ЗАКОНЫ Кирхгофа

Нажмите или коснитесь приведенных ниже примеров схем, чтобы вызвать TINACloud, и выберите интерактивный режим DC, чтобы проанализировать их в Интернете.
Получите недорогой доступ к TINACloud для редактирования примеров или создания собственных схем

ТЕОРЕМА СУПЕРПОЗИЦИИ

УЗЕЛ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ МЕТОД

Многие схемы слишком сложны, чтобы их можно было решить, используя правила для последовательных или параллельных схем или методы преобразования в более простые схемы, описанные в предыдущих главах. Для этих схем нам нужны более общие методы решения. Наиболее общий метод дается законами Кирхгофа, которые позволяют вычислять все напряжения и токи цепей по решению системы линейных уравнений.

Есть два Законы Кирхгофа, закон напряжения И текущий закон. Эти два закона могут быть использованы для определения всех напряжений и токов в цепях.

Закон напряжения Кирхгофа (KVL) гласит, что алгебраическая сумма повышений напряжения и падений напряжения вокруг контура должна быть равна нулю.

Цикл в вышеприведенном определении означает замкнутый путь в цепи; то есть путь, который покидает узел в одном направлении и возвращается к тому же узлу из другого направления.

В наших примерах мы будем использовать направление по часовой стрелке для циклов; однако те же результаты будут получены при использовании направления против часовой стрелки.

Для применения KVL без ошибок, мы должны определить так называемое опорное направление. Опорное направление неизвестного напряжения от точки к + - знак предполагаемых напряжений. Представьте себе использование вольтметра. Вы положили бы положительный пробник вольтметра (обычно красный) на клемму + опоры компонента. Если реальное напряжение положительное, оно в том же направлении, что и мы, и наше решение, и вольтметр покажут положительное значение.

При выводе алгебраической суммы напряжений, мы должны присвоить знак плюс к тем напряжениям, где опорное направление совпадает с направлением петли, и отрицательными знаками в противоположном случае.

Другой способ сформулировать закон напряжения Кирхгофа состоит в том, что приложенное напряжение последовательной цепи равно сумме падений напряжения на последовательных элементах.

Следующий короткий пример показывает использование закона напряжения Кирхгофа.

Найти напряжение на резисторе R_2, учитывая, что напряжение источника, В_S = 100 В и это напряжение на резисторе R₁это V₁ = 40 V.

Рисунок ниже может быть создан с помощью TINA Pro версии 6 и выше, в которой инструменты рисования доступны в редакторе схем.

Решение с использованием закона напряжения Кирхгофа: -V_S + V₁ + V₂= 0 или V_S V =₁ + V₂

следовательно: V₂ V =_S - V₁ = 100-40 = 60V

Обратите внимание, что обычно мы не знаем напряжения резисторов (если мы не измеряем их), и нам нужно использовать оба закона Кирхгофа для решения.

Текущий закон Кирхгофа (KCL) гласит, что алгебраическая сумма всех токов, входящих и выходящих из любого узла в цепи, равна нулю.

Далее мы даем знак + токам, выходящим из узла, и знак - токам, входящим в узел.

Вот основной пример, демонстрирующий действующий закон Кирхгофа.

Найти тока я₂ если источник тока I_S = 12 A, и я₁ = 8 A.

Используя текущий закон Кирхгофа в обведенном узле: -I_S + Я₁ + Я₂ = 0, следовательно: I₂= Я_S - Я₁ = 12 - 8 = 4 A, как вы можете проверить с помощью TINA (следующий рисунок).

В следующем примере мы будем использовать как законы Кирхгофа, так и закон Ома, чтобы рассчитать ток и напряжение на резисторах.

На рисунке ниже вы заметите Напряжение Стрелка выше резисторы. Это новый компонент, доступный в Версия 6 TINA и работает как вольтметр. Если подключить его через компонент, стрелка определяет опорное направление (сравнить с вольтметром, представьте размещения красного щупа в хвосте стрелки, а черный зонд на конце). При запуске анализа постоянного тока фактическое напряжение на компоненте будет отображаться на стрелке.

Нажмите / коснитесь схемы выше для анализа в режиме онлайн или нажмите эту ссылку, чтобы Сохранить в Windows

Чтобы начать использовать текущий закон Кирхгофа, мы видим, что токи через все компоненты одинаковы, поэтому давайте обозначим этот ток через I.

Согласно закону напряжения Кирхгофа: V_S V =₁+V₂+V₃

Теперь используя закон Ома: V_S= I * R₁+ I * R₂+ I * R₃

И отсюда ток цепи:

I = V_S/(Р₁+R₂+R₃) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Наконец напряжения на резисторах:

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = I * R₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = I * R₃ = 2 * 30 = 60 V

Те же результаты можно увидеть на стрелках напряжения, просто запустив интерактивный анализ постоянного тока TINA.

В этой следующей, более сложной схеме мы также используем как законы Кирхгофа, так и закон Ома, но мы обнаруживаем, что мы наиболее решаем линейную систему уравнений.

Общее количество независимых применений законов Кирхгофа в цепи - это число ветвей цепи, а общее количество неизвестных (ток и напряжение каждой ветви) вдвое больше. Тем не менее, также используя закон Ома на каждом резисторе и Из простых уравнений, определяющих приложенные напряжения и токи, мы получаем систему уравнений, где число неизвестных совпадает с числом уравнений.

Найти токи ветвления I1, I2, I3 в схеме ниже.

Нажмите / коснитесь схемы выше для анализа в режиме онлайн или нажмите эту ссылку, чтобы Сохранить в Windows

Система уравнений выглядит следующим образом:

Узловое уравнение для обведенного узла:

– I₁– I₂- Я₃ = 0

или умножение на -1

I₁+ I₂+ Я₃ = 0

Уравнения цикла (с использованием направления по часовой стрелке) для цикла L1, содержащего V₁, R₁ и R₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

и для цикла L2, содержащего V₂, R₂ и R₃

I₃*R₃ - Я₂*R₂ +V₂ = 0

Подставляя значения компонентов:

I₁+ Я₂+ Я₃ = 0 -8 + 40 * I₁ - 40 * I₃ = 0 40 * I₃ -20 * I₂ + 16 = 0

Экспресс я₁ используя узловое уравнение: I₁ = -Я₂ - Я₃

затем подставьте его во второе уравнение:

-V₁- (Я₂ + Я₃)*Р₁ -Я₃*R₃ = 0 or –8- (я₂ + Я₃) * 40 - я₃* 40 = 0

Экспресс я₂ и подставим его в третье уравнение, из которого вы уже можете рассчитать I₃:

I₂ = - (V₁ + Я₃*(Р₁+R₃))/Р₁ or I₂ = - (8 + I₃* 80) / 40

I₃*R₃ + R₂* (V₁ + Я₃*(Р₁+R₃))/Р₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + I₃* 80) / 40 + 16 = 0

А также: I₃ = - (V₂ + V₁*R₂/R₁)/(Р₃+ (R₁+R₃)*Р₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Поэтому I₃ = - 0.25 А; I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A и I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 А

Или: I₁ = -50 мА; I₂ = 300 мА; I₃ = -250 мА.

Теперь давайте решим те же уравнения с интерпретатором TINA:

{Решение переводчика TINA}
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
конец;
I1 = [- 50m]
I2 = [300m]
I3 = [- 250m]

#Решение от Python
импортировать numpy как np,sympy как s
#У нас есть линейная система
#уравнения, которые мы хотим решить:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
соль = s.solve([
И1+И2+И3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
печать (соль)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

б = np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=х[0]
#I2=х[1]
#I3=х[2]
# I1
print("I1= %.3f"%x[0])
# I2
print("I2= %.3f"%x[1])
# I3
print("I3= %.3f"%x[2])

Наконец, давайте проверим Результаты с использованием TINA:

Далее, давайте проанализируем следующую, еще более сложную схему и определим ее ответвления токами и напряжениями.

Нажмите / коснитесь схемы выше для анализа в режиме онлайн или нажмите эту ссылку, чтобы Сохранить в Windows

Обозначим неизвестные напряжения и токи, добавив стрелки напряжения и тока к компонентам, а также покажем петли (L1, L2, L3) и узлы (N1, N2), где мы будем использовать уравнения Кирхгофа.

Нажмите / коснитесь схемы выше для анализа в режиме онлайн или нажмите эту ссылку, чтобы Сохранить в Windows

Вот набор Уравнения Кирхгофа для петель (с использованием направления по часовой стрелке) и узлов.

-I_L+ Я_R1- Я_s= 0(для N1)

- Я_R1+ Я_R2+ Я_s3 = 0 (для N2)

-V_s1- V_R3+ V_Is+ V_L = 0 (для L1)

-V_Is+ V_s2 +V_R2+V_R1 = 0 (для L2)

-V_R2- V_s2+ V_s3 = 0 (для L3)

Применяя закон Ома:

V_L= Я_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = Я_R2*R₂

V_R3 = - Я_L*R₃

Это 9 неизвестных и 9 уравнений. Самый простой способ решить эту проблему - использовать TINA.

переводчик. Однако, если мы вынуждены использовать ручные вычисления, отметим, что этот набор уравнений может быть легко сведен к системе из 5 неизвестных путем подстановки последних 4 уравнений в уравнения цикла L1, L2, L3. Кроме того, добавив уравнения (L1) и (L2), мы можем устранить V_Is, сводя задачу к системе уравнений 4 для неизвестных 4 (I_L,I_R1 I_R2,I_s3). Когда мы нашли эти токи, мы можем легко определить V_L, V_R1, V_R2, и V_R3 используя последние четыре уравнения (закон Ома).

Подставляя V_L,V_R1,V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ Я_R1- Я_s= 0(для N1)

- Я_R1+ Я_R2+ Я_s3 = 0 (для N2)

-V_s1+ Я_L*R₃+ V_Is+ Я_L*R_L = 0 (для L1)

-V_Is+ V_s2 + Я_R2*R₂+ Я_R1*R₁ = 0 (для L2)

- Я_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (для L3)

Добавляя (L1) и (L2) мы получаем

-I_L+ Я_R1- Я_s= 0(для N1)

- Я_R1+ Я_R2+ Я_s3 = 0 (для N2)

-V_s1+ Я_L*R₃+ Я_L*R_L + V_s2 + Я_R2*R₂+ Я_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

- Я_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (для L3)

После подстановки значений компонентов решение этих уравнений приходит легко.

-I_L+I_R1- 2 = 0 (для N1)

-I_R1 + Я_R2 + Я_S3 = 0 (для N2)

-120 - + Я_L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0 (л₁) + (л₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 (для L₃)

от L₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

из N₂ I_S3 - Я_R1 = - 5.25 (II),

от L₁+L₂ 110 I_L + 30 I_R1 = -150 (III),

и для N₁ I_R1 - Я_L = 2 (IV)

Умножьте (IV) на –30 и добавьте к (III) 140 I_L = -210 следовательно I_L = - 1.5 А

Заменить я_L в (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

и я_R1 в (II), I_S3 = -5.25 + I_R1 = -4,75 A

И напряжения: V_R1 = Я_R1*R₁ = 15 V; V_R2 = Я_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = - Я_L*R₃= 135 V; V_L = Я_L*R_L = - 30 В; V_Is V =_S1+V_R3-V_L = 285 V

{Решение исходных уравнений интерпретатором TINA}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-IL-Is + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Вис-VL = 0
-Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -IL * R3
VL = IL * RL
конец;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500m]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
= ВП [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#Решение от Python
#Ax=b
импортировать numpy как np,sympy как s
#Символическое решение с использованием numpy.solve
#Уравнения:
#IL=-Is+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Вис-VL=0
#Вис=ВР1+ВР2+Вс2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#ВЛ=ИЛ*РЛ
#Решить для:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Вис,ВЛ,
#ВР1,ВР3,ВР2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
соль = s.solve([
-Is+IR1-IL,
ИР2+Ис3-ИР1,
Вс1+ВР3-Вис-ВЛ,
ВР1+ВР2+Вс2-Вис,
ВР2+Вс2-Вс3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
печать (соль)

#Еще один метод решения с использованием numpy.linalg
A=np.array(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Вис=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print("IL= %.3f"%x[0])
print("IR1= %.3f"%x[1])
print("IR2= %.3f"%x[2])
print("Is3= %.3f"%x[3])
print("Vis= %.3f"%x[4])
print("VL= %.3f"%x[5])
print("VR1= %.3f"%x[6])
print("VR2= %.3f"%x[8])
print("VR3= %.3f"%x[7])

Решение приведенной системы уравнений с использованием интерпретатора:

{Решение сокращенной системы уравнений интерпретатором TINA}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
конец;
Ил = [- 1.5]
Ir1 = [500m]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

Мы также можем ввести выражения для напряжений и заставить интерпретатора TINA рассчитать их:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Вл: = Il * RL;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
ВП: = Vs1-Vl + Vr3;
Vl = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
= ВП [285]

Мы можем проверить результат с TINA, просто включив интерактивный режим постоянного тока TINA или используя Анализ / Анализ постоянного тока / Узловое напряжение

ТЕОРЕМА СУПЕРПОЗИЦИИ

УЗЕЛ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ МЕТОД