Faceți clic sau atingeți exemplele de mai jos pentru a invoca TINACloud și selectați modul Interactiv DC pentru a le analiza online. Obțineți acces la un cost redus la TINACloud pentru a edita exemplele sau pentru a crea propriile circuite
O tensiune sinusoidală poate fi descrisă de ecuația:
v (t) = VM sin (ωt + Φ) sau v (t) = VM cos (ωt + Φ)
| Unde | v (t) | Valoarea instantanee a tensiunii, în volți (V). |
| VM | Valoarea maximă sau vârf a tensiunii, în volți (V) | |
| T | Perioadă: timpul necesar pentru un ciclu, în câteva secunde | |
| f | Frecvență - numărul de perioade în al doilea 1, în Hz (Hertz) sau 1 / s. f = 1 / T | |
| ω | Frecvență unghiulară, exprimată în radiani / s ω = 2 * π * f sau ω = 2 * π / T. | |
| Φ | Faza inițială dată în radiani sau grade. Această cantitate determină valoarea undelor sinusoidale sau cosinusime att = 0. | |
| Notă: Amplitudinea unei tensiuni sinusoidale este uneori exprimată ca Veff, valoarea efectivă sau RMS. Acest lucru este legat de VM în funcție de relația VM= √2Veff, sau aproximativ Veff = 0.707 VM |
Iată câteva exemple pentru a ilustra termenii de mai sus.
Proprietățile tensiunii 220 V AC în prizele electrice de uz casnic din Europa:
Valoare efectivă: Veff = 220 V
Valoarea maximă: VM= √2 * 220 V = 311 V
Frecvență: f = 50 1 / s = 50 Hz
Frecvența unghiulară: ω = 2 * π * f = 314 1 / s = 314 rad / s
Perioadă: T = 1 / f = 20 ms
Funcția de timp: v (t) = 311 sin (314 t)
Să vedem funcția de timp utilizând comanda Analiză / Analiză AC / Funcție de timp a TINA.
Puteți verifica dacă perioada este T = 20m și că VM = 311 V.
Proprietățile tensiunii 120 V AC în priza electrică de uz casnic din SUA:
Valoare efectivă: Veff = 120 V
Valoarea maximă: VM= √2 120 V = 169.68 V ≈ 170 V
Frecvență: f = 60 1 / s = 60 Hz
Frecvența unghiulară: ω = 2 * π * f = 376.8 rad / s ≈ 377 rad / s
Perioadă: T = 1 / f = 16.7 ms
Funcția de timp: v (t) = 170 sin (377 t)
Rețineți că în acest caz, funcția de timp poate fi dată fie ca v (t) = 311 sin (314 t + Φ) sau v (t) = 311 cos (314 t + Φ), deoarece în cazul tensiunii de ieșire nu cunosc faza inițială.
Faza inițială joacă un rol important atunci când mai multe tensiuni sunt prezente simultan. Un exemplu practic bun este sistemul trifazat, în care sunt prezente trei tensiuni cu aceeași valoare, formă și frecvență de vârf, fiecare dintre ele având o schimbare de fază 120 ° față de celelalte. Într-o rețea 60 Hz, funcțiile de timp sunt:
vA(t) = 170 sin (377 t)
vB(t) = 170 sin (377 t - 120 °)
vC(t) = 170 păcat (377 t + 120 °)
Următoarea figură făcută cu TINA arată circuitul cu aceste funcții de timp ca generatoare de tensiune ale TINA.
Diferența de tensiune vAB= vA(t) - vB(t) este arătată ca rezolvată de comanda Analiză / analiză AC / funcție de timp a TINA.
Rețineți că vârful vAB (t) este de aproximativ 294 V, mai mare decât vârful 170 V din vA(t) sau vB(t), dar și nu doar suma tensiunilor lor de vârf. Acest lucru se datorează diferenței de fază. Vom discuta modul în care se calculează tensiunea rezultată (care este Ö3 * 170 @ 294 în acest caz) mai târziu în acest capitol și, de asemenea, în secțiunea separată Sisteme trifazice capitol.
Valori caracteristice ale semnalelor sinusoidale
Deși un semnal AC variază continuu în timpul perioadei sale, este ușor să se definească câteva valori caracteristice pentru compararea unui val cu altul: Acestea sunt valorile vârfului, mediei și rădăcinii medii pătrate (rms).
Am atins deja valoarea maximă VM , care este pur și simplu valoarea maximă a funcției de timp, amplitudinea undei sinusoidale.
Uneori se folosește valoarea vârf-la-vârf (pp). Pentru tensiunile și curenții sinusoidali, valoarea de vârf-vârf este dublă față de valoarea de vârf.
valoarea medie a valului sinusoidal este media aritmetică a valorilor pentru ciclul semicerc pozitiv. Este de asemenea numit media absolută deoarece este aceeași cu media valorii absolute a formei de undă. În practică, întâlnim această formă de undă rectificare undele sinusoidale cu un circuit numit un redresor cu undă completă.
Se poate arăta că media absolută a unui val sinusoidal este:
VAV= 2 / π VM ≅ 0.637 VM
Rețineți că media unui ciclu întreg este zero.
Valoarea efectivă sau valoarea efectivă a tensiunii sau curentului sinusoidal corespunde valorii DC echivalente care produce aceeași putere de încălzire. De exemplu, o tensiune cu o valoare efectivă a lui 120 V produce aceeași putere de încălzire și iluminare într-un bec, la fel ca 120 V de la o sursă de tensiune DC. Se poate demonstra că rms sau valoarea efectivă a unui val sinusoidal este:
Vrms = VM / √2 ≅ 0.707 VM
Aceste valori pot fi calculate în același mod pentru ambele tensiuni și curenți.
Valoarea efectivă este foarte importantă în practică. Dacă nu se indică altfel, tensiunile de curent alternativ (de ex. 110V sau 220V) sunt date în valori efective. Majoritatea contoarelor de curent alternativ sunt calibrate în rms și indică nivelul randamentului.
Exemplu 1 Găsiți valoarea maximă a tensiunii sinusoidale într-o rețea electrică cu valoarea 220 V rms.
VM = 220 / 0.707 = 311.17 V
Exemplu 2 Găsiți valoarea maximă a tensiunii sinusoidale într-o rețea electrică cu valoarea 110 V rms.
VM = 110 / 0.707 = 155.58 V
Exemplu 3 Găsiți media (absolută) a tensiunii sinusoidale dacă valoarea medie a acesteia este 220 V.
Va = 0.637 * VM = 0.637 * 311.17 = 198.26 V
Exemplu 4 Găsiți media absolută a tensiunii sinusoidale dacă valoarea rms este 110 V.
Vârful tensiunii de la exemplul 2 este 155.58 V și prin urmare:
Va = 0.637 * VM = 0.637 * 155.58 = 99.13 V
Exemplu 5 Găsiți raportul dintre media absolută (Va) și rms (V) pentru forma de undă sinusoidală.
V / Va = 0.707 / 0.637 = 1.11
Rețineți că nu puteți adăuga valori medii într-un circuit AC deoarece conduc la rezultate necorespunzătoare.
fazorilor
Așa cum am văzut deja în secțiunea anterioară, este adesea necesar ca în circuitele de curent alternativ să se adauge tensiuni sinusoidale și curenți de aceeași frecvență. Deși este posibil să se adauge semnalele numerice folosind TINA sau prin utilizarea relațiilor trigonometrice, este mai convenabil să se utilizeze așa-numitele fazorului metodă. Un phasor este un număr complex reprezentând amplitudinea și faza unui semnal sinusoidal. Este important să rețineți că fazorul nu reprezintă frecvența, care trebuie să fie aceeași pentru toți fazorii.
Un phasor poate fi manipulat ca un număr complex sau reprezentat grafic ca o săgeată plană în planul complex. Reprezentarea grafică este denumită diagrama fazor. Folosind diagrame phasor, puteți adăuga sau scădea fazorii într-un plan complex prin regula triunghiulară sau paralelogramă.
Există două forme de numere complexe: dreptunghiular și polar.
Reprezentarea dreptunghiulară este în forma + jb, unde j = Ö-1 este unitatea imaginară.
Reprezentarea polară este în forma Aej j , unde A este valoarea absolută (amplitudinea) și f este unghiul fazorului din axa reală pozitivă, în sens invers acelor de ceasornic.
Noi vom folosi litere pentru cantități complexe.
Acum, să vedem cum să derivăm fazorul corespunzător dintr-o funcție de timp.
Mai întâi, presupuneți că toate tensiunile din circuit sunt exprimate sub forma unor funcții de cosinus. (Toate tensiunile pot fi convertite în acea formă.) Apoi fazorului corespunzătoare tensiunii v (t) = VM cos ( w t+f) este: VM = VMe jf , numită și valoarea maximă complexă.
De exemplu, luați în considerare tensiunea: v (t) = 10 cos ( w t + 30°)
Fazorul corespunzător este: 
V
Putem calcula funcția de timp de la un phasor în același mod. Mai întâi scriem fazorul în formă polare, de exemplu VM = VMe jr și apoi funcția de timp corespunzătoare este
v (t) = VM (cos (wt+r).
De exemplu, ia în considerare fazorul VM = 10 - j20 V
Adu-l în formă polare:
Și, prin urmare, funcția de timp este: v (t) = 22.36 cos (wt - 63.5°) V
Fazorii sunt adesea utilizați pentru a defini valoarea complexă efectivă sau efectivă a tensiunilor și curenților în circuitele de curent alternativ. Dat fiind v (t) = VMcos (wt+r) = 10cos (wt + 30°)
Numeric:
v (t) = 10 * cos (wT-30°)
Valoarea complexă efectivă (rms): V = 0.707 * 10 * e- j30° = 7.07 e- j30° = 6.13 - j 3.535
Invers: dacă valoarea efectivă complexă a unei tensiuni este:
V = - 10 + j 20 = 22.36 e j 116.5°
apoi valoarea maximă complexă: 
și funcția de timp: v (t) = 31.63 cos ( wt + 116.5° ) V
O scurtă justificare a tehnicilor de mai sus este după cum urmează. Având o funcție de timp
VM (cos ( w t+r), să definească funcție de timp complexă ca:
v (t) = VM e jr e jwt = VMe jwt = VM (cos (r) + j păcat(r)) E jwt
Unde VM =VM e j r t = VM (cos (r) + j păcat(r)) este doar fazorul introdus mai sus.
De exemplu, funcția de timp complexă a v (t) = 10 cos (wt + 30°)
v (t) = VMe jwt = 10 e j30 e jwt = 10e jwt (cos (30) + j sin (30)) = e jwt (8.66 +j5)
Prin introducerea funcției complexe de timp, avem o reprezentare atât cu o parte reală, cât și cu o parte imaginară. Putem întotdeauna să recuperăm funcția reală reală a timpului, luând parte reală a rezultatului nostru: v (t) = Re {v(T)}
Cu toate acestea, funcția de timp complexă are marele avantaj că, deoarece toate funcțiile de timp complexe în circuitele de curent alternativ avute în vedere au același ejwt multiplicator, putem factoriza acest lucru și pur și simplu de lucru cu phasors. Mai mult, în practică nu folosim ejwt face parte deloc - doar transformările de la funcțiile de timp la fazori și înapoi.
Pentru a demonstra avantajul utilizării phasorilor, să vedem următorul exemplu.
Exemplu 6 Găsiți suma și diferența dintre tensiuni:
v1 = 100 cos (314 * t) și v2 = 50 cos (314 * t-45°)
Mai întâi scrieți fazorii ambelor tensiuni:
V1M = 100 V2M= 50 e - j 45° = 35.53 - j 35.35
De aici:
Vadăuga = V1M + V2M = 135.35 - j 35.35 = 139.89 e- j 14.63°
Vsub = V1M - V2M = 64.65 + j35.35 = 73.68 e j 28.67°
și apoi funcțiile de timp:
vadăuga(t) = 139.89 * cos (wt - 14.63°)
vsub(t) = 73.68 * cos (wt + 28.67°)
După cum arată acest exemplu simplu, metoda phasors.is este o unealtă extrem de puternică pentru rezolvarea problemelor AC.
Să rezolvăm problema utilizând instrumentele din interpretul TINA.
{calculul v1 + v2}
v1: = 100
v2: = 50 * exp (pi / 4 * j)
v2 = [35.3553-35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [135.3553-35.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (arc (v1add)) = [- 14.6388]
{calculul v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [64.6447 + 35.3553 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (arc (v1sub)) = [28.6751]
#calcul v1+v2
import matematică ca m
import cmath ca c
v1=100
v2=50*c.exp(complex(0,-c.pi/4))
print(„v2=”,v2)
vadd=v1+v2
print(„vadd=”,vadd)
print(„abs(vadd)=”,abs(vadd))
print(„grade(arc(vadd))=”,m.grade(c.phase(vadd)))
#calcul v1-v2
vsub=v1-v2
print(„vsub=”,vsub)
print(„abs(vsub)=”,abs(vsub))
print(„grade(arc(vsub))=”,m.grade(c.phase(vsub)))
Rezultatele amplitudinii și fazei confirmă calculele mâinii.
Acum puteți verifica rezultatul utilizând analiza AC a TINA.
Înainte de a efectua analiza, asigurați-vă că Funcția de bază pentru AC am setat la cosinus în Opțiunile editorului casetă de dialog din meniul Vizualizare / opțiune. Vom explica rolul acestui parametru la Exemplu 8.
Circuitele și rezultatele:
Din nou, rezultatul este același. Iată graficele funcție de timp:
Exemplu 7 Găsiți suma și diferența dintre tensiuni:
v1 = 100 sin (314 * t) și v2 = 50 cos (314 * t-45°)
Acest exemplu ridică o nouă întrebare. Până în prezent am cerut ca toate funcțiile de timp să fie date ca funcții cosinus. Ce trebuie sa facem cu o functie de timp data ca sine? Soluția este de a transforma funcția sinusoidală într-o funcție cosinusă. Folosind relația trigonometrică sin (x) = cos (x-p/ 2) = cos (x-90°), exemplul nostru poate fi reformulat după cum urmează:
v1 = 100 cos (314t - 90°) și v2 = 50 cos (314 * t - 45°)
Acum, fazorii tensiunilor sunt:
V1M = 100 e - j 90° = -100 j V2M= 50 e - j 45° = 35.53 - j 35.35
De aici:
V adăuga = V1M + V2M = 35.53 - j 135.35
V sub = V1M - V2M = - 35.53 - j 64.47
și apoi funcțiile de timp:
vadăuga(t) = 139.8966 cos (wT-75.36°)
vsub(t) = 73.68 cos (wT-118.68°)
Să rezolvăm problema utilizând instrumentele din interpretul TINA.
{calculul v1 + v2}
v1: = - 100 * j
v2: = 50 * exp (pi / 4 * j)
v2 = [35.3553 - 35.3553 * j]
v1add: = v1 + v2
v1add = [35.3553-135.3553 * j]
abs (v1add) = [139.8966]
radtodeg (arc (v1add)) = [- 75.3612]
{calculul v1-v2}
v1sub: = v1-v2
v1sub = [- 35.3553 - 64.6447 * j]
abs (v1sub) = [73.6813]
radtodeg (arc (v1sub)) = [- 118.6751]
#calcul v1+v2
import matematică ca m
import cmath ca c
v1=100
v2=50*c.exp(complex(0,-c.pi/4))
print(„v2=”,v2)
vadd=v1+v2
print(„vadd=”,vadd)
print(„abs(vadd)=”,abs(vadd))
print(„grade(arc(vadd))=”,m.grade(c.phase(vadd)))
#calcul v1-v2
vsub=v1-v2
print(„vsub=”,vsub)
print(„abs(vsub)=”,abs(vsub))
print(„grade(arc(vsub))=”,m.grade(c.phase(vsub)))
Să verificăm rezultatul cu Analiza AC a TINA
Exemplu 8
Găsiți suma și diferența dintre tensiuni:v1 = Sinus 100 (314 * t) și v2 = 50 păcat (314 * t-45°)
Acest exemplu ridică încă o problemă. Ce se întâmplă dacă toate tensiunile sunt date ca unde sinusoidale și de asemenea dorim să vedem rezultatul ca un val sinusoidal ?. Am putea desigur să convertim ambele tensiuni în funcții cosinus, să calculăm răspunsul și să convertim rezultatul înapoi într-o funcție sinusoidală - dar acest lucru nu este necesar. Putem crea fazori din undele sinusoidale în același mod în care am făcut-o din undele cosinusului și apoi pur și simplu folosim amplitudinea și fazele lor ca amplitudine și fază a undelor sinusoidale în rezultat.
Acest lucru va da în mod evident același rezultat ca transformarea undelor sinusoidale în undă cosinus. Așa cum am putut vedea în exemplul anterior, aceasta este echivalentă cu multiplicarea prin -j și apoi folosind cos (x) = sin (x-90°) pentru ao transforma înapoi la un val sinusoidal. Aceasta este echivalentă cu înmulțirea cu j. Cu alte cuvinte, deoarece -j × j = 1, am putea folosi fazorii derivați direct din amplitudinile și fazele undelor sinusoidale pentru a reprezenta funcția și apoi a reveni direct la ele. De asemenea, raționamentul în același mod cu privire la funcțiile complexe de timp, am putea lua în considerare valurile sinusoidale ca părți imaginare ale funcțiilor complexe ale timpului și le-am completat cu funcția cosinus pentru a crea funcția complexă de timp.
Să vedem soluția la acest exemplu folosind funcțiile sinus ca bază a fazorilor (transformând sin ( w t) la unitatea fazor reală (1)).
V1M = 100 V2M= 50 e - j 45° = 35.53 - j 35.35
De aici:
V adăuga = V1M + V2M = 135.53 - j 35.35
V sub = V1M - V2M = 64.47+ j 35.35
Rețineți că fazorii sunt exact aceiași ca în exemplul 6, dar nu și funcțiile de timp:
v3(t) = 139.9sin (wt - 14.64°)
v4(t) = 73.68sin (wt + 28.68°)
După cum puteți vedea, este foarte ușor să obțineți rezultatul folosind funcțiile sinusoidale, mai ales când datele noastre inițiale sunt unde sinusoidale. Multe manuale preferă să utilizeze unda sinusoidală ca funcție de bază a fazorilor. În practică, puteți utiliza oricare metodă, dar nu le confundați.
Când creați phasorii, este foarte important ca toate funcțiile de timp să fie convertite mai întâi fie în sine, fie în cosinus. Dacă ai pornit de la funcții sinusoidale, soluțiile tale ar trebui să fie reprezentate cu funcții sinusoidale atunci când te întorci de la fazori la funcțiile de timp. Același lucru este valabil dacă începeți cu funcțiile cosinusului.
Să rezolvăm aceeași problemă utilizând modul interactiv TINA. Deoarece vrem să folosim funcții sinusoidale ca bază pentru crearea phasorilor, asigurați-vă că Funcția de bază pentru AC este setat la sinus în Opțiunile editorului casetă de dialog din meniul Vizualizare / opțiune.
Circuitele pentru realizarea sumei și diferenței dintre forme de undă și rezultatul:
și funcțiile de timp:
English
English
German
French
Spanish
Portuguese
Russian
Chinese (Simplified)
Chinese (Traditional)
Japanese
Korean
Hungarian