cauza acestei alegeri, însă, tensiunea V necesară este opusă tensiunii nodului nodului N_4; prin urmare V₄ = - V.

Ecuațiile:

Nu prezentăm aici calculele de mână, deoarece ecuațiile pot fi rezolvate cu ușurință de către interpretul TINA.

{Soluția interpretului TINA}
{Utilizați metoda potențialului nodului!}
Sys V, V1, V2, V3
V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
sfârși;
V1 = [116.6667]
V2 = [- 91.8182]
V3 = [19.697]
V = [34.8485]

#Soluție Python!
import numpy ca n
#Utilizați metoda potențialului nodului!
#Avem un sistem de ecuații liniare pe care vrem să-l rezolvăm
#pentru V,V1,V2,V3:
#V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
#(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
#(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
#(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
#Scrieți matricea coeficienților:
A= n.array([[0,1/R2+1/R1,0,0],[1/R6,0,1/R6+1/R5,(-1)/R5],[1/R7,0,(-1)/R5,1/R7+1/R5+1/R3],[(-1)/R6-1/R4-1/R7,0,-1/R6,-1/R7]])
#Scrieți matricea constantelor:
b=n.array([(Vs2/R1)+Is,-(Vs1/R5)-Is,(Vs2/R3)+(Vs1/R5),0])

x= n.linalg.solve(A,b)
V=x[0]
print(„V= %.4f”%V)

Pentru a verifica rezultatul, TINA pur și simplu pornește modul interactiv DC al TINA sau utilizează comanda Analiză / CC Analiză / Tensiuni Nodale. Rețineți că trebuie să așezăm câțiva pini de tensiune pe noduri pentru a afișa tensiunile nodului.

Faceți clic / atingeți circuitul de mai sus pentru a analiza online sau faceți clic pe acest link pentru a salva sub Windows

---