KIRCHHOFFOVE PRÁVA

Kliknite alebo ťuknite na nižšie uvedené okruhy príkladov, aby ste vyvolali TINACloud a vyberte režim Interaktívny DC na analýzu online.
Získajte lacný prístup k TINACloudu na úpravu príkladov alebo vytvorenie vlastných okruhov

SUPERPOSITION THEOREM

NODE POTENCIÁLNA METÓDA

Mnoho obvodov je príliš zložitých na to, aby sa dali vyriešiť pomocou pravidiel pre sériové alebo paralelné obvody alebo techník prechodu na jednoduchšie obvody, ktoré sú opísané v predchádzajúcich kapitolách. Pre tieto obvody potrebujeme všeobecnejšie metódy riešenia. Najbežnejšia metóda je daná Kirchhoffovými zákonmi, ktoré umožňujú výpočet všetkých napätí a prúdov obvodov pomocou riešenia systému lineárnych rovníc.

Existujú dva Kirchhoffove zákony, zákon o napätí a prúdu zákon. Tieto dva zákony sa dajú použiť na určenie všetkých napätí a prúdov obvodov.

Kirchhoffov zákon o napätí (KVL) uvádza, že algebraický súčet stúpania a klesania napätia okolo slučky musí byť nula.

Slučka vo vyššie uvedenej definícii znamená uzavretú cestu v obvode; to znamená cesta, ktorá opúšťa uzol v jednom smere a vracia sa do toho istého uzla z iného smeru.

V našich príkladoch budeme používať slučky v smere hodinových ručičiek; rovnaké výsledky sa však dosiahnu, ak sa použije smer proti smeru hodinových ručičiek.

Aby sme mohli KVL aplikovať bez chyby, musíme definovať tzv. Referenčný smer. Referenčný smer neznámeho napätia ukazuje z + na znamienko - predpokladaného napätia. Predstavte si to pomocou voltmetra. Voltmeterovú pozitívnu sondu (obvykle červenú) by ste umiestnili na referenčnú + svorku komponentu. Ak je skutočné napätie kladné, je v rovnakom smere, ako sme predpokladali, a naše riešenie aj voltmeter ukážu kladnú hodnotu.

Keď odvodzujeme algebraický súčet napätí, musíme priradiť znamienko plus tým napätiam, kde referenčný smer súhlasí so smerom slučky a záporné znaky v opačnom prípade.

Ďalším spôsobom, ako uviesť Kirchhoffov zákon o napätí, je: použité napätie sériového obvodu sa rovná súčtu poklesov napätia v sériových prvkoch.

Nasledujúci krátky príklad ukazuje použitie Kirchhoffovho zákona o napätí.

Nájdite napätie na odpore R_2, vzhľadom na to, že zdrojové napätie V_S = 100 V a že napätie cez odpor R₁je V₁ = 40 V.

Obrázok nižšie je možné vytvoriť pomocou TINA Pro verzie 6 a vyššej, v ktorej sú nástroje na kreslenie dostupné v schematickom editore.

Riešenie využívajúce Kirchhoffov zákon o napätí: -V_S + V₁ + V₂= 0 alebo V_S = V₁ + V₂

teda: V₂ = V_S - V₁ = 100-40 = 60V

Všimnite si, že za normálnych okolností nevieme napätie rezistorov (pokiaľ ich nemeriame) a na riešenie musíme použiť oba Kirchhoffove zákony.

Kirchhoffov súčasný zákon (KCL) uvádza, že algebraický súčet všetkých prúdov vstupujúcich a opúšťajúcich akýkoľvek uzol v obvode je nula.

V nasledujúcom texte dávame znamienko + prúdom opúšťajúcim uzol a znamienko - prúdom vstupujúcim do uzla.

Toto je základný príklad demonštrujúci Kirchhoffov zákon.

Nájdite aktuálny I₂ ak je zdrojový prúd I_S = 12 A, a ja₁ = 8 A.

Použitie Kirchhoffovho aktuálneho zákona v uzle v krúžku: -I_S + I₁ + I₂ = 0, teda: I₂= I_S - Ja₁ = 12 - 8 = 4 A, môžete skontrolovať pomocou TINA (ďalší obrázok).

V nasledujúcom príklade použijeme Kirchhoffove zákony plus Ohmove zákony na výpočet prúdu a napätia na odporoch.

Na obrázku nižšie si všimnete Šípka napätia nad odpormi. Toto je nový komponent, ktorý je k dispozícii v Verzia 6 TINA a funguje ako voltmeter. Ak ho pripojíte cez komponent, šípka určí referenčný smer (v porovnaní s voltmetrom si predstavte umiestnenie červenej sondy za chvost šípky a čiernej sondy pri špičke). Keď spustíte analýzu jednosmerného prúdu, skutočné napätie na komponente sa zobrazí na šípke.

Kliknite / kliknite na vyššie uvedený obvod, aby ste analyzovali on-line alebo kliknite na tento odkaz Uložiť v systéme Windows

Ak chceme začať používať Kirchhoffov zákon, vidíme, že prúdy cez všetky komponenty sú rovnaké, takže tento prúd označme I.

Podľa Kirchhoffovho zákona o napätí: V_S = V₁+V₂+V₃

Teraz používam Ohmov zákon: V_S= I * R₁+ I * R₂+ I * R₃

A odtiaľ prúd obvodu:

I = V_S/ (R₁+R₂+R₃) = 120 / (10 + 20 + 30) = 2 A

Napätie napäťových odporov:

V₁= I * R₁ = 2 * 10 = 20 V; V₂ = I * R₂ = 2 * 20 = 40 V; V₃ = I * R₃ = 2 * 30 = 60 V

Rovnaké výsledky sa ukážu na šípkách napätia jednoduchým spustením interaktívnej analýzy DC TINA.

V tomto ďalšom, zložitejšom okruhu používame Kirchhoffove zákony aj Ohmov zákon, ale zistíme, že najčastejšie riešime lineárny systém rovníc.

Celkový počet nezávislých aplikácií Kirchhoffových zákonov v obvode je počet vetiev obvodu, zatiaľ čo celkový počet neznámych (prúd a napätie každej vetvy) je dvojnásobný. Avšak použitím Ohmovho zákona na každý odpor a jednoduchých rovníc definujúcich použité napätie a prúdy, dostaneme systém rovníc, kde počet neznámych je rovnaký ako počet rovníc.

Nájdite vetvy prúdy I1, I2, I3 nižšie.

Kliknite / kliknite na vyššie uvedený obvod, aby ste analyzovali on-line alebo kliknite na tento odkaz Uložiť v systéme Windows

Nasleduje súbor rovníc:

Uzlová rovnica pre uzol v krúžku:

- I₁- I₂- Ja₃ = 0

alebo násobením znakom -1

I₁+ I₂+ I₃ = 0

Cyklické rovnice (v smere hodinových ručičiek) pre slučku L1, obsahujúce V₁, R₁ a R₃

-V₁+I₁*R₁-I₃*R₃ = 0

a pre slučku L2, obsahujúcu V₂, R₂ a R₃

I₃*R₃ - Ja₂*R₂ +V₂ = 0

Nahradenie hodnôt komponentov:

I₁+ I₂+ I₃ = 0 -8 + 40 * I₁ - 40 * I₃ = 0 40 * Aj₃ -20 * Aj₂ + 16 = 0

Express I₁ pomocou nodálnej rovnice: I₁ = -I₂ - Ja₃

potom ho nahradiť druhou rovnicou:

-V₁- (I₂ + I₃) * R₁ -I₃*R₃ = 0 or –8- (I₂ + I₃) * 40 - I₃* 40 = 0

Express I₂ a nahradiť ju do tretej rovnice, z ktorej už môžete vypočítať I₃:

I₂ = - (V.₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ or I₂ = - (8 + I₃* 80) / 40

I₃*R₃ + R₂* (V₁ + I₃* (R₁+R₃)) / R₁ +V₂ = 0 or I₃* 40 + 20 * (8 + I₃* 80) / 40 + 16 = 0

A: I₃ = - (V.₂ + V₁*R₂/R₁) / (R₃+ (R₁+R₃) * R₂/R₁) or I₃ = -(16+8*20/40)/(40 + 80*20/40)

Preto I₃ = - 0.25 A; I₂ = - (8-0.25 * 80) / 40 = 0.3 A a I₁ = - (0.3-0.25) = - 0.05 A

Alebo: I₁ = -50 mA; I₂ = 300 mA; I₃ = -250 mA.

Teraz vyriešime rovnaké rovnice s tlmočníkom TINA:

{Riešenie od tlmočníka TINA}
Sys I1, I2, I3
I1 + I2 + I3 = 0
-V1+I1*R1-I3*R3=0
I3*R3-I2*R2+V2=0
end;
I1 = [- 50]
I2 = [300]
I3 = [- 250]

#Riešenie od Pythonu
import numpy ako np,sympy ako s
#Máme lineárny systém
#rovnice, ktoré chceme vyriešiť:
#I1+I2+I3=0
#-V1+I1*R1-I3*R3=0
#I3*R3-I2*R2+V2=0

I1,I2,I3=s.symbols([‘I1′,’I2′,’I3’])
sol = s.solve([
I1+I2+I3,
-V1+I1*R1-I3*R3,
I3*R3-I2*R2+V2], [I1, I2, I3])
tlačiť (sol)

A= np.array([[1,1,1],[R1,0,-R3],[0,-R2,R3]])

b= np.array([0,V1,-V2])

x=np.linalg.solve(A,b)
#I1=x[0]
#I2=x[1]
#I3=x[2]
#I1
print(“I1= %.3f”%x[0])
#I2
print(“I2= %.3f”%x[1])
#I3
print(“I3= %.3f”%x[2])

Nakoniec skontrolujme výsledky pomocou TINA:

Ďalej si rozoberieme nasledujúci zložitejší obvod a určíme jeho vetviace prúdy a napätia.

Kliknite / kliknite na vyššie uvedený obvod, aby ste analyzovali on-line alebo kliknite na tento odkaz Uložiť v systéme Windows

Označme neznáme napätia a prúdy pridaním šípok napätia a prúdu do komponentov a tiež ukážeme slučky (L1, L2, L3) a uzly (N1, N2), kde použijeme Kirchhoffove rovnice.

Kliknite / kliknite na vyššie uvedený obvod, aby ste analyzovali on-line alebo kliknite na tento odkaz Uložiť v systéme Windows

Tu je súbor Kirchhoffove rovnice pre slučky (v smere hodinových ručičiek) a uzly.

-I_L+ I_R1- Ja_s= 0(pre N1)

- Ja_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (pre N2)

-V_s1- V_R3+ V_Is+ V_L = 0 (pre L1)

-V_Is+ V_s2 +V_R2+V_R1 = 0 (pre L2)

-V_R2- V_s2+ V_s3 = 0 (pre L3)

Uplatňovanie Ohmovho zákona:

V_L= I_L*R_L

V_R1=I_R1*R₁

V_R2 = I_R2*R₂

V_R3 = - Ja_L*R₃

Toto je 9 neznámych a 9 rovníc. Najjednoduchší spôsob, ako to vyriešiť, je použitie TINA

tlmočník. Avšak, ak sme nútení používať ručné výpočty, všimli sme si, že táto množina rovníc sa dá ľahko zredukovať na systém 5 neznámych substitúciou posledných 4 rovníc do slučkových rovníc L1, L2, L3. Pridaním rovníc (L1) a (L2), môžeme odstrániť V_Is, zníženie problému na systém 4 rovníc pre 4 neznámy (I_L,I_R1 I_R2,I_s3). Keď sme tieto prúdy našli, môžeme ľahko určiť V_L, V_R1V_R2, a V_R3 pomocou posledných štyroch rovníc (Ohmov zákon).

Nahrádza V_L,V_R1,V_R2 ,V_R3 :

-I_L+ I_R1- Ja_s= 0(pre N1)

- Ja_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (pre N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ V_Is+ I_L*R_L = 0 (pre L1)

-V_Is+ V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (Pre L2)

- Ja_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (pre L3)

Pridáme (L1) a (L2)

-I_L+ I_R1- Ja_s= 0(pre N1)

- Ja_R1+ I_R2+ I_s3 = 0 (pre N2)

-V_s1+ I_L*R₃+ I_L*R_L + V_s2 + I_R2*R₂+ I_R1*R₁ = 0 (L1) + (L2)

- Ja_R2*R₂- V_s2+ V_s3 = 0 (pre L3)

Po nahradení hodnôt komponentov prichádza riešenie týchto rovníc ľahko.

-I_L+I_R1- 2 = 0 (pre N1)

-I_R1 + I_R2 + I_S3 = 0 (pre N2)

-120 - + I_L* 90 + I_L* 20 + 60 + I_R2* 40 + I_R1* 30 = 0 (L₁) + (Ľ₂)

-I_R2* 40 - 60 + 270 = 0 (pre L₃)

od firmy L₃ I_R2 = 210 / 40 = 5.25 A (I)

od N₂ I_S3 - Ja_R1 = - 5.25 (II)

od firmy L₁+L₂ 110 I_L + 30 I_R1 = -150 (III)

a pre N₁ I_R1 - Ja_L = 2 (IV)

Vynásobte (IV) podľa –30 a pridajte k (III) 140 I_L = -210 preto I_L = - 1.5 A

Náhradník I_L do (IV) I_R1 = 2 + (-1.5) = 0.5 A

a ja_R1 do (II) I_S3 = -5.25 + I_R1 = -4,75 A

A napätie: V_R1 = I_R1*R₁ = 15 V; V_R2 = I_R2*R₂ = 210 V;

V_R3 = - Ja_L*R₃= 135 V; V_L = I_L*R_L = - 30 V; V_Is = V_S1+V_R3-V_L = 285 V

{Riešenie pôvodných rovníc tlmočníkom TINA}
Sys IL,IR1,IR2,Is3,VIs,VL,VR1,VR3,VR2
-Il-Is + IR1 = 0
-IR1 + IR2 + Is3 = 0
-Vs1 + VR3 + Vis-VL = 0
Vis + VR1 + VR2 + Vs2 = 0
-Vs3 + VR2 + Vs2 = 0
VR1 = IR1 * R1
VR2 = IR2 * R2
VR3 = -il * R3
VL = IL * RL
end;
IL = [- 1.5]
IR1 = [500]
IR2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]
VI = [285]
VL = [- 30]
VR1 = [15]
VR2 = [210]
VR3 = [135]

#Riešenie od Pythonu
#Ax=b
import numpy ako np,sympy ako s
#Symbolické riešenie pomocou numpy.solve
#Rovnice:
#IL=-je+IR1
#IR1=IR2+Is3
#Vs1+VR3-Vis-VL=0
#Vis=VR1+VR2+Vs2
#Vs3=VR2+Vs2
#VR1=IR1*R1
#VR2=IR2*R2
#VR3=-IL*R3
#VL=IL*RL
#Vyriešiť pre:
#IL,IR1,IR2,
#Is3,Vis,VL,
#VR1,VR3,VR2

IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2=s.symbols([‘IL’,’IR1′,’IR2′,’Is3′,’Vis’,’VL’,’VR1′,’VR3′,’VR2′])
sol = s.solve([
-Je+IR1-IL,
IR2+Is3-IR1,
Vs1+VR3-Vis-VL,
VR1+VR2+Vs2-Vis,
VR2+Vs2-Vs3,
IR1*R1-VR1,IR2*R2-VR2,
-IL*R3-VR3,IL*RL-VL],[IL,IR1,IR2,Is3,Vis,VL,VR1,VR3,VR2])
tlačiť (sol)

#Ďalšia metóda na riešenie pomocou numpy.linalg
A=np.array(
[[-1,1,0,0,0,0,0,0,0],
[0,-1,1,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,-1,-1,0,1,0],
[0,0,0,0,-1,0,1,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,R1,0,0,0,0,-1,0,0],
[0,0,R2,0,0,0,0,0,-1],
[-R3,0,0,0,0,0,0,-1,0],
[RL,0,0,0,0,-1,0,0,0]])

b=np.array([Is,0,-Vs1,-Vs2,Vs3-Vs2,0,0,0,0])

x=np.linalg.solve(A,b)

#IL=x[0] IR1=x[1] IR2=x[2]
#Is3=x[3] Vis=x[4] VL=x[5]
#VR1=x[6] VR2=x[8] VR3=x[7]
print(“IL= %.3f”%x[0])
print(“IR1= %.3f”%x[1])
print(“IR2= %.3f”%x[2])
print(“Is3= %.3f”%x[3])
print(“Vis= %.3f”%x[4])
print(“VL= %.3f”%x[5])
print(“VR1= %.3f”%x[6])
print(“VR2= %.3f”%x[8])
print(“VR3= %.3f”%x[7])

Riešenie redukovanej množiny rovníc pomocou tlmočníka:

{Riešenie redukovanej sady rovníc tlmočníkom TINA}
Sys Il, Ir1, Ir2, Is3
-Il + Ir1-2 = 0
-Ir1 + Ir2 + Is3 = 0
-120+110*Il+60+40*Ir2+30*Ir1=0
-40 * Ir2 + 210 = 0
end;
Il = [- 1.5]
Ir1 = [500]
Ir2 = [5.25]
Is3 = [- 4.75]

Môžeme tiež zadať výrazy napätia a nechať ich vypočítať tlmočník TINA:

Il: = - 1.5;
Ir1: = 0.5;
Ir2: = 5.25;
Is3: = - 4.75;
Vl: = Il * RL;
Vr1: = Ir1 * R1
Vr2: = Ir2 * R2;
Vr3: = - Il * R3;
VI: = Vs1-Vl + Vr3;
VI = [- 30]
Vr1 = [15]
Vr2 = [210]
Vr3 = [135]
VI = [285]