СЛОЖНЫЕ ЧИСЛА

Нажмите или коснитесь приведенных ниже примеров схем, чтобы вызвать TINACloud, и выберите интерактивный режим DC, чтобы проанализировать их в Интернете.
Получите недорогой доступ к TINACloud для редактирования примеров или создания собственных схем

В этой и следующих главах мы представим очень важную тему: переменный ток или переменный ток. Название переменного тока не очень точное и обычно охватывает цепи с синусоидальными напряжениями и токами; однако переменный ток также может означать любую произвольную форму волны тока. Важность переменного напряжения заключается в том, что этот вид напряжения используется в качестве основного источника электроэнергии в домах и промышленности по всему миру. Это также основа для многих электронных, телекоммуникационных и промышленных приложений.

Для обработки синусоидальных сигналов и связанных с ними цепей мы будем использовать простой и элегантный метод, называемый методом векторов. Векторы основаны на свойствах комплексных чисел, которые идеально подходят для представления синусоидальных величин. В этой главе мы обобщим основные факты о комплексных числах и их действиях. Мы также покажем, как интерпретатор TINA позволяет легко выполнять вычисления с комплексными числами.

Комплексные числа состоят из двух частей: реальная часть (x), который является действительным числом, и так называемый мнимая часть (у), которое является действительным числом, умноженным на , мнимая единица, Комплексное число zСледовательно, можно описать как:

z = х + jy

в котором .

Примеры комплексных чисел:

z 1 = 1 + j

z 2 = 4-2 j

z 3 = 3- 5j

Комплексные числа были первоначально введены в семнадцатом веке, чтобы представлять корни многочленов, которые не могли быть представлены только действительными числами. Например, корни уравнения х2 + 2x + 2 = 0 можно описать только как высокопоставленных или используя обозначение , z1= 1 + j высокопоставленных z2= 1- j. Используя новые обозначения для исследования свойств выражений, математики смогли доказать теоремы и решить задачи, которые до этого были трудными, если не невозможными, решать. Это привело к разработке сложной алгебры и сложных функций, которые сейчас широко используются в математике и технике.

Геометрическое представление комплексных чисел

Прямоугольная форма

Поскольку комплексное число всегда можно разделить на его действительные и сложные части, мы можем представить комплексное число в виде точки на двумерной плоскости. Действительная часть комплексного числа - это проекция точки на действительную ось, а мнимая часть числа - это проекция на мнимую ось. Когда комплексное число представляется как сумма действительной и мнимой частей, мы говорим, что оно находится в прямоугольный or алгебраическая форма.


На следующем рисунке показано комплексное число z = 2 + 4j

Полярная и экспоненциальная форма

Как видно из рисунка выше, точка A также может быть представлена ​​длиной стрелки, r (также называемый абсолютным значением, величиной или амплитудой) и его углом (или фазой), φ относительно против часовой стрелки относительно положительной горизонтальной оси. Это полярный форма комплексного числа. Обозначается как r ∠ φ.

Следующий шаг очень важен. Комплексное число в полярной форме также может быть записано в экспоненциальный форма:

Это простое выражение отличается тем, что оно имеет мнимое число в показателе степени вместо обычного действительного числа. Эта сложная экспонента ведет себя совершенно иначе, чем экспоненциальная функция с реальным аргументом. В то время как еx быстро растет по величине при увеличении x> 0 и убывает при x <0, функция имеет одинаковую величину (z = 1) для любого φ. Кроме того, его комплексные значения лежат на единичном круге.

Формула Эйлера обеспечивает объединяющую связь между прямоугольной, полярной и экспоненциальной формами комплексных чисел:

z = х + jу = ре jφ = r (cos φ + j без φ )

в котором

высокопоставленных φ = загар-1 (У / х).

Для нашего примера выше, z = 2 + 4j:

φ = загар-1 (4 / 2) = 63.4 °

следовательно .

Или наоборот:

Вы должны быть опытными в использовании обеих форм, в зависимости от приложения. Например, сложение или вычитание, очевидно, легче выполнять, когда числа имеют прямоугольную форму, тогда как умножение и деление легче выполнять, когда числа имеют экспоненциальную форму.

Операции с комплексными числами

Операции, которые можно выполнять с комплексными числами, аналогичны операциям с действительными числами. Правила и некоторые новые определения приведены ниже.

Операции с J

Операции с j просто следуйте из определения мнимой единицы,

Чтобы работать быстро и аккуратно, вы должны запомнить следующие правила:

j 2 = -1

j 3 =-j

j 4 =1

1/j знак равноj

Доказательство:

j2 = -1 просто следует из определения , поскольку

Для 1 /jумножаем 1 /jby j / j = 1 и получить j/ (JJ) = j / (- 1) = -j.

Комплексное сопряжение

Комплексное сопряжение комплексного числа легко выводится и является весьма важным. Чтобы получить комплексное сопряжение комплексного числа в прямоугольной форме, просто измените знак мнимой части. Чтобы сделать это для числа в экспоненциальной форме, измените знак угла комплексного числа, сохраняя его абсолютное значение неизменным.

Комплексное сопряжение комплексного числа z часто обозначается z*.

Учитывая комплексное число z= А + jб, его комплексное сопряжение z*= a- jb.

If z дан в экспоненциальной форме, , его комплексное сопряжение

Используя приведенные выше определения, легко увидеть, что комплексное число, умноженное на его комплексное сопряжение, дает квадрат абсолютного значения комплексного числа:

ZZ* = г2 = a2 + b2

Кроме того, добавляя или вычитая любое комплексное число и его сопряженное, мы получаем следующие отношения:

z + z * = 2a

следовательно

Re (z) = a = ( z + z * ) / 2

Так же:

z z * =j2b

следовательно

Я(z) = b = ( z z * ) / 2j

Доказательство:

или умножая действительные и мнимые части и используя j2= -1

ZZ* = (А + jб) (а - jб) = а2+a jб - а jб - jbjб = а2j2 = a2 + b2

z + z* = А + jб + а - jb = 2a

z - z*= А + jб - а + jб =j2b

Численные примеры:

В прямоугольной форме:

z = 3 + j4

z* = 3- j4

ZZ * = 9 + 16 = 25

В полярной форме

z = 5 ∠ 53.13 °

z * = 5 ∠- 53.13 °

В показательной форме:

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание комплексных чисел является простым - нам нужно только добавить действительные и мнимые части отдельно. Например, если

z1 = 3 - 4j высокопоставленных z2 = 2 + 3j

становятся

z1 + z2 = 3 - 4j + 2 + 3j = 3 + 2 - 4j + 3j = 5 - j

z1 z2 = 3 - 4j - 2 - 3j = 3 - 2 - 4j -3j = 1 - j7

Очевидно, мы должны использовать прямоугольную форму для этих операций. Если числа даны в экспоненциальной или полярной форме, мы должны сначала преобразовать их в прямоугольную форму, используя формулу Эйлера, как указано ранее.

Умножение

Есть два метода умножения комплексных чисел:

Умножение комплексных чисел, приведенных в прямоугольной форме

Для выполнения операции просто умножьте действительные и мнимые части одного числа на действительные и мнимые части другого числа и используйте тождество j2 = -1.

z1z2 = (а1 + jb1) (а2 + jb2) = а1 a2 + jb1a2+ jb2a1 - б1b2 = a1 a2- б1b2 + j(b1a2+ jb2a1)

Когда комплексные числа даны численно, нет необходимости использовать формулу выше. Например, пусть

z1 = 3 - 4j высокопоставленных z2 = 2 + 3j

С прямым умножением компонентов:

z1z2 = (3 - 4j) (2 + 3j) = 6- 8j +9j + 12 = 18 + j

или используя формулу: z1z2 = a1 a2- б1b2 + j(b1a2+ b2a1)

z1z2 = 6 + 12 + j (-8 + 9) = 18 + j

Мы думаем, что вы, скорее всего, ошибетесь, если будете использовать формулу, чем если вы умножите компоненты напрямую.

{Решение переводчика TINA}
z1: = 3-4 * J
z2: = 2 + 3 * J
z1 * z2 = [18 + 1 * J]
#Решение от Python:
импортировать математику как m
импортировать cmath как c

z1=комплекс('3-4j')
z2=комплекс('2+3j')
print("z1*z2="",z1*z2)

Умножение комплексных чисел, приведенных в полярной или экспоненциальной форме

Чтобы выполнить эту операцию, умножьте абсолютные значения и сложите углы двух комплексных чисел. Позволять:

Тогда с помощью правила умножения показательных функций:

или в полярной форме

z1 z2 = г1 r2 ∠ φ1 + φ2

Примечание: мы уже использовали это правило при расчете ZZ *над. Поскольку угол сопряжения имеет противоположный знак исходного угла, комплексное число, умноженное на его собственное сопряжение, всегда является действительным числом; а именно, квадрат его абсолютного значения: ZZ * = г2

Например, пусть:

z1 = 5 ∠ 30 ° и z2 = 4 ∠ -60 °

становятся

z1z2 = 20 ∠ -30 °

или в показательной форме

Умножение, очевидно, проще, когда числа находятся в полярной или экспоненциальной форме.

Однако, если комплексные числа даны в прямоугольной форме, вам следует рассмотреть возможность выполнения умножения напрямую, как показано выше, поскольку существуют дополнительные шаги, если вы преобразуете числа в полярную форму перед их умножением. Еще один фактор, который необходимо учитывать, - хотите ли вы, чтобы ответы были в прямоугольной форме или в полярной / экспоненциальной форме. Например, если два числа в прямоугольной форме, но вы хотите, чтобы их произведение было в полярной форме, имеет смысл немедленно преобразовать их, а затем умножить.

Разделение

Есть два метода деления комплексных чисел:

Деление комплексных чисел дано в прямоугольной форме

Для выполнения операции умножьте числитель и знаменатель на сопряжение знаменателя. Знаменатель становится действительным числом, и деление сводится к умножению двух комплексных чисел и делению на действительное число, квадрат абсолютного значения знаменателя.


Например, пусть:

z1 = 3 - 4j высокопоставленных z2 = 2 + 3j

Давайте проверим этот результат с интерпретатором TINA:

{Решение переводчика TINA}
z1: = 3-4 * J
z2: = 2 + 3 * J
z1 / z2 = [- 461.5385m-1.3077 * J]
#Решение от Python:
импортировать математику как m
импортировать cmath как c

z1=комплекс('3-4j')
z2=комплекс('2+3j')
print("z1/z2="",z1/z2)

Деление комплексных чисел, приведенных в полярной или экспоненциальной форме

Чтобы выполнить операцию, разделите абсолютные значения (величины) и вычтите угол знаменателя из угла числителя. Позволять:

затем с помощью правила деления показательных функций

или в полярной форме

z 1 / z2 = г1 / р2 φ 1φ 2

Например, пусть:

z 1 = 5 ∠ 30 ° и z 2 = 2 ∠ -60 °

становятся

z 1 / z2 = 2.5 ∠ 90 °

или в экспоненциальной и прямоугольной форме

Давайте проверим этот результат с интерпретатором TINA:

{Решение переводчика TINA}
z1: = 5 * ехр (J * degtorad (30))
z2: = 2 * ехр (J * degtorad (-60))
z1 / z2 = [0 + 2.5 * J]
#Решение от Python:
импортировать математику как m
импортировать cmath как c

z1=5*(c.exp(комплекс(0,м.радианы(30))))
z2=2*(c.exp(комплекс(0,м.радианы(-60))))
print("z1/z2="",z1/z2)

Деление, очевидно, проще, когда числа находятся в полярной или экспоненциальной форме.

Однако, если комплексные числа даны в прямоугольной форме, вам следует рассмотреть возможность выполнения деления напрямую, используя метод комплексного сопряжения, как показано выше, поскольку существуют дополнительные шаги, если вы преобразуете числа в полярную форму перед их разделением. Еще один фактор, который необходимо учитывать, - хотите ли вы, чтобы ответы были в прямоугольной форме или в полярной / экспоненциальной форме. Например, если два числа находятся в прямоугольной форме, но вы хотите, чтобы их частное было в полярной форме, имеет смысл немедленно преобразовать их, а затем разделить.

Теперь давайте проиллюстрируем использование комплексных чисел более численными задачами. Как обычно, мы будем проверять наши решения с помощью интерпретатора TINA. Интерпретатор работает с радианами, но у него есть стандартные функции для преобразования радиан в градусы или наоборот.

Пример 1 Найдите полярное представление:

z = 12 - j 48

или 49.48 ∠ - 75.96 °

{Решение переводчика TINA}
г: = 12-J * 48;
абс (г) = [49.4773]
дуга (г) = [- 1.3258]
radtodeg (дуга (г)) = [- 75.9638]
#Решение от Python:
импортировать математику как m
импортировать cmath как c

z=12-комплекс(48j)
print("abs(z)=",abs(z))
print("arc(z)=",c.phase(z))
print("градусы(arc(z))=",m.grades(c.phase(z)))

Пример 2 Найдите прямоугольное представление:

z = 25 e j 125 °

{Решение переводчика TINA}
г: = 25 * ехр (J * (degtorad (125)));
г = [- 14.3394 + 20.4788 * J]
Re (г) = [- 14.3394]
Im (г) = [20.4788]
#Решение от Python:
импортировать математику как m
импортировать cmath как c

z=25*c.exp(комплекс(0,м.радианы(125)))
печать("z=",z)
print("real(z)="",z.real)
print("imag(z)=",z.imag)

Пример 3 Найти полярное представление следующих комплексных чисел:

z 1 = 12 + j 48 z2 = 12 - j48 z3= -12 + j 48 z4= -12 - j 48

Абсолютные значения всех четырех чисел одинаковы, поскольку абсолютное значение не зависит от знаков. Только углы разные.

{Решение переводчика TINA}
z1: = 12 + J * 48;
абс (z1) = [49.4773]
дуги (z1) = [1.3258]
radtodeg (дуга (z1)) = [75.9638]

z2: = 12-J * 48;
абс (z2) = [49.4773]
дуги (z2) = [- 1.3258]
radtodeg (дуга (z2)) = [- 75.9638]

z3: = - 12 + J * 48;
абс (z3) = [49.4773]
дуги (z3) = [1.8158]
radtodeg (дуга (z3)) = [104.0362]

z4: = - 12-J * 48:
абс (z4) = [49.4773]
дуги (z4) = [- 1.8158]
radtodeg (дуга (z4)) = [- 104.0362]
#Решение от Python:
импортировать математику как m
импортировать cmath как c

z1=комплекс('12+48j')
print("abs(z1)=",abs(z1))
print("arc(z1)=",c.phase(z1))
print("градусы(дуга(z1))=",m.grades(c.phase(z1)))

z2=комплекс('12-48j')
print("abs(z2)=",abs(z2))
print("arc(z2)=",c.phase(z2))
print("градусы(дуга(z2))=",m.grades(c.phase(z2)))

z3=комплекс('-12+48j')
print("abs(z3)=",abs(z3))
print("arc(z3)=",c.phase(z3))
print("градусы(дуга(z3))=",m.grades(c.phase(z3)))

z4=комплекс('-12-48j')
print("abs(z4)=",abs(z4))
print("arc(z4)=",c.phase(z4))
print("градусы(дуга(z4))=",m.grades(c.phase(z4)))

Функция arc () TINA определяет угол любого комплексного числа, автоматически помещая его правильно в один из четырех квадрантов.

Будьте осторожны, используя загар-1 функция для нахождения угла, так как она ограничена возвращением углов только в первом и четвертом квадрантах (–90 °φ<90 °).

С z1 находится в первом квадранте системы координат, расчет:

α 1 = загар-1(48 / 12) = загар-1(4) = 75.96 °

С z4 находится в третьем квадранте системы координат, tan-1не возвращает угол правильно. Расчет угла составляет:

α 4 = 180 ° + 75.96 ° = 255.96 ° или -360 ° + 255.96 ° = -104.04 °, что совпадает с расчетом TINA.

z2 находится в четвертом квадранте системы координат. Расчет угла:

α 2 = загар-1(-48 / 12) = загар-1(-4) = -75.96 °

z3, однако, находится в 2-ом квадранте системы координат, поэтому-1 неправильно возвращает угол. Расчет угла составляет:

α 3 = 180 ° -75.96 ° = 104.04 °.

Пример 4 У нас есть два комплексных числа: z1= 4 - j 6 и z2 = 5 ej45 ° .

Найдите z3 = z1 + z2; z4 = z1z2; z5 = z1 * z2; z6 = z1 / z2

Сначала мы решаем проблему с помощью интерпретатора TINA.

{Решение переводчика TINA}
z1: = 4-J * 6;
z2: = 5 * ехр (J * degtorad (45));
z3: = z1 + z2;
z3 = [7.5355-2.4645 * J]
z4: = z1-z2;
z4 = [464.4661m-9.5355 * J]
z5: = z1 * z2;
z5 = [35.3553-7.0711 * J]
z6: = z1 / z2;
z6 = [- 282.8427m-1.4142 * J]

Обратите внимание, как TINA легко обрабатывает два комплексных числа, приведенные в разных формах.

Решение сложнее без переводчика. Чтобы мы могли сравнить различные методы умножения и деления, мы сначала определим полярную форму z1 и прямоугольная форма z2 .

Далее мы находим четыре решения, использующих сначала самые простые формы: прямоугольные для сложения и вычитания и экспоненциальные для умножения и деления:

z 3 = z1 + z2 = 4 - j 6 + 3.535 + j 3.535 = 7.535 - j2.465

z 4 = z1z2 = 4 - j 6 - 3.535 - j 3.535 = 0.465 - j9.535

z 5 = z1 * z2 = 7.21 * 5 * ej(-56.31 ° + 45 °) = 36.05 ej11.31 ° = 36.03 * (cos (-11.31 °) +j* грех (-11.31 °))

z 5 = 35.33 - j 7.07

z 6 = z1/z2= (7.21 / 5) * e j (-56.31 ° -45 °) = 1.442 ej 101.31 ° = 1.442 (cos (-101.31 °) +j* грех (-101.31 °))

z 6 = -0.2828 - j 1.414

которые согласны с результатами, полученными от переводчика TINA.

Умножение осуществляется в прямоугольной форме:

z 5 =z1*z2 = (4-j6) * 3.535 * (1 +j) = 7.07 * (2-j3) * (1 +j) = 7.07 * (2-j3+j2 + 3) = 7.07 * (5-j) = 35.35-j7.07

Окончательно деление осуществляется в прямоугольной форме:

которые согласны с предыдущими результатами.

    X
    Рад, что ты в DesignSoft
    Давайте поговорим, если вам нужна помощь в поиске нужного продукта или нужна поддержка.
    wpchatıco