СЛОЖНЫЕ ЧИСЛА

Нажмите или коснитесь приведенных ниже примеров схем, чтобы вызвать TINACloud, и выберите интерактивный режим DC, чтобы проанализировать их в Интернете.
Получите недорогой доступ к TINACloud для редактирования примеров или создания собственных схем

В этой и следующих главах мы представим очень важную тему: переменный ток или переменный ток. Название переменного тока не очень точное и обычно охватывает цепи с синусоидальными напряжениями и токами; однако переменный ток также может означать любую произвольную форму волны тока. Важность переменного напряжения заключается в том, что этот вид напряжения используется в качестве основного источника электроэнергии в домах и промышленности по всему миру. Это также основа для многих электронных, телекоммуникационных и промышленных приложений.

Для обработки синусоидальных сигналов и связанных с ними цепей мы будем использовать простой и элегантный метод, называемый методом векторов. Векторы основаны на свойствах комплексных чисел, которые идеально подходят для представления синусоидальных величин. В этой главе мы обобщим основные факты о комплексных числах и их действиях. Мы также покажем, как интерпретатор TINA позволяет легко выполнять вычисления с комплексными числами.

Комплексные числа состоят из двух частей: реальная часть (x), который является действительным числом, и так называемый мнимая часть (у), которое является действительным числом, умноженным на , мнимая единица, Комплексное число zСледовательно, можно описать как:

z = х + jy

в котором .

Примеры комплексных чисел:

z ₁ = 1 + j

z ₂ = 4-2 j

z ₃ = 3- 5j

Комплексные числа были первоначально введены в семнадцатом веке, чтобы представлять корни многочленов, которые не могли быть представлены только действительными числами. Например, корни уравнения х² + 2x + 2 = 0 можно описать только как и или используя обозначение , z₁= 1 + j и z₂= 1- j. Используя новые обозначения для исследования свойств выражений, математики смогли доказать теоремы и решить задачи, которые до этого были трудными, если не невозможными, решать. Это привело к разработке сложной алгебры и сложных функций, которые сейчас широко используются в математике и технике.

Геометрическое представление комплексных чисел

Прямоугольная форма

Поскольку комплексное число всегда можно разделить на его действительные и сложные части, мы можем представить комплексное число в виде точки на двумерной плоскости. Действительная часть комплексного числа - это проекция точки на действительную ось, а мнимая часть числа - это проекция на мнимую ось. Когда комплексное число представляется как сумма действительной и мнимой частей, мы говорим, что оно находится в прямоугольный or алгебраическая форма.

На следующем рисунке показано комплексное число z = 2 + 4j

Полярная и экспоненциальная форма

Как видно из рисунка выше, точка A также может быть представлена ​​длиной стрелки, r (также называемый абсолютным значением, величиной или амплитудой) и его углом (или фазой), φ относительно против часовой стрелки относительно положительной горизонтальной оси. Это полярный форма комплексного числа. Обозначается как r ∠ φ.

Следующий шаг очень важен. Комплексное число в полярной форме также может быть записано в экспоненциальный форма:

Это простое выражение отличается тем, что оно имеет мнимое число в показателе степени вместо обычного действительного числа. Эта сложная экспонента ведет себя совершенно иначе, чем экспоненциальная функция с реальным аргументом. В то время как е^x быстро растет по величине при увеличении x> 0 и убывает при x <0, функция имеет одинаковую величину (z = 1) для любого φ. Кроме того, его комплексные значения лежат на единичном круге.

Формула Эйлера обеспечивает объединяющую связь между прямоугольной, полярной и экспоненциальной формами комплексных чисел:

z = х + jу = ре ^jφ = r (cos φ + j без φ )

в котором

и φ = загар^-1 (У / х).

Для нашего примера выше, z = 2 + 4j:

φ = загар^-1 (4 / 2) = 63.4 °

следовательно .

Или наоборот:

Вы должны быть опытными в использовании обеих форм, в зависимости от приложения. Например, сложение или вычитание, очевидно, легче выполнять, когда числа имеют прямоугольную форму, тогда как умножение и деление легче выполнять, когда числа имеют экспоненциальную форму.

Операции с комплексными числами

Операции, которые можно выполнять с комплексными числами, аналогичны операциям с действительными числами. Правила и некоторые новые определения приведены ниже.

Операции с J

Операции с j просто следуйте из определения мнимой единицы,

Чтобы работать быстро и аккуратно, вы должны запомнить следующие правила:

j ² = -1

j ³ =-j

j ⁴ =1

1/j знак равноj

Комплексное сопряжение

Комплексное сопряжение комплексного числа легко выводится и является весьма важным. Чтобы получить комплексное сопряжение комплексного числа в прямоугольной форме, просто измените знак мнимой части. Чтобы сделать это для числа в экспоненциальной форме, измените знак угла комплексного числа, сохраняя его абсолютное значение неизменным.

Комплексное сопряжение комплексного числа z часто обозначается z^*.

Учитывая комплексное число z= А + jб, его комплексное сопряжение z^*= a- jb.

If z дан в экспоненциальной форме, , его комплексное сопряжение

Используя приведенные выше определения, легко увидеть, что комплексное число, умноженное на его комплексное сопряжение, дает квадрат абсолютного значения комплексного числа:

ZZ^* = г² = a^{2 +} b²

Кроме того, добавляя или вычитая любое комплексное число и его сопряженное, мы получаем следующие отношения:

z + z ^* = 2a

следовательно

Re (z) = a = ( z + z ^* ) / 2

Так же:

z – z ^* =j2b

следовательно

Я(z) = b = ( z –z ^* ) / 2j

Численные примеры:

В прямоугольной форме:

z = 3 + j4

z^* = 3- j4

ZZ ^* = 9 + 16 = 25

В полярной форме

z = 5 ∠ 53.13 °

z ^* = 5 ∠- 53.13 °

В показательной форме:

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание комплексных чисел является простым - нам нужно только добавить действительные и мнимые части отдельно. Например, если

z₁ = 3 - 4j и z₂ = 2 + 3j

тогда

z₁ + z₂ = 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z₁ – z₂ = 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j -3j = 1 - j7

Очевидно, мы должны использовать прямоугольную форму для этих операций. Если числа даны в экспоненциальной или полярной форме, мы должны сначала преобразовать их в прямоугольную форму, используя формулу Эйлера, как указано ранее.

Умножение

Есть два метода умножения комплексных чисел:

Умножение комплексных чисел, приведенных в прямоугольной форме

Для выполнения операции просто умножьте действительные и мнимые части одного числа на действительные и мнимые части другого числа и используйте тождество j² = -1.

z₁z₂ = (а₁ + jb₁) (а₂ + jb₂) = а₁ a₂ + jb₁a₂+ jb₂a₁ - б₁b₂ = a₁ a₂- б₁b₂ + j(b₁a₂+ jb₂a₁)

Когда комплексные числа даны численно, нет необходимости использовать формулу выше. Например, пусть

z₁ = 3 - 4j и z₂ = 2 + 3j

С прямым умножением компонентов:

z₁z₂ = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

или используя формулу: z₁z₂ = a₁ a₂- б₁b₂ + j(b₁a₂+ b₂a₁)

z₁z₂ = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Мы думаем, что вы, скорее всего, ошибетесь, если будете использовать формулу, чем если вы умножите компоненты напрямую.

Умножение комплексных чисел, приведенных в полярной или экспоненциальной форме

Чтобы выполнить эту операцию, умножьте абсолютные значения и сложите углы двух комплексных чисел. Позволять:

Тогда с помощью правила умножения показательных функций:

или в полярной форме

z₁ z₂ = г₁ r₂ ∠ φ₁ + φ₂

Примечание: мы уже использовали это правило при расчете ZZ ^*над. Поскольку угол сопряжения имеет противоположный знак исходного угла, комплексное число, умноженное на его собственное сопряжение, всегда является действительным числом; а именно, квадрат его абсолютного значения: ZZ ^* = г²

Например, пусть:

z₁ = 5 ∠ 30 ° и z₂ = 4 ∠ -60 °

тогда

z₁z₂ = 20 ∠ -30 °

или в показательной форме

Умножение, очевидно, проще, когда числа находятся в полярной или экспоненциальной форме.

Однако, если комплексные числа даны в прямоугольной форме, вам следует рассмотреть возможность выполнения умножения напрямую, как показано выше, поскольку существуют дополнительные шаги, если вы преобразуете числа в полярную форму перед их умножением. Еще один фактор, который необходимо учитывать, - хотите ли вы, чтобы ответы были в прямоугольной форме или в полярной / экспоненциальной форме. Например, если два числа в прямоугольной форме, но вы хотите, чтобы их произведение было в полярной форме, имеет смысл немедленно преобразовать их, а затем умножить.

Разделение

Есть два метода деления комплексных чисел:

Деление комплексных чисел дано в прямоугольной форме

Для выполнения операции умножьте числитель и знаменатель на сопряжение знаменателя. Знаменатель становится действительным числом, и деление сводится к умножению двух комплексных чисел и делению на действительное число, квадрат абсолютного значения знаменателя.

Например, пусть:

z₁ = 3 - 4j и z₂ = 2 + 3j

Давайте проверим этот результат с интерпретатором TINA:

Деление комплексных чисел, приведенных в полярной или экспоненциальной форме

Чтобы выполнить операцию, разделите абсолютные значения (величины) и вычтите угол знаменателя из угла числителя. Позволять:

затем с помощью правила деления показательных функций

или в полярной форме

z ₁ / z₂ = г₁ / р₂ ∠ φ ₁– φ ₂

Например, пусть:

z ₁ = 5 ∠ 30 ° и z ₂ = 2 ∠ -60 °

тогда

z ₁ / z₂ = 2.5 ∠ 90 °

или в экспоненциальной и прямоугольной форме

Давайте проверим этот результат с интерпретатором TINA:

Деление, очевидно, проще, когда числа находятся в полярной или экспоненциальной форме.

Однако, если комплексные числа даны в прямоугольной форме, вам следует рассмотреть возможность выполнения деления напрямую, используя метод комплексного сопряжения, как показано выше, поскольку существуют дополнительные шаги, если вы преобразуете числа в полярную форму перед их разделением. Еще один фактор, который необходимо учитывать, - хотите ли вы, чтобы ответы были в прямоугольной форме или в полярной / экспоненциальной форме. Например, если два числа находятся в прямоугольной форме, но вы хотите, чтобы их частное было в полярной форме, имеет смысл немедленно преобразовать их, а затем разделить.

Теперь давайте проиллюстрируем использование комплексных чисел более численными задачами. Как обычно, мы будем проверять наши решения с помощью интерпретатора TINA. Интерпретатор работает с радианами, но у него есть стандартные функции для преобразования радиан в градусы или наоборот.

Пример 1 Найдите полярное представление:

z = 12 - j 48

или 49.48 ∠ - 75.96 °

Пример 2 Найдите прямоугольное представление:

z = 25 e ^{j 125 °}

Пример 3 Найти полярное представление следующих комплексных чисел:

z ₁ = 12 + j 48 z₂ = 12 - j48 z₃= -12 + j 48 z₄= -12 - j 48

Абсолютные значения всех четырех чисел одинаковы, поскольку абсолютное значение не зависит от знаков. Только углы разные.

Функция arc () TINA определяет угол любого комплексного числа, автоматически помещая его правильно в один из четырех квадрантов.

Будьте осторожны, используя загар^-1 функция для нахождения угла, так как она ограничена возвращением углов только в первом и четвертом квадрантах (–90 °φ<90 °).

С z₁ находится в первом квадранте системы координат, расчет:

α ₁ = загар^-1(48 / 12) = загар^-1(4) = 75.96 °

С z₄ находится в третьем квадранте системы координат, tan^-1не возвращает угол правильно. Расчет угла составляет:

α ₄ = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° или -360 ° + 255.96 ° = -104.04 °, что совпадает с расчетом TINA.

z₂ находится в четвертом квадранте системы координат. Расчет угла:

α ₂ = загар^-1(-48 / 12) = загар^-1(-4) = -75.96 °

z_3, однако, находится в 2-ом квадранте системы координат, поэтому^-1 неправильно возвращает угол. Расчет угла составляет:

α ₃ = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Пример 4 У нас есть два комплексных числа: z₁= 4 - j 6 и z₂ = 5 e^{j45 °} .

Найдите z₃ = z₁ + z₂; z₄ = z₁ – z₂; z₅ = z₁ * z₂; z₆ = z₁ / z₂

Сначала мы решаем проблему с помощью интерпретатора TINA.

Обратите внимание, как TINA легко обрабатывает два комплексных числа, приведенные в разных формах.

Решение сложнее без переводчика. Чтобы мы могли сравнить различные методы умножения и деления, мы сначала определим полярную форму z₁ и прямоугольная форма z₂ .

Далее мы находим четыре решения, использующих сначала самые простые формы: прямоугольные для сложения и вычитания и экспоненциальные для умножения и деления:

z ₃ = z₁ + z₂ = 4 - j 6 + 3.535 + j 3.535 = 7.535 - j2.465

z ₄ = z₁ – z₂ = 4 - j 6 - 3.535 - j 3.535 = 0.465 - j9.535

z ₅ = z₁ * z₂ = 7.21 * 5 * e^{j(-56.31 ° + 45 °)} = 36.05 e ^{–j11.31 °} = 36.03 * (cos (-11.31 °) +j* грех (-11.31 °))

z ₅ = 35.33 - j 7.07

z ₆ = z₁/z₂= (7.21 / 5) * e ^{j (-56.31 ° -45 °)} = 1.442 e ^{– j 101.31 °} = 1.442 (cos (-101.31 °) +j* грех (-101.31 °))

z ₆ = -0.2828 - j 1.414

которые согласны с результатами, полученными от переводчика TINA.

Умножение осуществляется в прямоугольной форме:

z ₅ =z₁*z₂ = (4-j6) * 3.535 * (1 +j) = 7.07 * (2-j3) * (1 +j) = 7.07 * (2-j3+j2 + 3) = 7.07 * (5-j) = 35.35-j7.07

Окончательно деление осуществляется в прямоугольной форме:

которые согласны с предыдущими результатами.