Нажмите или коснитесь приведенных ниже примеров схем, чтобы вызвать TINACloud, и выберите интерактивный режим DC, чтобы проанализировать их в Интернете.
Получите недорогой доступ к TINACloud для редактирования примеров или создания собственных схем

Полный набор уравнений Кирхгофа может быть значительно упрощен с помощью метода узлового потенциала, описанного в этой главе. Используя этот метод, закон напряжения Кирхгофа выполняется автоматически, и нам нужно только написать уравнения узлов, чтобы удовлетворить также текущий закон Кирхгофа. Удовлетворение закона напряжения Кирхгофа достигается использованием узловых потенциалов (также называемых узловыми или узловыми напряжениями) по отношению к конкретному узлу, называемому ссылка узел. Другими словами, все напряжения в цепи относительно эталонный узел, который обычно считается имеющим нулевой потенциал. Легко видеть, что с этими определениями напряжения закон напряжения Кирхгофа выполняется автоматически, поскольку запись петлевых уравнений с этими потенциалами приводит к идентичности. Обратите внимание, что для схемы, имеющей N узлов, вы должны написать только N - 0 уравнений. Обычно уравнение узла для опорного узла опущено.

Сумма всех токов в цепи равна нулю, так как каждый ток течет в и из узла. Следовательно, уравнение N-го узла не является независимым от предыдущих уравнений N-1. Если бы мы включили все N уравнений, у нас была бы неразрешимая система уравнений.

Метод узлового потенциала (также называемый узловым анализом) лучше всего подходит для компьютерных приложений. Большинство программ анализа схем, включая TINA, основаны на этом методе.

Этапы узлового анализа:

1. Выберите опорный узел с нулевым потенциалом и пометьте каждый оставшийся узел V₁, V₂ or j₁, j₂и так далее.

2. Примените действующий закон Кирхгофа в каждом узле, кроме ссылочного узла. При необходимости используйте закон Ома, чтобы выразить неизвестные токи из узловых потенциалов и напряжений источника напряжения. Для всех неизвестных токов, предположим же опорное направление (например, указывая узла) для каждого применения действующего закона Кирхгофа.

3. Решите полученные уравнения узлов для узловых напряжений.

4. Определите любой запрошенный ток или напряжение в цепи, используя напряжение узла.

Давайте проиллюстрируем шаг 2, написав уравнение узла для узла V₁ следующего фрагмента схемы:

Сначала найдите ток от узла V1 к узлу V2. Мы будем использовать закон Ома на R1. Напряжение на R1 составляет V₁ - V₂ - V_S1

И ток через R1 (и от узла V1 к узлу V2)

Следует отметить, что этот ток имеет опорное направление, указывающий из V₁ узел. Используя соглашение для токов, указывающих на узел, оно должно быть учтено в уравнении узла с положительным знаком.

Текущее выражение ветви между V₁ и V₃ будет похоже, но так как V_S2 в противоположном направлении от V_S1 (что означает потенциал узла между V_S2 и R₂ это V₃-V_S2), ток

Наконец, из-за указанное опорное направление, я_S2 должен иметь положительный знак, и я_S1 отрицательный знак в уравнении узла.

Узловое уравнение:

Теперь давайте посмотрим полный пример, чтобы продемонстрировать использование метода потенциала узла.

Найти напряжение V и токи через резисторы в цепи ниже

Численно:

Умножить на 30: 7.5 + 3 В - 30 + 1.5 В + 7.5. + В - 40 = 0 5.5 V –55 = 0

Следовательно: V = 10 V

Теперь давайте определим токи через резисторы. Это легко, поскольку в приведенном выше узловом уравнении используются одни и те же токи.

Мы можем проверить результат с TINA, просто включив интерактивный режим постоянного тока TINA или используя команду Анализ / Анализ постоянного тока / Узловое напряжение.

Далее, давайте решим проблему, которая уже использовалась в качестве последнего примера Законы Кирхгофа глава

Найти напряжения и токи каждого элемента цепи.

Выбор нижнего узла в качестве эталонного узла с нулевым потенциалом, узловым напряжением N₂ будет равен V_S3,: j₂ = поэтому у нас есть только одно неизвестное узловое напряжение. Возможно, вы помните, что ранее, используя полный набор уравнений Кирхгофа, даже после некоторых упрощений у нас была линейная система уравнений из 4 неизвестных.

Написание уравнения узла для узла N₁Обозначим узловое напряжение N₁ by j₁

Простое уравнение для решения:

Численно:

Умножив на 330, мы получим:

3j₁-360 - 660 + 11j₁ - 2970 = 0 ® j₁= 285 V

После расчета j_1, легко вычислить другие величины в цепи.

Токи:

I_S3 = Я_R1 - Я_R2 = 0.5 - 5.25 = - 4.75 А

И напряжения:

V_Is = j₁ = 285 V

V_R1= (j₁ - V_S3) = 285 - 270 = 15 V

V_R2 = (V_S3 - V_S2) = 270 - 60 = 210 В

V_L знак равноj₁-V_S1-V_R3) = -285 +120 +135 = -30 В

Вы можете заметить, что при использовании метода потенциального узла вам все еще нужны дополнительные расчеты для определения токов и напряжений цепи. Однако эти вычисления очень просты, намного проще, чем решение систем линейных уравнений для всех величин схемы одновременно.

Мы можем проверить результат с помощью TINA, просто включив интерактивный режим постоянного тока TINA или используя команду Анализ / Анализ постоянного тока / Узловое напряжение.

Нажмите / коснитесь схемы выше для анализа в режиме онлайн или нажмите эту ссылку, чтобы Сохранить в Windows

Давайте посмотрим дальнейшие примеры.

Пример 1

Найти текущий я

Нажмите / коснитесь схемы выше для анализа в режиме онлайн или нажмите эту ссылку, чтобы Сохранить в Windows

В этой схеме есть четыре узла, но так как мы имеем источник напряжения идеального, который определяет напряжение узла на ее положительный полюс, мы должны выбрать его отрицательный полюс в качестве опорного узла. Поэтому у нас действительно есть только два неизвестных потенциала узла: j₁ и j₂ .

Нажмите / коснитесь схемы выше для анализа в режиме онлайн или нажмите эту ссылку, чтобы Сохранить в Windows

Уравнения для узлов потенциалов j₁ и j₂:

Численно:

Итак, система линейных уравнений имеет вид:

Чтобы решить эту проблему, умножьте первое уравнение на 3, а второе на 2, затем добавьте два уравнения:

11j₁ = 220

и поэтому j₁= 20V, j₂ = (50 + 5j₁) / 6 = 25 В

Наконец неизвестный ток:

Решение системы линейных уравнений также может быть рассчитано с использованием Правило Крамера.

Давайте проиллюстрируем использование правила Крамера, снова решив систему, описанную выше.

1. Заполните матрицу коэффициентов неизвестных:

2. Рассчитать стоимость определитель матрицы D.

| D| = 7 * 6 - (-5) * (- 4) = 22

3. Поместите значения с правой стороны в столбец коэффициентов неизвестной переменной, затем рассчитайте значение определителя:

4. Разделите вновь найденные определители по исходному определителю, чтобы найти следующие соотношения:

следовательно j₁ = 20 V и j₂ = 25 V

Чтобы проверить результат с TINA, просто включите интерактивный режим постоянного тока TINA или используйте команду Анализ / Анализ постоянного тока / Узловое напряжение. Обратите внимание, что с помощью Напряжение Pin компонент TINA, вы можете напрямую показать потенциалы узла, предполагая, что земля Компонент связан с узлом ссылки.

Нажмите / коснитесь схемы выше для анализа в режиме онлайн или нажмите эту ссылку, чтобы Сохранить в Windows

{Решение переводчика TINA}
Sys fi1, fi2
(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
конец;
fi1 = [20]
fi2 = [25]
I: = (fi2-VS1) / R1;
I = [500m]

#Решение от Python!
импортировать numpy как n
#У нас есть система
#линейные уравнения, которые
#мы хотим найти fi1, fi2:
#(fi1-fi2)/R2+(fi1-VS1)/R3+fi1/R4=0
#(fi2-fi1)/R2+(fi2-VS1)/R1-Is=0
#Запишите матрицу коэффициентов:
A=n.array([[1/R2+1/R3+1/R4,-1/R2],[-1/R2,1/R2+1/R1]])
#Запишите матрицу констант:
b=n.array([[VS1/R3],[VS1/R1+Is]])
x=n.linalg.solve(A,b)
фи1,фи2=х[0],х[1]
print("fi1= %.3f"%fi1)
print("fi2= %.3f"%fi2)
Я=(фи2-ВС1)/R1
print("I= %.3f"%I)

Пример 2.

Найти напряжение резистора R₄.

R₁ = R₃ = 100 Ом, R₂ = R₄ = 50 Ом, R₅ = 20 Ом, R₆ = 40 Ом, R₇ = 75 Ом

Нажмите / коснитесь схемы выше для анализа в режиме онлайн или нажмите эту ссылку, чтобы Сохранить в Windows

В этом случае целесообразно выбрать отрицательный полюс источника напряжения V_S2 в качестве опорного узла, поскольку тогда положительный полюс V_S2 источник напряжения будет иметь V_S2 = Потенциал 150 узлов. Однако из-за этого выбора требуемое напряжение V противоположно напряжению узла N_4; поэтому V₄ = - В.

Уравнения:

Мы не приводим здесь ручные вычисления, поскольку уравнения могут быть легко решены интерпретатором TINA.

{Решение переводчика TINA}
{Используйте метод потенциального узла!}
Sys V, V1, V2, V3
V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
конец;
V1 = [116.6667]
V2 = [- 91.8182]
V3 = [19.697]
V = [34.8485]

#Решение от Python!
импортировать numpy как n
#Используйте метод потенциала узла!
#У нас есть система линейных уравнений, которую мы хотим решить
# для V,V1,V2,V3:
#V1/R2+(V1-Vs2)/R1-Is=0
#(V2+V)/R6+(V2-V3+Vs1)/R5+Is=0
#(V3+V)/R7+(V3-Vs2)/R3+(V3-Vs1-V2)/R5=0
#(-V-V2)/R6-V/R4+(-V-V3)/R7=0
#Запишите матрицу коэффициентов:
A= n.array([[0,1/R2+1/R1,0,0],[1/R6,0,1/R6+1/R5,(-1)/R5],[1/R7,0,(-1)/R5,1/R7+1/R5+1/R3],[(-1)/R6-1/R4-1/R7,0,-1/R6,-1/R7]])
#Запишите матрицу констант:
b=n.array([(Vs2/R1)+Is,-(Vs1/R5)-Is,(Vs2/R3)+(Vs1/R5),0])

x= n.linalg.solve(A,b)
В=х[0]
print("V= %.4f"%V)

Чтобы проверить результат с помощью TINA, просто включите интерактивный режим постоянного тока TINA или используйте команду Анализ / Анализ постоянного тока / Узловое напряжение. Обратите внимание, что мы должны разместить несколько выводов напряжения на узлах, чтобы показать напряжения на узлах.

Нажмите / коснитесь схемы выше для анализа в режиме онлайн или нажмите эту ссылку, чтобы Сохранить в Windows

---